人教版2024-2025学年八年级数学上册《第十一章 三角形》单元测试题（含解析）

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2024-2025学年八年级数学上册《第十一章 三角形》单元测试题 人教版
一、选择题(共10题；共30分)
1．（3分）下列长度(单位cm)的线段不能组成三角形的是（　　）
A．3，3，3 B．3，5，5 C．3，4，5 D．3，5，8
2．（3分）如图，的面积为18，为的中线，E、F为的两个三等分点，连接，则图中阴影部分的面积和为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．9
3．（3分）下列图形具有稳定性的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（3分）在△ABC中，∠A=60°，∠B=40°，则∠C等于（　　）．
A．100° B．80° C．60° D．40°
5．（3分）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的度数之比为3：4：5，那么△ABC是（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
6．（3分）如图，在△ABC中，∠BCA＝40°，∠ABC＝60°．若BF是△ABC的高，与角平分线AE相交于点O，则∠EOF的度数为（　　）
A．130° B．70° C．110 D．100°
7．（3分）如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，若∠B=35°，∠ACE=60°，则∠A=(　　)
A．35° B．95° C．85° D．75°
8．（3分）一个正多边形的每一个内角是 ，则从这个正多边形的一个顶点出发可作（　　）条对角线．
A．5 B．4 C．3 D．2
9．（3分）若一个多边形的对角线条数恰好为边数的2倍，则这个多边形的边数为（　　）
A．9 B．8 C．7 D．6
10．（3分）如图，已知△ABC为直角三角形，∠C=90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2等于（　　）
A．90° B．135° C．270° D．315°
二、填空题(共8题；共24分)
11．（3分）一个三角形的两边长为5和7，则第三边a的取值范围是　 　．
12．（3分）如图，AD是△ABC的角平分线，AB=6，AC=4，则△ABD与△ACD的面积之比为　 　.
13．（3分）如图，手机支架采用了三角形结构，这样设计依据的数学道理是三角形具有　 　性．
14．（3分）如图，　 　°．
15．（3分）如图，在△ABC中，点D是BC延长线上一点，∠B=40°，∠ACD=120°，则∠A的余角是　 　．
16．（3分）过多边形的一个顶点能引出7条对角线，则这个多边形的边数是　 　．
17．（3分）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的和等于 　 　度．
18．（3分）如图，在一个三角形的纸片（）中，，则图中的度数为　 　．
三、解答题(共8题；共66分)
19．（6分）已知，的三边长为4，10，x．
（1）（3分）求x的取值范围.
（2）（3分）当的周长为偶数时，求x．
20．（6分）如图，中，，，，，CD是AB边上的高.求CD的长.
21．（8分）小辉用7根木条钉成一个七边形的木架，他为了使该木架稳固，想在其中加上四根木条，请你在图1、2、3中画出你的三种想法，并说明加上木条后使该木架稳固所用的数学道理

22．（8分）已知：中，图中、的平分线相交于，图中、的外角平分线相交于．
（1）（4分）若，　 　，　 　
（2）（4分）若，试用表示和．
23．（8分）已知：从边形的一个顶点出发共有条对角线；从边形的一个顶点出发的所有对角线把边形分成个三角形；正边形的边长为，周长为．求的值．
24．（10分） 在一个各内角都相等的多边形中，每一个内角都比相邻外角的倍还大，
（1）（5分）求这个多边形的边数；
（2）（5分）若将这个多边形剪去一个角，剩下多边形的内角和是多少？
25．（10分）如图，在中，为边上的中线．
（1）（4分）　 　（填“>”、“<”或“=”）；
（2）（6分）若的周长比的周长多4，且，求的长．
26．（10分）如图1，AB与CD相交于点O，若，，和的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试求：
（1）的度数；
（2）设，，，，其他条件不变，如图2，试问与、之间存在着怎样的数量关系（用、表示），直接写出结论．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A、∵3+3＞3，∴能组成三角形，故A不符合题意；
B、∵3+5＞5，∴能组成三角形，故B不符合题意；
C、∵3+4＞5，∴能组成三角形，故C不符合题意；
D、∵3+5=8，∴不能组成三角形，故D符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据三角形三边关系逐项进行判断，即可得出答案.
2．【答案】B
【知识点】三角形的面积；三角形的中线
【解析】【解答】解：是的中线，
，
，
、为的两个三等分点，
，，
，
故选：B．
【分析】由AD是△ABC的中线，则，由E、F为的两个三等分点，可得，，利用即可求解.
3．【答案】A
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】A.具有稳定性，符合题意；
B.不具有稳定性，故不符合题意；
C.不具有稳定性，故不符合题意；
D.不具有稳定性，故不符合题意，
故答案为：A
【分析】根据三角形具有稳定性，即可求出答案.
4．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】由三角形内角和定理得，∠C＝180° ∠A ∠B＝80°，
故答案为：B．
【分析】根据三角形内角和定理计算即可．
5．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：设∠A=3k°，∠B=4k°，∠C=5k°，
则3k°+4k°+5k°=180°，可得k=15°
∠A=45°，∠A=60°，∠A=75°
△ABC为锐角三角形.
所以A选项是正确的.
【分析】设∠A=3k°，由∠A，∠B，∠C的度数之比为3：4：5可得∠B=4k°，∠C=5k°，根据三角形的内角和定理列出关于k的方程，解方程求出∠A，∠B，∠C的度数 ，即可判断△ABC的形状.
6．【答案】A
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：∵∠BCA=40°，∠ABC=60°
∴∠BAC＝80°，
∵AE平分∠BAC，
∴，
∵BF⊥AC，
∴∠BFA＝90°，
∴∠ABF＝10°，
∴∠BOE＝∠BAO＋∠ABO＝40°＋10°＝50°，
∴＝130°，
故答案为：.A
【分析】根据三角形内角和定理得出∠BAC＝80°，根据三角形外角性质得出∠BOE＝∠BAO＋∠ABO，求出∠BAO，∠ABO即可，根据补角的定义求得．
7．【答案】C
【知识点】三角形的外角性质
【解析】【解答】解：∵CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，∠ACE=60°
∴∠ACD=2∠ACE=120°
∵∠ACD=∠B+∠A
∴∠A=∠ACD-∠B=120°-35°=85°
故答案为：C
【分析】根据角平分线性质可得 ∠ACE=60°，则∠ACD=120°，再根据三角形外角性质即可求出答案.
8．【答案】A
【知识点】多边形的对角线
【解析】【解答】一个正多边形的每一个内角是 ，
一个正多边形的每一个外角是180 -135 =45 ，
正多边形的边数：360÷45=8，
从这个正多边形的一个顶点出发，共可以作对角线的条数为：8 3=5，
故答案为：A．
【分析】根据正多边形的性质求出多边形的边数，再根据多边形对角线的规律求解即可。
9．【答案】C
【知识点】多边形的对角线
【解析】【解答】解：设这个多边形的边数为n，由题意得：，
解得：n=7.
故A，B，D错误，C正确.
故答案为：C.
【分析】设边数为n，表示出对角线条数后建立方程求解即可.
10．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵四边形的内角和为360°，直角三角形中两个锐角和为90°
∴∠1+∠2=360°﹣（∠A+∠B）=360°﹣90°=270°．
故选：C．
【分析】根据四边形内角和为360°可得∠1+∠2+∠A+∠B=360°，再根据直角三角形的性质可得∠A+∠B=90°，进而可得∠1+∠2的和．
11．【答案】
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：根据三角形的三边关系：，
解得：．
故答案为：．
【分析】根据三角形三边关系，列出不等式，解不等式即可求出答案.
12．【答案】3：2
【知识点】三角形的面积；三角形的角平分线
【解析】【解答】解：由作图痕迹可知，AD平分∠BAC，过点D分别作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，
∴DE=DF，
∵
∴
∵AB=6，AC =4，
∴
故答案为：3：2.
【分析】由作图痕迹可知，AD平分∠BAC，过点D分别作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，根据角平分线的性质得到DE=DF，再根据三角形面积公式求解即可.
13．【答案】稳定
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解：手机支架采用了三角形结构，这样设计依据的数学道理是三角形具有稳定性．
故答案为：稳定.
【分析】根据三角形具有稳定性进行解答即可.
14．【答案】300
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵在中有，∠C=30°，
∴∠3+∠4=180°-∠C=180°-30°=150°，
∵在中有，∠C=30°，
∴∠1+∠2=180°-∠C=180°-30°=150°，
将上面两式相加得：．
故答案为：300．
【分析】根据三角形内角和为180°可得∠3+∠4=150°，∠1+∠2=150°，然后将两式相加即可．
15．【答案】80°
【知识点】三角形的外角性质
【解析】【解答】解：∵∠ACD=∠A+∠B，∴∠A=∠ACD-∠B=120°-40°=80°．故答案为：80°．
【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可求∠A.
16．【答案】10
【知识点】多边形的对角线
【解析】【解答】解：∵多边形从一个顶点出发可引出7条对角线，
∴，
解得．
故答案为：10．
【分析】根据从边形的一个顶点可以作对角线的条数为，求出边数即可求出答案.
17．【答案】360
【知识点】三角形的外角性质；多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：如图所示，
∵∠AHG＝∠A＋∠B，∠DNG＝∠C＋∠D，∠EGN＝∠E＋∠F，
∴∠AHG＋∠DNG＋∠EGN＝∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F，
又∵∠AHG、∠DNG、∠EGN是△GHN的三个不同的外角，
∴∠AHG＋∠DNG＋∠EGN＝360°，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝360°．
故答案为：360．
【分析】利用三角形外角的性质可得∠AHG＝∠A＋∠B，∠DNG＝∠C＋∠D，∠EGN＝∠E＋∠F，再利用多边形的外角和可得∠AHG＋∠DNG＋∠EGN＝360°，从而可得∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝360°．
18．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵
∴
∴
故答案为：270°
【分析】根据三角形内角和定理可得，再根据四边形内角和定理即可求出答案.
19．【答案】（1）解：∵的三边长为4，10，x．
∴，
∴．
（2）解：∵的周长为偶数，是偶数，
∴x是偶数，
∵，
∴x的值可以是8或10或12．
【知识点】三角形三边关系
【解析】【分析】（1）利用三角形三边的关系可得，再求出x的取值范围即可；
（2）利用“的周长为偶数 ”和“”求出x的值即可.
（1）解：∵的三边长为4，10，x．
∴，
∴．
（2）解：∵的周长为偶数，是偶数，
∴x是偶数，
∵，
∴x的值可以是8或10或12．
20．【答案】解：∵，CD是AB边上的高，
∴，代入已知条件得
解得
【知识点】三角形的面积
【解析】【分析】根据三角形面积进行求解，即根据直角三角形面积：两直角边乘积的一半等于斜边与斜边上的高的乘积的一半，计算求解即可.
21．【答案】解：如图所示：
根据三角形具有稳定性．

【知识点】三角形的稳定性
【解析】【分析】根据三角形具有稳定性进行画图即可．
22．【答案】（1）130；50
（2）解：如图①，、的平分线相交于，
，，
，
，，
，，
；
如图②，、外角的平分线相交于，
，，
，
，，，
，，
，
即
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；三角形的角平分线
【解析】【解答】解：（1）如图①，∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于M，
∴∠MBC＝∠ABC，∠MCB＝∠ACB，
∴∠MBC＋∠MCB＝（∠ABC＋∠ACB），
∵∠MBC＋∠MCB＋∠BMC＝180°，∠ABC＋∠ACB＋∠A＝180°，
∴∠MBC＋∠MCB＝180° ∠BMC，∠ABC＋∠ACB＝180° ∠A，
∴∠BMC＝90°＋∠A，
∵∠A＝80°，
∴∠BMC＝130°；
如图②，∵∠ABC、∠ACB外角的平分线相交于N，
∴∠NBC＝∠PBC，∠NCB＝∠QCB，
∴∠NBC＋∠NCB＝（∠PBC＋∠QCB），
∵∠NBC＋∠NCB＋∠BNC＝180°，∠PBC＝∠A＋∠ACB，∠QCB＝∠A＋∠ABC，
∴∠NBC＋∠NCB＝180° ∠BNC，∠PBC＋∠QBC＝∠A＋∠ABC＋∠ACB＋∠A＝180°＋∠A，
∴180° ∠BNC＝（180°＋∠A），
即∠BNC＝90° ∠A，
∵∠A＝80°，
∴∠BNC＝50°；
故答案为：130°；50°.
【分析】（1）由角平分线的定义可得∠MBC＋∠MCB＝（∠ABC＋∠ACB），再利用三角形的内角和定理可得∠M＝90°＋∠A，进而可求解；由角平分线的定义可得∠NBC＋∠NCB＝（∠PBC＋∠QCB），再利用三角形的内角和定理可得∠N＝90° ∠A，进而可求解；
（2）由角平分线的定义可得∠MBC＋∠MCB＝（∠ABC＋∠ACB），再利用三角形的内角和定理可得∠M＝90°＋∠A，进而可求解；由角平分线的定义可得∠NBC＋∠NCB＝（∠PBC＋∠QCB），再利用三角形的内角和定理可得∠N＝90° ∠A，进而可求解.
23．【答案】解：依题意有，
则
【知识点】多边形的对角线
【解析】【分析】根据多边形性质可求出m，n，t值，再代入代数式即可求出答案.
24．【答案】（1）解：设多边形的一个外角为，则与其相邻的内角等于，
由题意，得，解得．
即多边形的每个外角为．
又多边形的外角和为，
多边形的外角个数．
多边形的边数，
答：这个多边形的边数是；
（2）解：因为剪掉一个角以后，多边形的边数可能增加了条，也可能减少了条，或者不变，
当截线经过多边形的个顶点时，多边形的边数减少了条边，
内角和；
当截线经过多边形一个顶点时，多边形的边数不变，
内角和；
当截线不经过正多形的顶点时，多边形的边数增加一条边，
内角和．
答：将这个多边形剪去一个角，剩下多边形的内角和是或或．
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【分析】（1）设多边形的一个外角为，则与其相邻的内角等于，根据题意列出方程，求得，进而根据多边形的外角和为，即可求解；
（2）因为剪掉一个角以后，多边形的边数可能增加了条，也可能减少了条，或者不变，分3种情况讨论，即可求解．
25．【答案】（1）=
（2）解：，
的周长的周长，
即①，
又②，
①②得．，
解得，
②①得，，
解得，
和的长分别为：，．
【知识点】解二元一次方程；三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【分析】（1）根据三角形的中线平分三角形的面积可得答案；
（2）由BD=CD可知△ABD和△ADC之差就是AB与AC的差，结合已知AB+AC=14可得关于AB、AC的二元一次方程组，利用加减消元法求解即可.
26．【答案】解：（1）∵AP是∠DAB的角平分线，CP是∠DCB的角平分线，
∴∠DAP=∠PAB，∠DCP=∠PCB，
∵∠PNB=∠P+∠PAB，∠PNB=∠B+∠PCB，∠PMD=∠P+∠PCD，∠PMD=∠D+∠DAP，
∴∠P+∠PAB=∠B+∠PCB，∠P+∠PCD=∠D+∠DAP
∴∠P+∠PAB+∠P+∠PCD=∠B+∠PCB+∠D+∠DAP
∴2∠P=∠B+∠D
∵∠B=28°，∠D=38°
∴∠P=33°
（2）．
【知识点】三角形的外角性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（2） ∠P=，理由如下：
∵∠P+∠PCD=∠D+∠DAP
∴∠PCD-∠DAP=∠D-∠P
∵∠D+∠DAO=∠B+∠OCB
∴∠DAB-∠DCB=∠B-∠D
∵，
∴∠DAB-∠DCB=3（∠DAP-∠DCP）
∴∠B-∠D=3(∠P-∠D)
∵，
∴∠P=
【分析】（1）根据角平分线可以得到∠DAP=∠PAB，∠DCP=∠PCB，利用三角形的任意一个外角等于与之不相邻的两个内角的和得∠P+∠PAB=∠B+∠PCB，∠P+∠PCD=∠D+∠DAP，然后根据等式性质得出得出2∠P=∠B+∠D，结合题目给出的已知条件即可求解；
（2） 利用三角形的任意一个外角等于与之不相邻的两个内角的和得∠PCD-∠DAP=∠D-∠P，∠DAB-∠DCB=∠B-∠DB，结合题目中的已知条件得∠DAB-∠DCB=3（∠DAP-∠DCP），从而整体代入得出∠P和∠D、∠B之间存在的数量关系．
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