云南省昆明市昆明师范专科学校附属中学2023-2024学年高二下学期数学5月期中试卷
1．（2024高二下·昆明期中）已知 ，则 （ ）
A． B． C．0 D．
2．（2024高二下·昆明期中）曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024高二下·昆明期中） 的展开式中x4的系数为（ ）
A．10 B．20 C．40 D．80
4．（2024高二下·昆明期中）为支援山区教育发展，区教委计划派名教师去石柱 丰都 奉节三个区县支教，若每个区县至少派遣名教师，则不同的选派方案为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024高二下·昆明期中）若，则（ ）
A．100 B．110 C．120 D．130
6．（2024高二下·昆明期中）函数的单调增区间为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高二下·昆明期中）函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2024高二下·昆明期中）从1，3，5中取两个数，从2，4中取一个数，可以组成没有重复数字的三位数，则在这些三位数中，奇数的个数为（ ）
A．12 B．18 C．24 D．36
9．（2024高二下·昆明期中）已知定义域为的函数的导函数为，且的图象如图所示，则（ ）
A．在上单调递减 B．有极小值
C．有2个极值点 D．在处取得最大值
10．（2024高二下·昆明期中）下列关于的说法，正确的是（ ）
A．展开式的各二项式系数之和是1024
B．展开式各项系数之和是1024
C．展开式的第5项的二项式系数最大
D．展开式的第3项为45x
11．（2024高二下·昆明期中）下列选项正确的是（ ）
A．，则 B．，则
C．，则 D．，则
12．（2024高二下·昆明期中）展开式中的常数项为 .
13．（2024高二下·昆明期中）某校安排高一年级（1）～（5）班共5个班去A，B，C，D四个劳动教育基地进行社会实践，每个班去一个基地，每个基地至少安排一个班，则高（1）班被安排到A基地的排法总数为 种．
14．（2024高二下·昆明期中）函数 仅有一个零点，则实数 的取值范围是 ．
15．（2024高二下·昆明期中）如图所示，四棱锥的底面是矩形，底面，，，，．
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
16．（2024高二下·昆明期中）（1）7个人排成一排拍照片，若要求甲、乙、丙3人必须相邻，有多少种排法？
（2）一场班级元旦晚会有4个唱歌节目和2个相声节目，要求排出一个节目单，第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目，有多少种排法？
（3）从4个男青年教师和5个女青年教师中选出4名教师参加新教材培训，要求至少有2名男教师和1名女教师参加，有多少种选法？
17．（2024高二下·昆明期中）椭圆C：左右焦点为，，离心率为，点在椭圆C上．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）经过点，倾斜角为直线l与椭圆交于B，C两点，求．
18．（2024高二下·昆明期中）已知等差数列，若，且，，成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，设，求数列的前项和．
19．（2024高二下·昆明期中） 已知函数.
（1）当时，求函数的极值；
（2）若函数在区间上是减函数，求实数的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】函数的值；导数的加法与减法法则
【解析】【解答】 ，
，
.
故答案为：B
【分析】利用导数的基本运算法则即可求出.
2．【答案】D
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：函数定义域为，，，
则切线方程为，即.
故答案为：D.
【分析】求导，利用导数的几何意义，结合直线的点斜式方程求切线方程即可.
3．【答案】C
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】 通式
令10-3r=4 r=2 所以 的系数是
故答案为：C
【分析】先由二项式定理的通式求出x的指数，用r表示，再令其指数为4即可解出r.
4．【答案】D
【知识点】排列与组合的综合
【解析】【解答】解：根据题意，每个区县至少派遣名教师，可将6名教师分组为1，2，3；2，2，2；1，1，4型，
则分组的种数为，再分配到三个区县支教，共有 种
故答案为：D.
【分析】根据题意，将6名教师先分组再分配求解即可.
5．【答案】C
【知识点】二项式定理；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：展开式的通项为，
令，则；
令，则，
故.
故答案为：C.
【分析】写出展开式的通项，令，求系数，从而可求的值.
6．【答案】C
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：函数定义域为，，
令，解得，则函数的单调增区间为.
故答案为：C.
【分析】先求定义域，再求导，令导函数大于零，解不等式解集即可得函数的单调递增区间.
7．【答案】A
【知识点】指数型复合函数的性质及应用
【解析】【解答】解：由f‘(x）=xex，可得函数f(x）的减区间为，增区间为，
当x<0时，f(x）<0
故答案为：A.
【分析】先求出f(x)的导数f'(x)，根据导数正负，求得f(x)的单调区间，结合函数值观察图像得出答案
8．【答案】C
【知识点】排列与组合的综合
【解析】【解答】解：从1，3，5中取两个数有种不同的取法，从2，4中取一个数有种不同的取法；
而奇数只能是从1，3，5取出的两个数中取一个作为个位数，另外两个数全排列即可，
故奇数的个数为.
故答案为：C.
【分析】根据排列组合公式和奇数的特点求解即可.
9．【答案】A,B
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：A、由的图象可知或时，，
则单调递减，故A正确；
B、，时，则单调递增，所以当时，有极小值，故B正确；
C、由的图象结合单调性可知，2，4时，有极值，所以有3个极值点，故C错误；
D、当时，，则单调递增，
所以，在处不能取得最大值，故D错误．
故答案为：AB.
【分析】由图象，利用导数与函数的关系逐项分析判断即可.
10．【答案】A,D
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质；二项式系数
【解析】【解答】解：A、的展开式的各二项式系数之和是，故A正确；
B、令，得的展开式的各项系数之和为0，故B错误；
C、的展开有11项，其中第6项的二项式系数最大，故C错误；
D、的展开式的第3项为，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】利用二项式定理，结合二项式系数的性质逐项分析判断即可.
11．【答案】A,B,D
【知识点】基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：A、若，则，故A正确；
B、若，则，故，故B正确；
C、若，则，故C错误；
D、若，则，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】利用基本初等函数的导数公式逐项求解判断即可.
12．【答案】60
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】由题意的展开式的通项为 ，
令，
故展开式中的常数项为，
故答案为：60
【分析】利用二项式展开式通项公式，令，求得参数r的值，即可求得答案.
13．【答案】60
【知识点】排列与组合的综合
【解析】【解答】解：由题意可得：当只安排高一（1）班被安排到A基地时，则安排方法有种；
当安排一个班和高一（1）班一起到A基地时，则安排方法有种，故高一（1）班被安排到A基地的排法总数为种．
故答案为：60.
【分析】由题意，分只有高一（1）班被安排到A基地；还有一个班和高一（1）班一起被安排到A基地，利用排列组合求解即可.
14．【答案】a＜-2或a＞2
【知识点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用；函数的零点
【解析】【解答】解：令，得a=-x3+3x ，
则函数 ，仅有一个零点即为 只有一个交点，
设g(x)=-x3+3x ，得g'(x)=-3x2+3 ，
令g'(x)>0 ，得-11 ，
则g(x)在（-∞，-1）上递减，（-1，1） 上递增， （1，+∞）上递减，
故g(x)的极小值为g(-1)=1-3=-2 ，极大值为g(x)=-1+3=2 ，
∴a<-2或a>2.
故答案为：a<-2或a>2.
【分析】将函数 仅有一个零点转化为 只有一个交点，设g(x)=-x3+3x ，求导，求出极值即可得答案.
15．【答案】（1）证明：由题意知，，，两两互相垂直，以为原点，，，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，．
底面，底面，
又，，
且平面，
平面，
所以是平面的一个法向量．
因为，
所以．
又平面，所以平面．
（2）解：因为，，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，则
由，解得，令，
得平面的一个法向量为．
设直线与平面所成的角为，
则．
故：直线与平面所成角的正弦值为．
【知识点】空间向量平行的坐标表示；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1） 根据题意，以为原点，建立空间直角坐标系，利用线面垂直的判定定理证得平面，得到向量是平面的一个法向量，结合，即可得到平面；
（2） 由（1）中的空间直角坐标系，求得平面的一个法向量和向量 ， 结合向量的夹角公式，即可求解.
16．【答案】（1）解：依题意甲、乙、丙3人必须相邻，则将甲、乙、丙3人捆绑在一起，则排法有种；
（2）解：首先选出2个唱歌节目排在首尾，剩下的4个节目在中间排列，排法有种；
（3）解：由题意，问题可以分为两类：
第一类，安排2名男生和2名女生参加，则有种选法；
第一类，安排3名男生和1名女生参加，则有种选法；
根据分类加法计数原理可得一共有60+20=80种选法；
【知识点】分类加法计数原理；分步乘法计数原理；排列及排列数公式；排列与组合的综合
【解析】【分析】（1）利用捆绑法计算即可；
（2）首先选2个唱歌节目排在首尾，其余全排列，按照分步乘法计数原理结合排列计算即可；
（3）分安排2名男生和2名女生、3名男生和1名女生两种情况讨论，按照分类加法计数原理计算即可.
17．【答案】（1）解：由题意得，解得，
因为点在椭圆上，所以，解得，
则椭圆的标准方程为.
（2）解：易得直线l的解析式为，
设，联立椭圆的方程，消元整理可得，
由韦达定理可得，
职责，即.
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用椭圆的离心率，以及椭圆过点，列方程解出的方程求解即可得椭圆方程；
（2）由已知可得直线l的方程，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系及弦长公式求解即可.
18．【答案】（1）解：设等差数列的公差为，因为，所以①，
又因为，，成等比数列，所以，即，化简可得，
若，若②，由①②可得，，
则数列的通项公式是或；
（2）解：由(Ⅰ)得
.
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的性质；数列的前n项和；等比中项
【解析】【分析】（1）设等差数列的公差为，由题意可得，，分和讨论求数列的通项公式；
（2）由（1）可得，利用裂项相消法求和即可.
19．【答案】（1）解：时，，定义域为，
，
令，解得或（舍去），
令，解得，令，解得，
故在处取得极小值，极小值为，
的极小值为，无极大值.
（2）解：在区间上为减函数，在区间[1，2]上，
，
令，只需，
显然在区间上为减函数，，
的取值范围是.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】本题主要考查导数的运用，运用导数确定极值并判定函数的单调性.
（1）时，，定义域为，对求导，然后令导数，即可找到函数的极值；
（2）由题意可得在区间[1，2]上，然后运用分离参数法得到，构造函数，利用函数的单调性找到其最小值即可求解.
1 / 1云南省昆明市昆明师范专科学校附属中学2023-2024学年高二下学期数学5月期中试卷
1．（2024高二下·昆明期中）已知 ，则 （ ）
A． B． C．0 D．
【答案】B
【知识点】函数的值；导数的加法与减法法则
【解析】【解答】 ，
，
.
故答案为：B
【分析】利用导数的基本运算法则即可求出.
2．（2024高二下·昆明期中）曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：函数定义域为，，，
则切线方程为，即.
故答案为：D.
【分析】求导，利用导数的几何意义，结合直线的点斜式方程求切线方程即可.
3．（2024高二下·昆明期中） 的展开式中x4的系数为（ ）
A．10 B．20 C．40 D．80
【答案】C
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】 通式
令10-3r=4 r=2 所以 的系数是
故答案为：C
【分析】先由二项式定理的通式求出x的指数，用r表示，再令其指数为4即可解出r.
4．（2024高二下·昆明期中）为支援山区教育发展，区教委计划派名教师去石柱 丰都 奉节三个区县支教，若每个区县至少派遣名教师，则不同的选派方案为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】排列与组合的综合
【解析】【解答】解：根据题意，每个区县至少派遣名教师，可将6名教师分组为1，2，3；2，2，2；1，1，4型，
则分组的种数为，再分配到三个区县支教，共有 种
故答案为：D.
【分析】根据题意，将6名教师先分组再分配求解即可.
5．（2024高二下·昆明期中）若，则（ ）
A．100 B．110 C．120 D．130
【答案】C
【知识点】二项式定理；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：展开式的通项为，
令，则；
令，则，
故.
故答案为：C.
【分析】写出展开式的通项，令，求系数，从而可求的值.
6．（2024高二下·昆明期中）函数的单调增区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：函数定义域为，，
令，解得，则函数的单调增区间为.
故答案为：C.
【分析】先求定义域，再求导，令导函数大于零，解不等式解集即可得函数的单调递增区间.
7．（2024高二下·昆明期中）函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】指数型复合函数的性质及应用
【解析】【解答】解：由f‘(x）=xex，可得函数f(x）的减区间为，增区间为，
当x<0时，f(x）<0
故答案为：A.
【分析】先求出f(x)的导数f'(x)，根据导数正负，求得f(x)的单调区间，结合函数值观察图像得出答案
8．（2024高二下·昆明期中）从1，3，5中取两个数，从2，4中取一个数，可以组成没有重复数字的三位数，则在这些三位数中，奇数的个数为（ ）
A．12 B．18 C．24 D．36
【答案】C
【知识点】排列与组合的综合
【解析】【解答】解：从1，3，5中取两个数有种不同的取法，从2，4中取一个数有种不同的取法；
而奇数只能是从1，3，5取出的两个数中取一个作为个位数，另外两个数全排列即可，
故奇数的个数为.
故答案为：C.
【分析】根据排列组合公式和奇数的特点求解即可.
9．（2024高二下·昆明期中）已知定义域为的函数的导函数为，且的图象如图所示，则（ ）
A．在上单调递减 B．有极小值
C．有2个极值点 D．在处取得最大值
【答案】A,B
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：A、由的图象可知或时，，
则单调递减，故A正确；
B、，时，则单调递增，所以当时，有极小值，故B正确；
C、由的图象结合单调性可知，2，4时，有极值，所以有3个极值点，故C错误；
D、当时，，则单调递增，
所以，在处不能取得最大值，故D错误．
故答案为：AB.
【分析】由图象，利用导数与函数的关系逐项分析判断即可.
10．（2024高二下·昆明期中）下列关于的说法，正确的是（ ）
A．展开式的各二项式系数之和是1024
B．展开式各项系数之和是1024
C．展开式的第5项的二项式系数最大
D．展开式的第3项为45x
【答案】A,D
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质；二项式系数
【解析】【解答】解：A、的展开式的各二项式系数之和是，故A正确；
B、令，得的展开式的各项系数之和为0，故B错误；
C、的展开有11项，其中第6项的二项式系数最大，故C错误；
D、的展开式的第3项为，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】利用二项式定理，结合二项式系数的性质逐项分析判断即可.
11．（2024高二下·昆明期中）下列选项正确的是（ ）
A．，则 B．，则
C．，则 D．，则
【答案】A,B,D
【知识点】基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：A、若，则，故A正确；
B、若，则，故，故B正确；
C、若，则，故C错误；
D、若，则，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】利用基本初等函数的导数公式逐项求解判断即可.
12．（2024高二下·昆明期中）展开式中的常数项为 .
【答案】60
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】由题意的展开式的通项为 ，
令，
故展开式中的常数项为，
故答案为：60
【分析】利用二项式展开式通项公式，令，求得参数r的值，即可求得答案.
13．（2024高二下·昆明期中）某校安排高一年级（1）～（5）班共5个班去A，B，C，D四个劳动教育基地进行社会实践，每个班去一个基地，每个基地至少安排一个班，则高（1）班被安排到A基地的排法总数为 种．
【答案】60
【知识点】排列与组合的综合
【解析】【解答】解：由题意可得：当只安排高一（1）班被安排到A基地时，则安排方法有种；
当安排一个班和高一（1）班一起到A基地时，则安排方法有种，故高一（1）班被安排到A基地的排法总数为种．
故答案为：60.
【分析】由题意，分只有高一（1）班被安排到A基地；还有一个班和高一（1）班一起被安排到A基地，利用排列组合求解即可.
14．（2024高二下·昆明期中）函数 仅有一个零点，则实数 的取值范围是 ．
【答案】a＜-2或a＞2
【知识点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用；函数的零点
【解析】【解答】解：令，得a=-x3+3x ，
则函数 ，仅有一个零点即为 只有一个交点，
设g(x)=-x3+3x ，得g'(x)=-3x2+3 ，
令g'(x)>0 ，得-11 ，
则g(x)在（-∞，-1）上递减，（-1，1） 上递增， （1，+∞）上递减，
故g(x)的极小值为g(-1)=1-3=-2 ，极大值为g(x)=-1+3=2 ，
∴a<-2或a>2.
故答案为：a<-2或a>2.
【分析】将函数 仅有一个零点转化为 只有一个交点，设g(x)=-x3+3x ，求导，求出极值即可得答案.
15．（2024高二下·昆明期中）如图所示，四棱锥的底面是矩形，底面，，，，．
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明：由题意知，，，两两互相垂直，以为原点，，，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，．
底面，底面，
又，，
且平面，
平面，
所以是平面的一个法向量．
因为，
所以．
又平面，所以平面．
（2）解：因为，，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，则
由，解得，令，
得平面的一个法向量为．
设直线与平面所成的角为，
则．
故：直线与平面所成角的正弦值为．
【知识点】空间向量平行的坐标表示；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1） 根据题意，以为原点，建立空间直角坐标系，利用线面垂直的判定定理证得平面，得到向量是平面的一个法向量，结合，即可得到平面；
（2） 由（1）中的空间直角坐标系，求得平面的一个法向量和向量 ， 结合向量的夹角公式，即可求解.
16．（2024高二下·昆明期中）（1）7个人排成一排拍照片，若要求甲、乙、丙3人必须相邻，有多少种排法？
（2）一场班级元旦晚会有4个唱歌节目和2个相声节目，要求排出一个节目单，第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目，有多少种排法？
（3）从4个男青年教师和5个女青年教师中选出4名教师参加新教材培训，要求至少有2名男教师和1名女教师参加，有多少种选法？
【答案】（1）解：依题意甲、乙、丙3人必须相邻，则将甲、乙、丙3人捆绑在一起，则排法有种；
（2）解：首先选出2个唱歌节目排在首尾，剩下的4个节目在中间排列，排法有种；
（3）解：由题意，问题可以分为两类：
第一类，安排2名男生和2名女生参加，则有种选法；
第一类，安排3名男生和1名女生参加，则有种选法；
根据分类加法计数原理可得一共有60+20=80种选法；
【知识点】分类加法计数原理；分步乘法计数原理；排列及排列数公式；排列与组合的综合
【解析】【分析】（1）利用捆绑法计算即可；
（2）首先选2个唱歌节目排在首尾，其余全排列，按照分步乘法计数原理结合排列计算即可；
（3）分安排2名男生和2名女生、3名男生和1名女生两种情况讨论，按照分类加法计数原理计算即可.
17．（2024高二下·昆明期中）椭圆C：左右焦点为，，离心率为，点在椭圆C上．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）经过点，倾斜角为直线l与椭圆交于B，C两点，求．
【答案】（1）解：由题意得，解得，
因为点在椭圆上，所以，解得，
则椭圆的标准方程为.
（2）解：易得直线l的解析式为，
设，联立椭圆的方程，消元整理可得，
由韦达定理可得，
职责，即.
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用椭圆的离心率，以及椭圆过点，列方程解出的方程求解即可得椭圆方程；
（2）由已知可得直线l的方程，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系及弦长公式求解即可.
18．（2024高二下·昆明期中）已知等差数列，若，且，，成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，设，求数列的前项和．
【答案】（1）解：设等差数列的公差为，因为，所以①，
又因为，，成等比数列，所以，即，化简可得，
若，若②，由①②可得，，
则数列的通项公式是或；
（2）解：由(Ⅰ)得
.
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的性质；数列的前n项和；等比中项
【解析】【分析】（1）设等差数列的公差为，由题意可得，，分和讨论求数列的通项公式；
（2）由（1）可得，利用裂项相消法求和即可.
19．（2024高二下·昆明期中） 已知函数.
（1）当时，求函数的极值；
（2）若函数在区间上是减函数，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：时，，定义域为，
，
令，解得或（舍去），
令，解得，令，解得，
故在处取得极小值，极小值为，
的极小值为，无极大值.
（2）解：在区间上为减函数，在区间[1，2]上，
，
令，只需，
显然在区间上为减函数，，
的取值范围是.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】本题主要考查导数的运用，运用导数确定极值并判定函数的单调性.
（1）时，，定义域为，对求导，然后令导数，即可找到函数的极值；
（2）由题意可得在区间[1，2]上，然后运用分离参数法得到，构造函数，利用函数的单调性找到其最小值即可求解.
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