安徽省合肥市第一中学2025届高三上学期教学质量检测（11月月考）数学试题（含答案）

安徽省合肥市第一中学2025届高三上学期教学质量检测（11月月考）数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，集合，则( )
A. B. C. D.
2.若，则( )
A. 或 B. 或 C. D.
3.已知函数，则“”是“函数的是奇函数”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.函数在上单调，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.在中，内角，，的对边分别为，，，已知的外接圆半径为，且，则的面积是( )
A. B. C. D.
6.已知一个正整数，且的次方根仍是一个整数，则这个数次方根为 参考数据：
A. B. C. D.
7.已知函数，，若，使得，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
8.已知正数，满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知关于的不等式的解集为，则下列结论正确的是( )
A. B. 的最大值为
C. 的最小值为 D. 的最小值为
10.如图是函数的部分图象，是图象的一个最高点，是图象与轴的交点，，是图象与轴的交点，且的面积等于，则下列说法正确的是( )
A. 函数的最小正周期为
B. 函数的图象关于直线对称
C. 函数的图象可由的图象向右平移个单位长度得到
D. 函数与在上有个交点
11.已知函数及其导函数的定义域均为，若，且是奇函数，令，则下列说法正确的是( )
A. 函数是奇函数 B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知幂函数在上单调递减，则 ．
13.已知，且，则 ．
14.设函数，下列说法正确的有 ．
函数的一个周期为；
函数的值域是
函数的图象上存在点，使得其到点的距离为；
当时，函数的图象与直线有且仅有一个公共点．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知命题“”为假命题，命题“在上为增函数”为真命题，设实数的所有取值构成的集合为．
求集合；
设集合，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
16.本小题分
已知函数．
若的图象在点处的切线经过点，求；
若是的两个不同极值点，且，求实数的取值范围．
17.本小题分
已知定义域为的函数满足对任意，都有
求证：是奇函数；
当时，若关于的不等在上恒成立，求的取值范围．
18.本小题分
记的内角，，的对边分别为，，，已知．
求取值的范围；
若，求周长的最大值；
若，求的面积．
19.本小题分
已知函数，其中．
当时，求曲线在点处的切线方程；
判断函数是否存在极值，若存在，请判断是极大值还是极小值；若不存在，说明理由；
讨论函数在上零点的个数．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：
因为命题为假命题，所以关于的一元二次方程无解，
即，解得，
因为命题为真命题，当时，在上为增函数，满足题意；
当时，结合对勾函数的性质可知在上单调递减，不满足题意；
故集合，所以或；
由是的必要不充分条件，则，
当时，，解得，此时满足，
当时，则或
解得或，
综上所述，的取值范围是或．

16.解：
函数，求导得，
则，，
于是函数的图象在点处的切线方程为，
即，
而切线过点，则，
整理可得，解得或，
所以或．
由知，方程，即有两个不等实根，
则，解得，且
于是
，
由，得，解得，
因此，所以实数的取值范围是．

17.解：
证明：令，得，即，
令，得，即，
令，，
所以是奇函数．
，
，且，
所以，
令，
因为，
所以，则，
设，则，所以，
因为，
所以在上是减函数，
，所以为偶函数，
所以在上恒成立，
即或，
即或负值，舍去，
令，即，
，
令，解得，
所以，，单调递增，
所以，
所以．
故的取值范围是．

18.解：
由题设，
所以，
，
又，则，
根据正弦边角关系，易得，则，
又，则，当且仅当时取等号，
所以，结合，可得；
由有，又，
又，则，
所以，当且仅当取等号，
所以周长的最大值．
由，且，
所以，而，则，
由，显然，故，即，
结合，可得，
由，而，
由，整理得，可得负值舍，
所以，故．

19.解：当时，，则，
所以，，，
所以，曲线在点处的切线方程为，即；
，设，
则对任意的恒成立，故在上单调递减．
所以，，当时，．
若，即时，
由零点存在定理可知，存在，使得，
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减．
所以，在处取得极大值，不存在极小值；
若，则，对任意的恒成立，
此时，函数在上单调递增，此时函数无极值．
综上所述，当时，函数有极大值，无极小值；
当时，函数无极值；
分以下情况讨论：
若，函数在上单调递增，
则，
此时，函数在上无零点；
若，由可知，由零点存在定理可知，存在，使得，且函数在上单调递增，在上单调递减．
从而有，设，则对任意的恒成立，从而当增大时，也增大．
若，此时，此时函数在上单调递减，
若，可得或舍去．
此时函数在上无零点；
若，可得，
此时函数在上有且只有一个零点．
当时，，，此时函数在上只有一个零点；
当时，此时，此时函数在上单调递增，在上单调递减．
，，
所以，，
设，则对任意的恒成立，
所以，函数在上单调递增，所以，，
若，即，即，此时函数在上无零点；
若，即，即时，此时函数在上有且只有一个零点．
综上所述，当时，函数在上无零点；
当时，函数在上有且只有一个零点

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