四川省雅安市2025届高三上学期11月“零诊“考试数学试卷（含答案）

四川省雅安市2025届高三上学期11月“零诊“考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B.
C. D.
2.若是虚数单位，复数( )
A. B. C. D.
3.命题“，”的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
4.函数在区间上的图象大致为( )
A. B.
C. D.
5.已知，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.已知单位向量，满足，则( )
A. B. C. D.
7.若，且，则( )
A. B. C. D.
8.下列不等式成立的是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，则( )
A. 的最小正周期为
B. 的图象关于点对称
C. 将的图象向左平移个单位，所得图象的解析式为
D.
10.已知函数的定义域为，若为偶函数，为奇函数，且，则( )
A. 为周期函数
B. 的图象关于点对称
C. ，，成等差数列
D.
11.已知各项都是正数的数列的前项和为，且，则下列结论中正确的是( )
A. 是单调递增数列 B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，若，则 ．
13.记为等差数列的前项和．已知，则的最小值为 ．
14.定义：已知函数的导函数为，若是可导函数且其导函数记为，则曲线在点处的曲率据此，曲线其中的曲率的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，内角，，的对边分别为，，，且．
求的大小；
若的外接圆半径为，且，求的面积．
16.本小题分
已知数列的前项和为，且，其中．
求的通项公式；
若数列满足，证明：．
17.本小题分
已知函数，其中，
当时，求的单调区间；
当时，过点可以作条直线与曲线相切，求的取值范围．
18.本小题分
已知数列满足，，且
证明：数列是等比数列；
求数列的前项和；
令，数列的前项和为，证明：．
19.本小题分
已知函数．
若有个相异极值点，求的取值范围；
若，求的值；
设为正整数，若，，求的最小值．
参考答案
1.
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14.
15.解：
根据正弦定理的变形公式可得，
因为，所以，即，
因为，所以，则，即；
因为，所以，
则，即，
又，所以，
因为的外接圆半径为，
所以由正弦定理可得，
所以，
所以．

16.解：当时，，
当时，，
又，两式相减得：
，
所以，
此时，
将代入得，
因此对也成立，
故的通项公式为，
由可知，
所以，又，
所以，
所以
，
因为，所以，
即．

17.解：由，，
则，
令，得；令，得，
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为．
当时，，则，
设切点为，则，
化简得，
因为过点可以作条直线与曲线相切，
所以方程有三个不同的实根，
设，即函数与的图象有三个交点，
而，
令，得；令，得或，
所以函数在和上单调递减，在上单调递增，
又，，且时，，
画出函数与大致图象，
要使函数与的图象有三个交点，则，
即的取值范围为．

18.解：数列中，当时，，则，
而，又，解得，，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列．
由知，，即，，
则，
令，
则，
两式相减得，
则，所以．
由知，，，显然，
则；又，
于是，
所以．

19.解：函数的定义域为，求导得，
由有个相异极值点，得方程有两个相异正实根，
于是，解得或，
所以的取值范围是或．
令，求导得，
当时，函数在上单调递增，而，
，则，使得，
当时，，因此函数在上单调递增，而，
则当时，，即，不符合题意；
当时，而时，，不等式不恒成立，不符合题意；
当时，，求导得，当时，，当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，，
即对任意正数，恒成立，即不等式恒成立，符合题意，
所以．
由知，对任意，不等式，当且仅当时取等号，
令，则，
则
，即，
因此，
当时，，
所以对，时，正整数的最小值为．

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