2024-2025学年湖南省长沙市高三（上）段考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年湖南省长沙市高三（上）段考数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，，则( )
A. B. C. D.
2.已知，则( )
A. B. C. D.
3.已知，且满足，则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
4.已知，则( )
A. B. C. D.
5.已知展开式各项系数之和为，则展开式中的系数为( )
A. B. C. D.
6.若函数在上单调递减且对任意满足，则不等式的解集是( )
A. B.
C. D.
7.已知函数的部分图象如图所示，将函数的图象先向右平移个单位长度，再将所有点的横坐标缩短为原来的纵坐标不变，得到函数的图象，若关于的方程在上有两个不等实根，则实数的取值范围为( )
A.
B.
C.
D.
8.已知在平面直角坐标系中，，，点满足设点的轨迹为曲线，直线：若直线与曲线交于不同的两点，，是坐标原点，且有，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知数列满足，其中，为数列的前项和，则下列四个结论中，正确的是( )
A. B. 数列的通项公式为：
C. 数列的前项和为： D. 数列为递减数列
10.设函数，则( )
A. 当时，是的极大值点
B. 当时，有三个零点
C. 若满足，则
D. 当时，若在上有最大值，则
11.如图所示，四面体的底面是以为斜边的直角三角形，体积为，平面，，为线段上一动点，为中点，则下列说法正确的是( )
A. 三棱锥的体积和三棱锥的体积相等
B. 当时，
C. 当时，
D. 四面体的外接球球心为，且外接球体积与之比的最小值是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知点是椭圆上的一点，且以点及焦点，为顶点的三角形的面积等于，则点的坐标为______．
13.已知函数，若曲线在处的切线的斜率为，则实数的值为______．
14.在甲、乙、丙、丁四人踢毽子游戏中，第一次由甲踢出，并且每次踢出都等可能踢给另外三人中的任何一人，若第二次踢出后恰好踢给丙，则此毽子是由乙踢出的概率为______；第次踢出后，毽子恰好踢给乙的概率为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，内角，，的对边分别为，，已知．
求；
若，，设为延长线上一点，且，求线段的长．
16.本小题分
如图，在直角梯形中，，，四边形为菱形且，对角线和相交于点，平面平面，，点为线段的中点．
求证：平面；
若，，求二面角的正弦值．
17.本小题分
设动点到定点的距离与它到定直线的距离之比为．
求点的轨迹的方程；
过的直线与曲线交右支于、两点在轴上方，曲线与轴左、右交点分别为、，设直线的斜率为，直线的斜率为，试判断是否为定值，若是定值，求出此值，若不是，请说明理由．
18.本小题分
已知函数．
证明：曲线是轴对称图形；
若函数在上有三个零点，求实数的取值范围．
19.本小题分
对于任意正整数，进行如下操作：若为偶数，则对不断地除以，直到得到一个奇数，记这个奇数为；若为奇数，则对不断地除以，直到得出一个奇数，记这个奇数为若，则称正整数为“理想数”．
求以内的质数“理想数”；
已知求的值；
将所有“理想数”从小至大依次排列，逐一取倒数后得到数列，记的前项和为，证明：．
参考答案
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15.解：由，
结合正弦定理得，即，
因为，所以，可得，即；
在中，由正弦定理，得
所以，结合，得，
所以，结合，可得，
因为中，，即，
所以，
可得．
16.解：证明：因为四边形为菱形，所以是中点，
连接，如下图所示：
又为线段的中点，则，且．
又且，所以，，
所以四边形是平行四边形，所以．
又平面，平面，
所以平面．
以为坐标原点，、所在直线分别为、轴，过点垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，如下图所示：
则有，
，
则，
设平面的一个法向量为，
则有，
令，得，
故，
设平面的一个法向量为，
则有，
令，得，
故，
所以，
所以二面角的正弦值为．
17.解：设，由题意可得为到定直线的距离，
即有，
两边平方，化简可得，
即点的轨迹的方程为；
由双曲线的方程可得，，又，
设直线的方程为，
与双曲线的方程联立，可得，
设，，，，可得，，
即有，
则，
则为定值．
18.证明：由函数，定义域为，
则，
因此可得，
故函数的图象关于，即曲线是轴对称图形．
解：由，
若函数在上有三个零点，
则方程在上有三个实根，
即在上有三个实根，
令，则与的图象在上有三个交点，
又，
当或时，，
则在和上单调递减，
当时，，则在上单调递增，
又，，
，，
因此可得的图象如图所示，
结合图象，要使与的图象在上有三个交点，
则实数的取值范围为．
19.解：易知，，，，，后续直到都不满足条件，
和为两个质数“理想数”；
由题设可知必为奇数，必为偶数，
存在正整数，使得，即：
，且，
，或，或，解得，或，
，或，即的值为或．
证明：显然偶数“理想数“必为形如的整数，
下面探究奇数“理想数“，不妨设置如下区间：，，，，，
若奇数，不妨设，
若为“理想数“，则，且，即，且，
当，且时，；
当时，；
，且，
又，即，
易知为上述不等式的唯一整数解，
区间存在唯一的奇数“理想数“，且，
显然为奇数“理想数“，所有的奇数“理想数“为，
所有的奇数“理想数“的倒数为，
，
，
即．
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