2024-2025学年贵州省多校高中高三（上）联考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年贵州省多校高中高三（上）联考数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.某同学记录了当地月最后天每天的最低气温单位：，分别为，，，，，，，，则该组数据的第百分位数为( )
A. B. C. D.
3.已知焦点在轴上的椭圆：的焦距为，则其离心率为( )
A. B. C. D.
4.已知，，则( )
A. B. C. D.
5.已知圆台甲、乙的上底面半径均为，下底面半径均为，圆台甲、乙的母线长分别为，，则圆台甲与乙的体积之比为( )
A. B. C. D.
6.已知平面向量，均为非零向量，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.已知且，若函数的值域为，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知函数的图象关于直线对称，则当时，曲线与的交点个数为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数满足，则( )
A. B.
C. 的虚部为 D. 在复平面内对应的点位于第一象限
10.已知是抛物线：的焦点，是的准线，点是上一点且位于第一象限，直线与圆：相切于点，点在线段上，过点作的垂线，垂足为，则( )
A. B. 直线的方程为
C. D. 的面积为
11.已知奇函数的定义域为，其导函数为，若，且，则( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知等比数列的公比不为，且，，成等差数列，则数列的公比为______．
13.有红色、黄色套卡片，每套张，分别标有字母，，，若从这张卡片中随机抽取张，这张卡片的字母恰有两个是相同的，则不同的取法种数为______．
14.若直线与曲线有个交点，则的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知的内角，，的对边分别为，，，且．
求；
若，求．
16.本小题分
如图，在三棱柱中，为边长为的等边三角形，，．
证明：；
求平面与平面夹角的余弦值．
17.本小题分
已知甲、乙两人参加某档知识竞赛节目，规则如下：甲、乙两人以抢答的方式答题，抢到并回答正确得分，答错则对方得分，甲、乙两人初始分均为分，答题过程中当一人比另一人的得分多分时，答题结束，且分高者获胜，若甲、乙两人总共答完题时仍未分出胜负，则答题直接结束，且分高者获胜已知甲、乙两人每次抢到题的概率都为，甲、乙两人答对每道题的概率分别为、，每道题两人答对与否相互独立，且每题都有人抢答．
求第一题结束时甲获得分的概率；
记表示知识竞赛结束时，甲、乙两人总共答题的数量，求的分布列与期望．
18.本小题分
已知是双曲线：的一条渐近线，点在上．
求的方程．
已知直线的斜率存在且不经过原点，与交于，两点，的中点在直线上．
证明：的斜率为定值．
若，的面积为，求的方程．
19.本小题分
定义：对于函数，，若，，，，则称““为三角形函数．
已知函数，若为二次函数，且，写出一个，使得“”为三角形函数；
已知函数，，若“”为三角形函数，求实数的取值范围；
若函数，，证明：“”为三角形函数参考数据：
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：因为，
由正弦定理可得，
即，
在中，，，
所以，
所以；
因为，
由余弦定理可得，
可得，即，，
由余弦定理可得：．
16.解：证明：如图，取中点，连接，，
因为，，，
所以，
故由余弦定理有：
，
所以，，
故A，即，即，
又，平面，，
所以平面，又平面，
所以；
由可得，，即，
故可建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
则，，，
设平面的一个法向量分别为，
则，即，取，则，
设平面的一个法向量分别为，
则，即，取，则，
设平面与平面夹角为，
则 ，
所以平面与平面夹角的余弦值．
17.解：设每道题的抢答中，记甲得分为事件，
发生有两种可能：抢到题且答对，乙抢到题且答错，
所以，
所以甲率先得分的概率为．
由知，在每道题的抢答中甲、乙得分的概率分别为、，
设两人共抢答了道题比赛结束，根据比赛规则，的可能取值为，，．
，
，
，
．
18.解：由题可得，
所以的方程为．
证明：设：，
由，得，
由题意得，，
设，，中点的坐标为，则，
所以，，
因为的中点在直线上，所以，即，
因为，所以，故的斜率为定值．
由得的方程为，
且
，
又点到的距离，
所以，
解得，所以的方程为．
19.解：由，，
得，
令，解得．
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增．
所以．
因为为二次函数，且，
所以的对称轴为，
设，
要使“”为三角形函数，
只要，
取，，
则，，
满足，
则，，，，
即成立．
故若，
取，可使得“”为三角形函数答案不唯一；
，，
当时，，
则任意，，，，
故“”为三角形函数；
当时，由，，
则，，
要使“”为三角形函数，
由，解得，
则有，，，，
所以；
当时，则，
要使“”为三角形函数，
由，解得，
则有，，，，
所以；
综上所述，实数的取值范围为；
证明：，．
由知，，
则任意，，；
下面证明，
由，，
则，
令，，
则，
所以在上单调递减，
又，
由参考数据可知，
，
则存在唯一的实数，使，
即．
所以当时，
，，在上单调递增；
当时，，，
在上单调递减；
故，
由式可知，
则，
令，
则，
所以在单调递增，
故，
即，
所以，，，成立，
即，
故“”为三角形函数．
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