山东省淄博市高青县第一中学2025届高三上学期期中考试数学试题（含答案）

山东省淄博市高青县第一中学2025届高三上学期期中考试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集，集合，则( )
A. B. C. D.
2.若复数满足，则的共轭复数是( )
A. B. C. D.
3.已知一个正四棱柱和某正四棱锥的底面边长相等，侧面积相等，且它们的高均为，则此正四棱锥的体积为( )
A. B. C. D.
4.在中，，，则( )
A. B. C. D.
5.已知为等差数列，为其前项和若，公差，则的值为( )
A. B. C. D.
6.若，则( )
A. B. C. D.
7.“”是“函数在区间上单调递增”的( )
A. 充分不必要条件 B. 充要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
8.设，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量，，则下列说法正确的是( )
A. 若，则
B. 不存在实数，使得
C. 若向量，则或
D. 若向量在向量上的投影向量为，则的夹角为
10.已知中，内角，，的对边分别为，，，为延长线上一点，的平分线交直线于，若，，，则( )
A. B.
C. 的面积为 D.
11.已知函数的定义域为，，，当时，，则( )
A.
B. 的图象关于直线对称
C. 当时，
D. 函数有个零点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知数列是等差数列，数列是等比数列，，，则 ．
13.已知，若为偶函数，则实数 ．
14.平移，给出下列个论断：
图象关于对称；
图象关于点对称；
最小正周期是；
在上是增函数；
以其中两个论断作为条件，余下论断为结论，写出你认为正确的两个命题：
．
．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，已知四边形是平面图形，，，，，．
求；
求的值．
16.本小题分
已知函数．
若是的极值点，求实数的值，并求的单调区间；
若存在，使得，求实数的取值范围．
17.本小题分
记为等差数列的前项和，已知，数列满足．
求数列与数列的通项公式；
数列满足为偶数，求前项和．
18.本小题分
已知函数．
求函数的最小正周期和单调递增区间；
若在中，角的对边分别为，，为锐角，且，求面积的最大值．
19.本小题分
已知函数为自然对数的底数．
若的图象在处的切线与直线垂直，求的值；
讨论函数的单调性；
当时，求证：．
参考答案
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15.解：在中，由余弦定理，
得：，解得：，故BC，
故是直角三角形，故．
由得：，又，则，
而，则，
由正弦定理，得：，解得：．
16.解：，，
因为是的极值点，所以，解得，
此时，当时，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以是函数的极大值点，所以．
，，
若，则恒成立，所以在上单调递增，，符合题意
若，当时，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减．
因为存在，使得，所以，解得，
此时，符合题意．
综上所述，实数的取值范围是
17.解：
设等差数列的公差为，
，即
，．
，
，
所以得，，
，
当时，，符合．
；
，依题有：
．
记，则．
记，
则
．
所以．

18.解：依题意，，
所以的最小正周期为；
由，得，
所以函数的单调递增区间是．
因及，得，即有，
则，而为锐角，因此，，
又，由余弦定理得：，即，
当且仅当时取“”，于是得，，
所以面积的最大值．

19.解：，则，
由已知，
故；
，
当时，，
当时，，当时，，
则在上单调递增，在上单调递减；
当时，令，得，
时，，
当时，，当时，，
则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增：
时，，则在上单调递增：
时，，
当时，，当时，，
则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
等价于，
当时，，
令，，
令，则在区间上单调递增，
，，
存在，使得，即，，
当时，，则在上单调递减，
当时，，则在上单调递增，
，
，故．
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