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垂直于弦的直径 专项练习
一．选择题（共8小题）
1．数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点A，B，连接AB，作AB的垂直平分线CD交AB于点D，交于点C，测出AB＝40cm，CD＝10cm，则圆形工件的半径为（ ）
A．50cm B．35cm C．25cm D．20cm
2．如图，在⊙O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离OE＝4，则⊙O的半径长为（ ）
A．4 B． C．5 D．
3．如图，圆形拱门最下端AB在地面上，D为AB的中点，C为拱门最高点，线段CD经过拱门所在圆的圆心，若AB＝1m，CD＝2.5m，则拱门所在圆的半径为（ ）
A．1.25m B．1.3m C．1.4m D．1.45m
4．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为E．若CD＝8，OD＝5，则BE的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一．图②是从正面看到的一个“老碗”（图①）的形状示意图．是⊙O的一部分，D是的中点，连接OD，与弦AB交于点C，连接OA，OB．已知AB＝24cm，碗深CD＝8cm，则⊙O的半径OA为（ ）
A．13cm B．16cm C．17cm D．26cm
6．如图，AB是⊙O的直径，OD垂直于弦AC于点D，DO的延长线交⊙O于点E．若AC＝4，DE＝4，则BC的长是（ ）
A．1 B． C．2 D．4
7．工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一个如图（1）所示的工件槽，其两个底角均为90°，将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图（1）所示的A、B、E三个接触点，该球的大小就符合要求．图（2）是过球心及A、B、E三点的截面示意图，已知⊙O的直径就是铁球的直径，AB是⊙O的弦，CD切⊙O于点E，AC⊥CD、BD⊥CD，若CD＝16cm，AC＝BD＝4cm，则这种铁球的直径为（ ）
A．10cm B．15cm C．20cm D．24cm
8．如图，CD是圆O的弦，直径AB⊥CD，垂足为E，若AB＝12，BE＝3，则四边形ACBD的面积为（ ）
A．36 B．24 C．18 D．72
二．填空题（共8小题）
9．“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”转化为现在的数学语言表达就是：如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE＝1寸，AB＝10寸，则直径CD的长度为 寸．
10．如图，⊙O是一个盛有水的容器的横截面，⊙O的半径为10cm，水的最深处到水面AB的距离为4cm，则水面AB的宽度为 cm．
11．为传承非遗文化，讲好中国故事，某地准备在一个场馆进行川剧演出．该场馆底面为一个圆形，如图所示，其半径是10米，从A到B有一笔直的栏杆，圆心O到栏杆AB的距离是5米，观众在阴影区域里观看演出，如果每平方米可以坐3名观众，那么最多可容纳 名观众同时观看演出．（π取3.14，取1.73）
12．如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，如果C是⊙O中弦AB的中点，CD经过圆心O交⊙O于点D，并且AB＝4m，CD＝6m，则⊙O的半径长为 m．
13．如图，将一个球放置在圆柱形玻璃瓶上，测得瓶高AB＝20cm，底面直径BC＝12cm，球的最高点到瓶底面的距离为32cm，则球的半径为 cm（玻璃瓶厚度忽略不计）．
14．一块圆形玻璃镜面碎成了几块，其中一块如图所示，测得弦AB长20厘米，弓形高CD为2厘米，则镜面半径为 厘米．
15．如图，在⊙O中，弦AB垂直平分半径OC，垂足为D，若⊙O的半径为2，则弦AB的长为 ．
16．⊙O的直径CD＝10，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OC＝3：5，则AC的长为 ．
三．解答题（共10小题）
17．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．
求证：A，B，C，D四个点在以点O为圆心的同一个圆上．
18．如图，菱形ABCD的对角线AC和BD相交于O点，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，求证：E，F，G，H四个点在以O为圆心的同一个圆上．
19．石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶（如图1），隋代建造的赵州桥距今约有1400年历史，是我国古代石拱桥的代表．如图2是根据某石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，表示为，桥的跨度（弧所对的弦长）AB＝26m，设所在圆的圆心为O，半径OC⊥AB，垂足为D．拱高（弧的中点到弦的距离）CD＝5m．连接OB．求这座石拱桥主桥拱的半径（精确到1m）．
20．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．
21．如图，在⊙O中，AB，AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D，E．
（1）求证：四边形ADOE是正方形；
（2）若AC＝4，求⊙O的半径．
22．如图，在半径为50的⊙O中，弦AB的长为50，
（1）求∠AOB的度数；
（2）求点O到AB的距离．
23．如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，如果M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E，并且CD＝6m，EM＝9m．
（1）求⊙O的半径；
（2）已知点P为线段EM上一点，过点P作AB∥CD并交⊙O于点A、B，若AB的长为8m，求平行线CD与AB之间的距离．
24．如图，AB，CD是⊙O的两条平行弦，MN是AB的垂直平分线．求证：MN垂直平分CD．
25．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（），点O是这段弧所在圆的圆心．AB＝300m，C是AB上的一点，OC⊥AB，垂足为D，CD＝50m，求这段弯路的半径．
26．如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON＝30°，在点A处有一栋居民楼，AO＝200m，如果火车行驶时，周围200m以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路MN上沿ON方向行驶时，居民楼是否会受到噪音的影响？如果火车行驶的速度为72km/h，居民楼受噪音影响的时间约为多少秒（精确到0.1s）？中小学教育资源及组卷应用平台
垂直于弦的直径 专项练习
一．选择题（共8小题）
1．数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点A，B，连接AB，作AB的垂直平分线CD交AB于点D，交于点C，测出AB＝40cm，CD＝10cm，则圆形工件的半径为（ ）
A．50cm B．35cm C．25cm D．20cm
【思路点拔】根据垂径定理可以得到BD的长，再根据勾股定理，即可求得圆形工件的半径．
【解答】解：设圆心为O，连接OB，如图所示，
∵CD垂直平分AB，AB＝40cm，
∴BD＝20cm，
∵CD＝10cm，OC＝OB，
∴OD＝OB﹣10，
∵∠ODB＝90°，
∴OD2+BD2＝OB2，
∴（OB﹣10）2+202＝OB2，
解得OB＝25，
即圆形工件的半径为25cm，
故选：C．
2．如图，在⊙O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离OE＝4，则⊙O的半径长为（ ）
A．4 B． C．5 D．
【思路点拔】利用垂径定理，勾股定理求解即可．
【解答】解：∵OE⊥AB，
∴AE＝EB＝4，
∴OA4．
故选：B．
3．如图，圆形拱门最下端AB在地面上，D为AB的中点，C为拱门最高点，线段CD经过拱门所在圆的圆心，若AB＝1m，CD＝2.5m，则拱门所在圆的半径为（ ）
A．1.25m B．1.3m C．1.4m D．1.45m
【思路点拔】如图，连接OA，先证明CD⊥AB，AD＝BD＝0.5，再进一步的利用勾股定理计算即可．
【解答】解：如图，连接OA，
∵D为AB的中点，C为拱门最高点，线段CD经过拱门所在圆的圆心，AB＝1m，
∴CD⊥AB，AD＝BD＝0.5，
设拱门所在圆的半径为rm，
∴OA＝OC＝r，而CD＝2.5m，
∴OD＝2.5﹣r，
∴r2＝0.52+（2.5﹣r）2，
解得：r＝1.3，
∴拱门所在圆的半径为1.3m；
故选B．
4．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为E．若CD＝8，OD＝5，则BE的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【思路点拔】先根据垂径定理得出DE的长，再利用勾股定理求出OE的长即可解决问题．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，且AB⊥CD，
∴DE．
在Rt△DOE中，
OE，
∴BE＝5﹣3＝2．
故选：B．
5．陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一．图②是从正面看到的一个“老碗”（图①）的形状示意图．是⊙O的一部分，D是的中点，连接OD，与弦AB交于点C，连接OA，OB．已知AB＝24cm，碗深CD＝8cm，则⊙O的半径OA为（ ）
A．13cm B．16cm C．17cm D．26cm
【思路点拔】首先利用垂径定理的推论得出OD⊥AB，AC＝BCAB＝12cm，再设⊙O的半径OA为R cm，则OC＝（R﹣8）cm．在Rt△OAC中根据勾股定理列出方程R2＝122+（R﹣8）2，求出R即可．
【解答】解：∵是⊙O的一部分，D是的中点，AB＝24cm，
∴OD⊥AB，AC＝BCAB＝12cm．
设⊙O的半径OA为R cm，则OC＝OD﹣CD＝（R﹣8）cm．
在Rt△OAC中，∵∠OCA＝90°，
∴OA2＝AC2+OC2，
∴R2＝122+（R﹣8）2，
∴R＝13，
即⊙O的半径OA为13cm．
故选：A．
6．如图，AB是⊙O的直径，OD垂直于弦AC于点D，DO的延长线交⊙O于点E．若AC＝4，DE＝4，则BC的长是（ ）
A．1 B． C．2 D．4
【思路点拔】由垂径定理可知，点D是AC的中点，则OD是△ABC的中位线，所以ODBC，设OD＝x，则BC＝2x，则OE＝4﹣x，AB＝2OE＝8﹣2x，在Rt△ABC中，由勾股定理可得AB2＝AC2+BC2，即（8﹣2x）2＝（4）2+（2x）2，求出x的值即可得出结论．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠C＝90°，
∵OD⊥AC，
∴点D是AC的中点，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥BC，且ODBC，
设OD＝x，则BC＝2x，
∵DE＝4，
∴OE＝4﹣x，
∴AB＝2OE＝8﹣2x，
在Rt△ABC中，由勾股定理可得，AB2＝AC2+BC2，
∴（8﹣2x）2＝（4）2+（2x）2，
解得x＝1．
∴BC＝2x＝2．
故选：C．
7．工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一个如图（1）所示的工件槽，其两个底角均为90°，将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图（1）所示的A、B、E三个接触点，该球的大小就符合要求．图（2）是过球心及A、B、E三点的截面示意图，已知⊙O的直径就是铁球的直径，AB是⊙O的弦，CD切⊙O于点E，AC⊥CD、BD⊥CD，若CD＝16cm，AC＝BD＝4cm，则这种铁球的直径为（ ）
A．10cm B．15cm C．20cm D．24cm
【思路点拔】连接OE，交AB于点F，连接OA，∵AC⊥CD、BD⊥CD，由矩形的判断方法得出四边形ACDB是矩形，得出AB∥CD，AB＝CD＝16cm，由切线的性质得出OE⊥CD，得出OE⊥AB，得出四边形EFBD是矩形，AFAB16＝8（cm），进而得出EF＝BD＝4cm，设⊙O的半径为r cm，则OA＝r cm，OF＝OE﹣EF＝（r﹣4）cm，由勾股定理得出方程r2＝82+（r﹣4）2，解方程即可求出半径，继而求出这种铁球的直径．
【解答】解：如图，连接OE，交AB于点F，连接OA，
∵AC⊥CD、BD⊥CD，
∴AC∥BD，
∵AC＝BD＝4cm，
∴四边形ACDB是平行四边形，
∴四边形ACDB是矩形，
∴AB∥CD，AB＝CD＝16cm，
∵CD切⊙O于点E，
∴OE⊥CD，
∴OE⊥AB，
∴四边形EFBD是矩形，AFAB16＝8（cm），
∴EF＝BD＝4cm，
设⊙O的半径为r cm，则OA＝r cm，OF＝OE﹣EF＝（r﹣4）cm，
在Rt△AOF中，OA2＝AF2+OF2，
∴r2＝82+（r﹣4）2，
解得：r＝10，
∴这种铁球的直径为20cm，
故选：C．
8．如图，CD是圆O的弦，直径AB⊥CD，垂足为E，若AB＝12，BE＝3，则四边形ACBD的面积为（ ）
A．36 B．24 C．18 D．72
【思路点拔】根据AB＝12，BE＝3，求出OE＝3，OC＝6，并利用勾股定理求出EC，根据垂径定理求出CD，即可求出四边形的面积．
【解答】解：如图，连接OC，
∵AB＝12，BE＝3，
∴OB＝OC＝6，OE＝3，
∵AB⊥CD，
在Rt△COE中，EC，
∴CD＝2CE＝6，
∴四边形ACBD的面积．
故选：A．
二．填空题（共8小题）
9．“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”转化为现在的数学语言表达就是：如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE＝1寸，AB＝10寸，则直径CD的长度为 26 寸．
【思路点拔】连接OA，设⊙O的半径是r寸，由垂径定理得到AEAB＝5寸，由勾股定理得到r2＝（r﹣1）2+52，求出r，即可得到圆的直径长．
【解答】解：连接OA，
设⊙O的半径是r寸，
∵直径CD⊥AB，
∴AEAB10＝5寸，
∵CE＝1寸，
∴OE＝（r﹣1）寸，
∵OA2＝OE2+AE2，
∴r2＝（r﹣1）2+52，
∴r＝13，
∴直径CD的长度为2r＝26寸．
故答案为：26．
10．如图，⊙O是一个盛有水的容器的横截面，⊙O的半径为10cm，水的最深处到水面AB的距离为4cm，则水面AB的宽度为 16 cm．
【思路点拔】过点O作OD⊥AB于点C，交⊙O于点D，连接OA，由垂径定理可得AC＝BC，然后在Rt△AOC中根据勾股定理求出AC的长，即可得出AB的长．
【解答】解：如图，过点O作OD⊥AB于点C，交⊙O于点D，连接OA，
∴，
由题意知，OA＝10cm，CD＝4cm，
∴OC＝6cm，
在Rt△AOC中，（cm），
∴AB＝2AC＝16（cm），
故答案为：16．
11．为传承非遗文化，讲好中国故事，某地准备在一个场馆进行川剧演出．该场馆底面为一个圆形，如图所示，其半径是10米，从A到B有一笔直的栏杆，圆心O到栏杆AB的距离是5米，观众在阴影区域里观看演出，如果每平方米可以坐3名观众，那么最多可容纳 184 名观众同时观看演出．（π取3.14，取1.73）
【思路点拔】过O作OD⊥AB，D为垂足，可得到∠AOD＝60°，所以∠AOB＝120°，再求出S阴影部分＝S扇形OAB﹣S△OAB105π﹣2561.4（m2），然后乘以3即可得到观看马戏的观众人数约为184人．
【解答】解：过O作OD⊥AB，D为垂足，如图，
∴AD＝BD，OD＝5m，
∵cos∠AOD，
∴∠AOD＝60°，ADOD＝5m，
∴∠AOB＝120°，AB＝10m，
∴S阴影部分＝S扇形OAB﹣S△OAB105π﹣2561.4（m2），
∴61.4×3≈184（人）．
∴观看马戏的观众人数约为184人．
故答案为：184人．
12．如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，如果C是⊙O中弦AB的中点，CD经过圆心O交⊙O于点D，并且AB＝4m，CD＝6m，则⊙O的半径长为 m．
【思路点拔】连接OA，如图，设⊙O的半径为r m，根据垂径定理的推论得到CD⊥AB，在Rt△AOC中利用勾股定理得到22+（6﹣r）2＝r2，然后解方程即可．
【解答】解：连接OA，如图，设⊙O的半径为r m，
∵C是⊙O中弦AB的中点，CD过圆心，
∴CD⊥AB，AC＝BCAB＝2m，
在Rt△AOC中，∵OA＝r m，OC＝（6﹣r）m，
∴22+（6﹣r）2＝r2，
解得r，
即⊙O的半径长为m．
故答案为：．
13．如图，将一个球放置在圆柱形玻璃瓶上，测得瓶高AB＝20cm，底面直径BC＝12cm，球的最高点到瓶底面的距离为32cm，则球的半径为 7.5 cm（玻璃瓶厚度忽略不计）．
【思路点拔】设球心为O，过O作OM⊥AD于M，连接OA，设球的半径为r cm，由垂径定理得AM＝DMAD＝6（cm）然后在Rt△OAM中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【解答】解：如图，设球心为O，过O作OM⊥AD于M，连接OA，
设球的半径为r cm，
由题意得：AD＝12cm，OM＝32﹣20﹣r＝（12﹣r）（cm），
由垂径定理得：AM＝DMAD＝6（cm），
在Rt△OAM中，由勾股定理得：AM2+OM2＝OA2，
即62+（12﹣r）2＝r2，
解得：r＝7.5，
即球的半径为7.5cm，
故答案为：7.5．
14．一块圆形玻璃镜面碎成了几块，其中一块如图所示，测得弦AB长20厘米，弓形高CD为2厘米，则镜面半径为 26 厘米．
【思路点拔】根据题意，弦AB长20厘米，弓形高CD为2厘米，根据勾股定理和垂径定理可以求得圆的半径．
【解答】解：如图，点O是圆形玻璃镜面的圆心，连接OC，则点C，点D，点O三点共线，
由题意可得：OC⊥AB，ACAB＝10（厘米），
设镜面半径为x厘米，
由题意可得：x2＝102+（x﹣2）2，
∴x＝26，
∴镜面半径为26厘米，
故答案为：26．
15．如图，在⊙O中，弦AB垂直平分半径OC，垂足为D，若⊙O的半径为2，则弦AB的长为 2 ．
【思路点拔】连接OA，由AB垂直平分OC，求出OD的长，再利用垂径定理得到D为AB的中点，在直角三角形AOD中，利用垂径定理求出AD的长，即可确定出AB的长．
【解答】解：连接OA，由AB垂直平分OC，得到ODOC＝1，
∵OC⊥AB，
∴D为AB的中点，
则AB＝2AD＝222．
故答案为：2．
16．⊙O的直径CD＝10，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OC＝3：5，则AC的长为 4或2 ．
【思路点拔】连接OA，由AB⊥CD，设OC＝5x，OM＝3x，根据CD＝10可得OC＝5，OM＝3，根据垂径定理得到AM＝4，然后分类讨论：当如图1时，CM＝8；当如图2时，CM＝2，再利用勾股定理分别计算即可．
【解答】解：连接OA，
∵OM：OC＝3：5，
设OC＝5x，OM＝3x，
则OD＝OC＝5x，
∵CD＝10，
∴OM＝3，OA＝OC＝5，
∵AB⊥CD，
∴AM＝BMAB，
在Rt△OAM中，OA＝5，
AM，
当如图1时，CM＝OC+OM＝5+3＝8，
在Rt△ACM中，AC；
当如图2时，CM＝OC﹣OM＝5﹣3＝2，
在Rt△ACM中，AC．
综上所述，AC的长为4或2．
故答案为：4或2．
三．解答题（共10小题）
17．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．
求证：A，B，C，D四个点在以点O为圆心的同一个圆上．
【思路点拔】先根据题意画出图形，然后再根据矩形的性质得到AC＝BD，OA＝OCAC，OB＝ODBD，进而说明OA＝OB＝OC＝OD即可证明．
【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，OA＝OCAC，OB＝ODBD，
∴OA＝OB＝OC＝OD，
∴A、B、C、D四点在以O圆心的同一个圆上．
18．如图，菱形ABCD的对角线AC和BD相交于O点，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，求证：E，F，G，H四个点在以O为圆心的同一个圆上．
【思路点拔】如图，连接OE，OF，OG，OH．利用菱形的性质可以证明OE＝OF＝OG＝OHAB，由此即可证明E、F、G、H四点在以O为圆心，AB为半径的圆上．
【解答】解：连接OE，OF，OG，OH．
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，且BD⊥AC．
∵E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，
∴OE＝OF＝OG＝OHAB，
∴E、F、G、H四点在以O为圆心，AB为半径的圆上．
19．石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶（如图1），隋代建造的赵州桥距今约有1400年历史，是我国古代石拱桥的代表．如图2是根据某石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，表示为，桥的跨度（弧所对的弦长）AB＝26m，设所在圆的圆心为O，半径OC⊥AB，垂足为D．拱高（弧的中点到弦的距离）CD＝5m．连接OB．求这座石拱桥主桥拱的半径（精确到1m）．
【思路点拔】先设拱桥半径为R，在直角三角形中，根据勾股定理可得到有关R的方程，求解即可得到结果，解题的关键是方程思想的应用．
【解答】解：∵OC⊥AB，AB＝26m，
∴AD＝DB＝13m，
设拱桥半径为R，即OB＝OC＝R，
∵CD＝5m，
∴OD＝（R﹣5）m，
在△BDO中，BD2+OD2＝BO2，
即132+（R﹣5）2＝R2，
解得：R＝19.4≈19m，
∴这座石拱桥主桥拱的半径为19m．
20．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．
【思路点拔】过点O作OC⊥AB于点C，连接OB，构造直角三角形BOC，根据垂径定理和弦心距得到直角三角形直角边长，利用勾股定理直接求圆的半径即可．
【解答】解：过点O作OC⊥AB于点C，连接OB，则
AC＝BCAB
∵AB＝8cm，OC＝3cm
∴BC＝4cm
在Rt△BOC中，OB5cm
即⊙O的半径是5cm．
21．如图，在⊙O中，AB，AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D，E．
（1）求证：四边形ADOE是正方形；
（2）若AC＝4，求⊙O的半径．
【思路点拔】（1）根据三个直角可得矩形，再利用垂径定理可得一组邻边相等，进而可得结论；
（2）根据勾股定理可得半径．
【解答】（1）证明：∵OD⊥AB，OE⊥AC，
∴ADAB，AEAC，
∵AB＝AC，
∴AD＝AE，
∵∠ADO＝∠A＝∠AEO＝90°，
∴四边形ADOE是正方形；
（2）解：连接OA，
∵AC＝4cm，
∴AE＝2cm，
在Rt△AOE中，OA2，
答：⊙O的半径是2．
22．如图，在半径为50的⊙O中，弦AB的长为50，
（1）求∠AOB的度数；
（2）求点O到AB的距离．
【思路点拔】（1）判断出三角形OAB是等边三角形即可得出∠AOB的度数；
（2）过点O作OC⊥AB于点C，根据等边三角形的性质及勾股定理的知识，可求出OC．
【解答】解：（1）∵OA＝OB＝50，AB＝50，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠AOB＝60°；
（2）过点O作OC⊥AB于点C，
则AC＝BCAB＝25，
在Rt△OAC中，OC25．
即点O到AB的距离为25．
23．如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，如果M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E，并且CD＝6m，EM＝9m．
（1）求⊙O的半径；
（2）已知点P为线段EM上一点，过点P作AB∥CD并交⊙O于点A、B，若AB的长为8m，求平行线CD与AB之间的距离．
【思路点拔】（1）根据垂径定理的推论，得EM⊥CD，然后根据勾股定理即可求解；
（2）分两种情况进行讨论：①当AB在点O上方时，如图2﹣1所示；②当AB在点O下方时，如图2﹣2所示；然后利用垂径定理与勾股定理即可求解．
【解答】解：（1）连接CO，如图1所示，
设CO＝r，EM＝9m，
则OM＝9﹣r，
∵M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E，
∴EM⊥CD，
∵CD＝6m，
∴，
在Rt△COM中，r2＝（9﹣r）2+32，
解得r＝5m；
故⊙O的半径为5m；
（2）设AB交EM于N，连接OA，则OA＝5m，
①当AB在点O上方时，如图2﹣1所示，
∵AB∥CD，EM⊥CD，
∴EM⊥AB，
∴，
∵AB＝8m，
∴AN＝4m，
∴ON3（m），
∵OM＝EM﹣OE＝9﹣5＝4m，
∴平行线CD与AB之间的距离为MN＝4+3＝7（m）；
②当AB在点O下方时，如图2﹣2所示，
同理可得：ON＝3m，OM＝4m，
∴平行线CD与AB之间的距离为MN＝4﹣3＝1（m）；
综上所述，平行线CD与AB之间的距离为7m或1m．
24．如图，AB，CD是⊙O的两条平行弦，MN是AB的垂直平分线．求证：MN垂直平分CD．
【思路点拔】根据弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧得到MN过圆心O，再利用平行线的性质得到MN⊥CD，然后根据垂径得MN垂直平分CD．
【解答】证明：∵MN是AB的垂直平分线，
∴MN过圆心O，
∵AB∥CD，
∴MN⊥CD，
∴MN垂直平分CD．
25．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（），点O是这段弧所在圆的圆心．AB＝300m，C是AB上的一点，OC⊥AB，垂足为D，CD＝50m，求这段弯路的半径．
【思路点拔】设段弯路的半径为r m，根据垂径定理和勾股定理列关于r的方程并求解即可．
【解答】解：设段弯路的半径为r m．
∵OC⊥AB，AB＝300m，
∴AD＝BDAB＝150m，
在Rt△ADO中利用勾股定理，得AO2＝AD2+OD2，
∵CD＝50m，
∴OD＝OC﹣CD＝（r﹣50）m，
∴r2＝1502+（r﹣50）2，
∴r＝250．
答：这段弯路的半径为250m．
26．如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON＝30°，在点A处有一栋居民楼，AO＝200m，如果火车行驶时，周围200m以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路MN上沿ON方向行驶时，居民楼是否会受到噪音的影响？如果火车行驶的速度为72km/h，居民楼受噪音影响的时间约为多少秒（精确到0.1s）？
【思路点拔】过点A作AB⊥MN，利用锐角三角函数的定义求出AB的长与200m相比较即可；过点A作AD＝OA＝200m，求出OD的长即可得出居民楼受噪音影响的时间．
【解答】解：过点A作AB⊥MN，AB是火车在行驶的过程中，距离居民楼最近的地方，
∵∠QON＝30°，AO＝200m，
∴AB＝OA sin30°＝200100m＜200m，
∴居民楼会受到噪音的影响；
过点A作OA＝AD＝200m，
∵AB⊥OD，
∴OB＝BD，
∵在Rt△AOB中，OB100m，
∴OD＝2BO＝200m，
∵火车行驶的速度为72km/h＝20m/s，
∴1017.3s．
答：居民楼受噪音影响的时间为17.3秒．
