2024-2025学年天津市第二南开中学高三（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年天津市第二南开中学高三（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.若，，则的一个充分不必要条件是( )
A. B. C. D.
3.下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是( )
A. B. C. D.
4.已知，，则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
5.设，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
6.的展开式中含项的系数为( )
A. B. C. D.
7.二维码与生活息息相关，我们使用的二维码主要是大小的，即个点，根据和的二进制编码，一共有种不同的码，假设我们秒钟用掉万个二维码，万年约为秒，那么大约可以用参考数据：，( )
A. 万年 B. 万年 C. 万年 D. 万年
8.已知函数的图象的一部分如图，则图中的函数图像对应的函数是( )
A. B. C. D.
9.拉格朗日中值定理是微分学的基本定理之一，定理内容如下：如果函数在闭区间上的图象连续不间断，在开区间内的导数为，那么在区间内至少存在一点，使得成立，其中叫做在区间上的“拉格朗日中值点”根据这个定理，可得函数在区间上的“拉格朗日中值点”的个数为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
10.若复数，则 ______．
11.若曲线上点处的切线平行于直线，则点的坐标是______．
12.从，，，，，，，中任取两个不同的数，分别记为，，记“”，则 ______．
13.已知矩形中，以所在直线为旋转轴，将矩形旋转一周形成的面所围成的几何体的体积为______．
14.已知，则的最小值是______．
15.在中，，，为所在平面内的动点，且，则的取值范围是______．
三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
为迎接年北京冬奥会，某校组织一场冰雪运动知识竞赛，规则如下：有，两类问题，每位参加比赛的选手先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该选手比赛结束，若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该选手比赛结束．类问题中的每个问题回答正确得分，否则得分：类问题中的每个问题回答正确得分，否则得分．小明参加了本次冰雪知识竞赛，已知他能正确回答类问题的概率为，能正确回答类问题的概率为，且能正确回答问题的概率与回答次序无关．
Ⅰ若小明选择先回答类问题，记为小明的累计得分，求的分布列；
Ⅱ为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由．
17.本小题分
已知函数的最大值为，且，若，且．
求的解析式；
求的单调递增区间；
求的零点．
18.本小题分
已知中，角，，所对的边分别为，，，且．
求；
若，为边上一点，，，求的面积．
19.本小题分
如图，在直三棱柱中，，，点，分别在棱，上，，，为的中点．
求证：平面；
当三棱柱的体积最大时，求平面与平面夹角的余弦值．
20.本小题分
设函数，其中是自然对数的底数．
当时，求函数的极值；
若在其定义域内为单调函数，求实数的取值范围；
设，若在上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
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5.
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7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.解：Ⅰ由题意可知：的所有可能值为，，；
；
；
；
所以的分布列为：
Ⅱ由Ⅰ知；
若小明先回答问题，记为小明的累计得分，则的所有可能取值为，，；
；
；
；
所以；
，
所以小明应选择先回答问题．
17.解：因为函数的最大值为，所以，
由，得，或，，
又，所以，
又由，得，，即，，
当时，，，
此时，得，则；
所以；
令，，
解得，，
即的单调递增区间是，；
令，则，，
解得，．
18.解：因为，
由正弦定理可得：，因为，
可得，因为，则，
可得，在三角形中，可得，
解得；
，，因为，
所以，
所以，
由余弦定理可得，即，
可得，可得，
再代入可得，可得，，
即，，
所以．
19.证明：连接，连结交于点，连结，
因为，，
所以，
又因为，
所以四边形为平行四边形，
所以，
又因为，
所以，
又平面，平面，
所以平面．
解：因为的面积为，
当时，取得最大值为，
即当时，三棱柱的体积最大，
又因为，，
以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
则，，，
所以，，
设平面的法向量为，
则，
取，
则，，
此时，
又因为平面的一个法向量为，
设平面与平面夹角为，
则，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
20.解：由已知，得，
时，，
令，可得或，
故函数在，上为单调增函数，在上为单调减函数，
所以函数的极大值为，极小值为，
函数的极大值为，极小值为；
解：，
令，
要使在其定义域内是单调函数，只需在内满足或恒成立，
当且仅当时，，时，，
因为，
所以当且仅当时，，时，，
因为在内有，当且仅当即时取等号，
所以当时，，，此时在单调递增，
当时，，，此时在单调递减，
综上，的取值范围为或．
解：，在上是减函数，
时，；时，，
即．
时，由知在递减，不合题意．
时，由，
不合题意；
时，由知在上是增函数，
故只需，，
而，，
，解得．
故的取值范围为．
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