中小学教育资源及组卷应用平台
浙教版2024年八上期中复习
一．点的坐标（共2小题）
1．如果点A（3，m+2）在x轴上，那么点B（m+1，m﹣3）所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．在平面直角坐标系中，已知点P（2m﹣4，3m+1）．
（1）当点P在y轴上时，求出点P的坐标；
（2）当直线PA平行于x轴，且A（﹣4，﹣2），求出点P的坐标．
二．规律型：点的坐标（共3小题）
3．如图，一动点P在平面直角坐标系中从原点出发按箭头所示方向运动，第一次运动到（1，3），第二次运动到（2，0），第三次运动到（2，﹣1），第四次运动到（3，﹣1），第五次运动到（3，0），按这样的运动规律，第2024次运动后的坐标为（ ）
A．（1518，0） B．1214，﹣1 C．（1214，0） D．（1215，﹣1）
4．如图，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与x轴或y轴平行，从内到外，它们边长依次为2，4，6，8，10，…，顶点A1，A2，A3，A4，A5，A6…的坐标分别为A1（﹣1，﹣1），A2（﹣1，1），A3（1，1），A4（1，﹣1），A5（﹣2，﹣2），A6（﹣2，2），…，则顶点A2023的坐标是（ ）
A．（﹣505，﹣505） B．（505，505）
C．（﹣506，﹣506） D．（506，506）
5．如图，一个粒子在第一象限内及x轴、y轴上运动，在第一分钟，它从原点运动到点（1，0）；第二分钟，它从点（1，0）运动到点（1，1），而后它接着按图中箭头所示在与x轴、y轴平行的方向上来回运动，且每分钟移动1个单位长度，那么在第2023分钟时，这个粒子所在位置的坐标是（ ）
A．（44，4） B．（44，3） C．（44，5） D．（44，1）
三．坐标与图形性质（共1小题）
6．在平面直角坐标系中，已知点A（a﹣1，3），点B（﹣2，a+1），且直线AB∥y轴，则点（﹣a，a+3）位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
四．函数关系式（共1小题）
7．将长为40cm，宽为15cm的长方形白纸按如图所示的方法黏合起来，黏合部分宽为5cm．
白纸张数 1 2 3 4 5 …
纸条长度 40 110 145 …
（1）根据图，将表格补充完整．
（2）设x张白纸黏合后的总长度为y cm，则y与x之间的关系式是什么？
（3）你认为多少张白纸黏合起来总长度可能为2024cm？为什么？
五．函数自变量的取值范围（共1小题）
8．函数y中自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥1 B．x≥1且x≠0 C．x＞1且x≠0 D．x≠0
六．函数的图象（共1小题）
9．小明观看了《中国诗词大会》第三期，主题为“人生自有诗意”，受此启发根据邻居家的故事写了一首小诗：“儿子学成今日返，老父早早到车站，儿子到后细端详，父子高兴把家还”，如图用y轴表示父亲与儿子行进中离家的距离，用x轴表示父亲离家的时间，那么下面图象与上述诗的含义大致相吻合的是（ ）
A． B．
C． D．
七．动点问题的函数图象（共1小题）
10．如图①，在长方形ABCD中，动点E从点B出发，沿B→A→D→C的方向运动至点C停止．设点E的运动路程为m，三角形BCE的面积为s，若s与m的关系如图②所示，则a的值为 ．
八．一次函数的图象（共1小题）
11．如图，直线l1：y＝2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线l2：y＝﹣x+1与y轴交于点C，直线l1和直线l2相交于点D．
（1）直接写出点A、B、C的坐标分别为：A ，B ，C ；
（2）在x轴上是否存在一点P，使得S△ADP＝4，若存在，求点P坐标；若不存在，请说明理由．
九．一次函数图象与系数的关系（共1小题）
12．当x＞﹣3时，对于x的每一个值，函数y＝kx（k≠0）的值都小于函数的值，则k的取值范围是（ ）
A．且k≠0 B．
C． D．
一十．一次函数图象上点的坐标特征（共4小题）
13．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣2，1），B（1，1）．若直线y＝mx与线段AB有交点，则m的值可以是（ ）
A． B． C． D．
14．如图直线与x轴，y轴分别交于点A，B，直线CE与x轴交于点与AB交于点E（﹣2，1），连结BD，则△BDE的面积为（ ）
A．4 B． C． D．
15．如图，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，点P是直线AB上的一个动点，连接OP．
（1）求OA和OB的长；
（2）若△BOP的面积是△AOB面积的，求点P的坐标．
16．已知函数．
（1）请在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象．
（2）结合所画图象，分别求出在函数图象上满足下列条件的点的坐标．
①横坐标是﹣4；
②和x轴的距离是2个单位长度．
一十一．一次函数图象与几何变换（共3小题）
17．在平面直角坐标系中，把直线y＝3x沿y轴向下平移后得到直线AB，如果点N（m，n）是直线AB上的一点，且3m﹣n＝2，那么直线AB的函数表达式为 ．
18．已知直线y＝﹣2x+1向下平移m（m＞0）个单位后经过点（1，﹣3），则m的值为 ．
19．已知y+3与x+2成正比例，且x＝2时，y＝7．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）将所得函数图象向上平移3个单位，求平移后直线与坐标轴围成的三角形的面积．
一十二．待定系数法求一次函数解析式（共1小题）
20．如图，在平面直角坐标系中，直线l经过原点O和点A（3，2），经过点A的另一条直线交x轴于点B（6，0）．
（1）求△AOB的面积；
（2）求直线l的函数解析式；
（3）在直线l上求一点P，使．
一十三．一次函数与一元一次不等式（共2小题）
21．如图，两函数y1＝k1x+b和y2＝k2x的图象相交于点（﹣1，﹣2），则关于x的不等式（k1﹣k2）x+b＜0的解集为（ ）
A．x＞﹣2 B．x＜﹣1 C．x＞﹣1 D．x＜﹣2
22．如图，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣1，5），与x轴交于点B，与正比例函数y＝3x的图象交于点C，点C的横坐标为1．
（1）求AB的函数表达式．
（2）若点D在y轴负半轴，且满足S△CODS△BOC，求点D的坐标．
（3）若kx+b＜3x，请直接写出x的取值范围．
一十四．一次函数与二元一次方程（组）（共2小题）
23．如图，直线y＝﹣x+3与y＝mx+n交点的横坐标为1，若y＝mx+n与x轴的所夹锐角为45°，则方程组解为（ ）
A． B．
C． D．无解
24．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣2，6），且与x轴相交于点B，与正比例函数y＝3x的图象相交于点C，点C的横坐标为1．
（1）求k、b的值；
（2）请直接写出方程组的解；
（3）若点D在y轴上，且满足S△DOC＝S△BOC，求点D的坐标．
一十五．两条直线相交或平行问题（共2小题）
25．已知平面内有两条直线l1：y＝x+2，l2：y＝﹣2x+4交于点A，与x轴分别交于B，C两点，P（m，2m﹣1）落在△ABC内部（不含边界），则m的取值范围是 ．
26．如图，直线l1与x轴交于点A，与y轴交于点B（0，﹣2），且与直线平行．
（1）求直线l1的解析式；
（2）在x轴上，点A左侧有一点C，
①若线段AC＝3，则点C的坐标是 ；
②若直线l2：y＝kx+b过点（0，6），且与x轴的交点在线段AC上（包括端点），求k的取值范围．
一十六．一次函数的应用（共6小题）
27．如图，l1，l2分别表示甲、乙两人在越野登山比赛整个过程中，所走的路程y（m）与甲出发时间x（min）的函数图象，下列说法正确的有（ ）
①越野登山比赛的全程为1000m；
②乙的速度为20m/min；
③a的值为750；
④乙到达终点时，甲离终点还有100m
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
28．俩人进行800米耐力测试，在起点同时起跑的甲和乙所跑的路程S（米）与所用时间t（秒）之间的函数图象分别为线段OA和折线OBCD．下列说法正确的有（ ）个．
①甲的速度随时间的增大而增大；
②乙的平均速度比甲的平均速度大；
③在起跑后180秒时，两人所跑路程相等；
④在起跑后50秒时，乙在甲的前面；
⑤两人在途中100秒的时候所跑路程相等．
A．1 B．2 C．3 D．4
29．甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲出发的时间t（分）之间的关系如图所示，下列结论：
①甲步行的速度为60米/分；②乙用16分钟追上甲；
③乙走完全程用了30分钟；④乙到达终点时甲离终点还有360米；
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
30．在A、B两地之间有服务区C，甲车由A地驶往服务区C，乙车由B地驶往A地，两车同时出发，匀速行驶．如图是甲、乙两车分别距离服务区C的路程y1、y2（单位：千米）与乙车行驶时间x（单位：小时）之间的函数图象，结合图象信息，解答下列问题：
（1）甲车的速度是 千米/时；
（2）求图象中线段DF的函数解析式；
（3）当两车距服务区C的路程之和是360千米时，直接写出此时乙车的行驶时间．
31．已知甲种水果单价为30元/千克，若一次性购买甲种水果超过40千克，超过部分的价格打八折．某经销商购买甲种水果x千克，付款y元，y与x之间的函数关系如图所示．
（1）直接写出图象中a的值，并求y与x之间的函数表达式；
（2）若乙种水果单价为25元/千克，该经销商计划一次性购进甲、乙两种水果共80千克，且甲种水果不少于30千克，但又不超过50千克．如何分配甲、乙两种水果的购买量，才能使经销商付款总金额w（元）最少？最少付款金额是多少？
32．“五一”劳动节到了，为在学生中弘扬劳动精神，让学生在做中学、学中做、家校合力共推劳动教育．五一假期老师布置了与父母互换身份，做一天父母的工作，体会劳动并感受父母的艰辛，理解、感恩父母，小李和妈妈互换身份，帮妈妈卖干果，他上午卖出4kg甲种类和3kg乙种类干果获得利润为85元，下午卖出7kg甲种类和5kg乙种类干果获得利润为145元．
（1）求每千克甲种类干果和乙种类干果的销售利润各是多少；
（2）小李的妈妈想一次购进两种干果共100kg用于销售，其中乙种类干果的进货量不超过甲种类干果的进货量的，请你帮小李妈妈设计一种进货方案使销售总利润最大，并求出总利润的最大值．
一十七．一次函数综合题（共1小题）
33．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴相交于点A、点B，直线CE与AB相交于点C（2，m），与x轴相交于点D，与y轴相交于点E（0，﹣1），点P是x轴上一动点．
（1）求直线CE的表达式；
（2）求△BCE的面积；
（3）当△CDP的面积等于△BCE面积的一半时，请求出点P的坐标．
一十八．三角形的角平分线、中线和高（共1小题）
34．如图，在△ABC中，BE是角平分线，点D在边AB上（不与点A，B重合），连接CD交BE于点O．
（1）若CD是中线，BC＝3，AC＝2，求△BCD与△ACD的周长差；
（2）若CD是高，∠ABC＝62°，求∠BOC的度数．
一十九．三角形三边关系（共2小题）
35．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．
（1）化简代数式：|a+b﹣c|+|b﹣a﹣c|＝ ；
（2）若AB＝AC，AC边上的中线BD把△ABC的周长分为15和6两部分，求底边BC的长．
36．已知三角形的三条边长为3、5和x．
（1）若3是该三角形的最短边长，求x的取值范围；
（2）若x为整数，求三角形周长的最大值．
二十．三角形内角和定理（共5小题）
37．如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，AD⊥BC于点D．∠ABD的角平分线BF所在直线与射线AE相交于点G，若∠ABC＝3∠C，且∠G＝20°，则∠DFB的度数为（ ）
A．50° B．55° C．60° D．65°
38．如图，在△ABC中，点D，F是BC上两点，点E，G分别是AB，AC上的点，将△BDE和△CFG分别沿着DE，FG折叠，它们的对应三角形分别是△ADE和△AFG．若∠B+∠C＝70°，则∠DAF＝ °．
39．如图：点D、E分别是△ABC的AC、AB边上的点，将纸片△ABC沿DE折叠使点A落在点A′处．
①若∠1＝80°，∠2＝20°则∠A的度数为 ．
②若D，E始终保持在AC，AB边上时（不和点A重合），∠1＝m，∠2＝n，且∠A为锐角，当点A落在∠BAC内部时，则∠A＝ ．（用含有m，n的代数式表示）
40．“8字”的性质及应用：
（1）如图1，AD，BC相交于点O，得到一个“8字”ABCD，试说明∠A+∠B＝∠C+∠D的理由；
（2）如图2，以图中给的字母为顶点的“8字”有多少个；
（3）如图2，∠ABC和∠ADC的平分线相交于点E，利用（1）中的结论试说明∠E（∠A+∠C）的理由．
二十一．三角形内角和定理（共1小题）
41．如图，∠AOB＝90°，点C，D分别在射线OA，OB上，CE是∠ACD的平分线，CE的反向延长线与∠CDO的平分线交于点F．
（1）若∠OCD＝50°（图①），求∠ACE；
（2）若∠OCD＝50°（图①），试求∠F；
（3）在C，D在射线OA，OB上任意移动时（不与O点重合）（图②），∠F的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变化，求出∠F．
二十二．等腰三角形的性质（共1小题）
42．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点，DE⊥AB，DF⊥AC，BG⊥AC，垂足分别为点E，F，G．试说明：DE+DF＝BG．
二十三．三角形综合题（共1小题）
43．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一点，且∠ACD＝∠B．
（1）求证：CD⊥AB；
证明：在Rt△ABC中，
∵∠ACB＝90°（已知），
∴∠A+∠B＝90°（ ）．
又∵∠ACD＝∠B（已知），
∴∠A+∠ACD＝90°（ ）．
在△ACD中，∠A+∠ACD+∠ADC＝180°（三角形内角和定理），
∴∠ADC＝90°（等式的性质），
∴CD⊥AB（垂直的定义）．
（2）如图②，若∠BAC的平分线分别交BC，CD于点E，F，求证：∠AEC＝∠CFE；
（3）如图③，若E为BC上一点，AE交CD于点F，BC＝3CE，AB＝4AD，S△ABC＝36，连接BF，求△BDF的面积．
二十四．四边形综合题（共1小题）
44．在平面直角坐标系中（单位长度为1cm），已知点A（0，m），N（n，0），且．
（1）m＝ ，n＝ ．
（2）如图，若点E是第一象限内的一点，且EN⊥x轴，过点E作x轴的平行线a，与y轴交于点A，点P从点E处出发，以每秒2cm的速度沿直线a向左移动，点Q从原点O同时出发，以每秒1cm的速度沿x轴向右移动．
①经过几秒AP＝OQ？
②若某一时刻以A、O、Q、P为顶点的四边形的面积是10cm2，求此时点P的坐标．中小学教育资源及组卷应用平台
浙教版2024年八上期中复习
一．点的坐标（共2小题）
1．如果点A（3，m+2）在x轴上，那么点B（m+1，m﹣3）所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【思路点拔】根据x轴上的点的纵坐标为0列式求出m的值，然后计算即可得解．
【解答】解：∵A（3，m+2）在x轴上，
∴m+2＝0，
解得m＝﹣2，
∴m+1＝﹣1，m﹣3＝﹣5，
∴B（m+1，m﹣3）所在的象限是第三象限．
故选：C．
2．在平面直角坐标系中，已知点P（2m﹣4，3m+1）．
（1）当点P在y轴上时，求出点P的坐标；
（2）当直线PA平行于x轴，且A（﹣4，﹣2），求出点P的坐标．
【思路点拔】（1）问由点P在y轴上时，推得点的横坐标为0；
（2）问由直线PA平行于x轴，推得点P与点A的纵坐标相等．
【解答】解：（1）由当点P在y轴上，根据y轴上的点横坐标为0，
得点P横坐标为0，
∴2m﹣4＝0，
即m＝2，
∴3m+1＝3×2+1＝7，
∴点P的坐标为（0，7）．
（2）由PA平行于x轴，且A（﹣4，﹣2），根据平行于x轴的直线上的点满足纵坐标相等，得点P与点A的纵坐标相等，
∴3m+1＝﹣2，
即m＝﹣1，
∴2m﹣4＝2×（﹣1）﹣4＝﹣6，
∴点P的坐标为（﹣6，﹣2）．
二．规律型：点的坐标（共3小题）
3．如图，一动点P在平面直角坐标系中从原点出发按箭头所示方向运动，第一次运动到（1，3），第二次运动到（2，0），第三次运动到（2，﹣1），第四次运动到（3，﹣1），第五次运动到（3，0），按这样的运动规律，第2024次运动后的坐标为（ ）
A．（1518，0） B．1214，﹣1 C．（1214，0） D．（1215，﹣1）
【思路点拔】根据从原点开始点P每5次横坐标增加3，纵坐标以3，0，﹣1，﹣1，0重复出现，求解即可．
【解答】解：由数轴可知，从原点开始点P每5次横坐标增加3，点P在x轴上，
∵2024÷5＝404...4，404×3＝1212，
∴点P运动2020次的坐标为（1212，0），
∴第2024次运动后的坐标，即从（1212，0）再运动4次后的坐标为（1215，﹣1）．
故选：D．
4．如图，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与x轴或y轴平行，从内到外，它们边长依次为2，4，6，8，10，…，顶点A1，A2，A3，A4，A5，A6…的坐标分别为A1（﹣1，﹣1），A2（﹣1，1），A3（1，1），A4（1，﹣1），A5（﹣2，﹣2），A6（﹣2，2），…，则顶点A2023的坐标是（ ）
A．（﹣505，﹣505） B．（505，505）
C．（﹣506，﹣506） D．（506，506）
【思路点拔】观察图形可得顶点A2023是第506个正方形右上角（第一象限）的顶点，即可得到答案．
【解答】解：∵2023＝4×505+3，
∴顶点A2023是第506个正方形右上角（第一象限）的顶点，
∵A3（1，1），A7（2，2），A11（3，3）..．
∴A2023（506，506），
故选：D．
5．如图，一个粒子在第一象限内及x轴、y轴上运动，在第一分钟，它从原点运动到点（1，0）；第二分钟，它从点（1，0）运动到点（1，1），而后它接着按图中箭头所示在与x轴、y轴平行的方向上来回运动，且每分钟移动1个单位长度，那么在第2023分钟时，这个粒子所在位置的坐标是（ ）
A．（44，4） B．（44，3） C．（44，5） D．（44，1）
【思路点拔】找出粒子运动规律和坐标之间的关系即可解题．
【解答】解：由题知（0，0）表示粒子运动了0分钟，
（1，1）表示粒子运动了2＝1×2分钟，将向左运动，
（2，2）表示粒子运动了6＝2×3分钟，将向下运动，
（3，3）表示粒子运动了12＝3×4分钟，将向左运动，
……
于是会出现：
（44，44）点粒子运动了44×45＝1980分钟，此时粒子将会向下运动，
∴在第2023分钟时，粒子又向下移动了2023﹣1980＝43个单位长度，
∴粒子的位置为（44，1），
故选：D．
三．坐标与图形性质（共1小题）
6．在平面直角坐标系中，已知点A（a﹣1，3），点B（﹣2，a+1），且直线AB∥y轴，则点（﹣a，a+3）位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【思路点拔】根据点A（a﹣1，3），点B（﹣2，a+1），且直线AB∥y轴，可知点A和点B的横坐标相等，从而可以得到a﹣1＝﹣2，然后求出a的值即可．
【解答】解：∵点A（a﹣1，3），点B（﹣2，a+1），且直线AB∥y轴，
∴a﹣1＝﹣2，
解得a＝﹣1，
∴﹣a＝1，a+3＝2，
∴点（1，2）位于第一象限．
故选：A．
四．函数关系式（共1小题）
7．将长为40cm，宽为15cm的长方形白纸按如图所示的方法黏合起来，黏合部分宽为5cm．
白纸张数 1 2 3 4 5 …
纸条长度 40 75 110 145 180 …
（1）根据图，将表格补充完整．
（2）设x张白纸黏合后的总长度为y cm，则y与x之间的关系式是什么？
（3）你认为多少张白纸黏合起来总长度可能为2024cm？为什么？
【思路点拔】（1）根据图形结合题意可得答案；
（2）根据题意和所给图形可得出答案；
（3）把y＝2024代入（2）式时，看x的值是否为整数即可得到答案．
【解答】解：（1）由题意可得，2张白纸粘合后的长度为：40×2﹣5＝75（cm），
5张白纸黏合后的长度为：40×5﹣5×4＝180（cm）．
故答案为：75，180．
（2）根据题意和所给图形可得出：y＝40x﹣5（x﹣1）＝35x+5．
（3）不能使黏合起来总长度可能为2024cm．理由如下：
令y＝2024得：2024＝35x+5，
解得：x≈57.7．
∵x为整数，
∴不能使黏合起来总长度可能为2024cm．
五．函数自变量的取值范围（共1小题）
8．函数y中自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥1 B．x≥1且x≠0 C．x＞1且x≠0 D．x≠0
【思路点拔】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式组，解不等式组得到答案．
【解答】解：由题意得：x﹣1≥0且x≠0，
解得：x≥1，
故选：A．
六．函数的图象（共1小题）
9．小明观看了《中国诗词大会》第三期，主题为“人生自有诗意”，受此启发根据邻居家的故事写了一首小诗：“儿子学成今日返，老父早早到车站，儿子到后细端详，父子高兴把家还”，如图用y轴表示父亲与儿子行进中离家的距离，用x轴表示父亲离家的时间，那么下面图象与上述诗的含义大致相吻合的是（ ）
A． B．
C． D．
【思路点拔】开始时，父亲离家的距离越来越远，而儿子离家的距离越来越近，车站在两人出发点之间，而父亲早到，两人停一段时间以后，两人一起回家，则离家的距离与离家时间的关系相同．
【解答】解：开始时，父亲离家的距离越来越远，而儿子离家的距离越来越近，车站在两人出发点之间，而父亲早到，故A，B，C不符合题意；两人停一段时间以后，两人一起回家，则离家的距离与离家时间的关系相同，则选项D符合题意．
故选：D．
七．动点问题的函数图象（共1小题）
10．如图①，在长方形ABCD中，动点E从点B出发，沿B→A→D→C的方向运动至点C停止．设点E的运动路程为m，三角形BCE的面积为s，若s与m的关系如图②所示，则a的值为 24 ．
【思路点拔】结合图形，当点E运动路程为6时，点E在点A处，故AB＝6，当点E运动路程为14时，点E在点D处，故AD＝8，进而求出当点E在点C处的面积，即a的值．
【解答】解：由图得，当点E运动路程为6时，点E在点A处，故AB＝6，
当点E运动路程为14时，点E在点D处，故AD＝8，
∴当点E在点C处时的面积为：6×8＝24，
∴a的值为24．
故答案为：24．
八．一次函数的图象（共1小题）
11．如图，直线l1：y＝2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线l2：y＝﹣x+1与y轴交于点C，直线l1和直线l2相交于点D．
（1）直接写出点A、B、C的坐标分别为：A （﹣2，0） ，B （0，4） ，C （0，1） ；
（2）在x轴上是否存在一点P，使得S△ADP＝4，若存在，求点P坐标；若不存在，请说明理由．
【思路点拔】（1）用待定系数法即可求解；
（2）先求出D的坐标为（﹣1，2），设点P（n，0），根据三角形的面积公式得S△ADPAP×2＝AP＝4，即|﹣2﹣n|＝4，即可求出答案．
【解答】解：（1）直线l1：y＝2x+4，令x＝0，则y＝4，令y＝2x+4＝0，解得x＝﹣2，
对于直线l2：y＝﹣x+1，令x＝0，则y＝1，
故点A、B、C的坐标分别为（﹣2，0）、（0，4）、（0，1），
故答案为：（﹣2，0），（0，4），（0，1）；
（2）存在，
理由：解方程组，
得，
∴D的坐标为（﹣1，2），
设点P（n，0），
∴S△ADPAP×2＝AP＝4，
∴|﹣2﹣n|＝4，
解得：n＝﹣6或2，
∴点P坐标为（﹣6，0）或（2，0）．
九．一次函数图象与系数的关系（共1小题）
12．当x＞﹣3时，对于x的每一个值，函数y＝kx（k≠0）的值都小于函数的值，则k的取值范围是（ ）
A．且k≠0 B．
C． D．
【思路点拔】本题考查一次函数图象与系数的关系稍微有点难度，要求有一定的分析能力．
先把x＝﹣3代入正比例函数及一次函数的解析式，求出y的值，再根据当x＞﹣3时，对于x的每一个值，正比例函数y＝kx（k≠0）的值都小于一次函数的值列出关于k的不等式，求出k的取值范围即可．
【解答】解：当x＝﹣3时，正比例函数y＝kx的函数值为y＝﹣3k，一次函数的函数值为，
∵x＞﹣3时，对于x的每一个值，正比例函数y＝kx（k≠0）的值都小于一次函数的值，
∴，
∴，
当时，正比例函数y＝kx和一次函数平行，符合题意；
当时，正比例函数y＝kx和一次函数交点横坐标为，
由题意可得，
∴，
综上所述，．
故选：C．
一十．一次函数图象上点的坐标特征（共4小题）
13．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣2，1），B（1，1）．若直线y＝mx与线段AB有交点，则m的值可以是（ ）
A． B． C． D．
【思路点拔】分别求出当直线y＝mx过点A，点B时m的值，结合直线y＝mx与线段AB有交点，可求出m的取值范围，再对照四个选项，即可得出结论．
【解答】解：当直线y＝mx过点A时，1＝﹣2m，
解得：m；
当直线y＝mx过点B时，1＝1×m，
解得：m＝1．
∵直线y＝mx与线段AB有交点，
∴m或m＞1，
∴m的值可以为．
故选：B．
14．如图直线与x轴，y轴分别交于点A，B，直线CE与x轴交于点与AB交于点E（﹣2，1），连结BD，则△BDE的面积为（ ）
A．4 B． C． D．
【思路点拔】由直线AB的解析式求出点A、B的坐标，根据点的坐标写出线段长，利用S△BDE＝S△ABD﹣S△ADE即可．
【解答】解：∵直线与x轴，y轴分别交于点A，B，
∴A（﹣4，0），B（0，2），
∴AD（﹣4），
∵S△BDE＝S△ABD﹣S△ADEAD×yBAD×yEAD（yB﹣yE），
∴S△BDE（2﹣1），
故选：D．
15．如图，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，点P是直线AB上的一个动点，连接OP．
（1）求OA和OB的长；
（2）若△BOP的面积是△AOB面积的，求点P的坐标．
【思路点拔】（1）分别令x＝0，y＝0，进行求解即可；
（2）设点，根据进行求解即可．
【解答】解：（1）∵，当x＝0时，y＝3；当y＝0时，x＝﹣6，
∴A（﹣6，0），B（0，3），
∴OA＝6，OB＝3；
（2）∵OA＝6，OB＝3，
∴，
设点，
则：，
解得：m＝±2，
∴P（2，4）或P（﹣2，2）．
16．已知函数．
（1）请在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象．
（2）结合所画图象，分别求出在函数图象上满足下列条件的点的坐标．
①横坐标是﹣4；
②和x轴的距离是2个单位长度．
【思路点拔】（1）根据题意，画出函数图象即可．
（2）利用数形结合的思想即可解决问题．
【解答】解：（1）当x＝0时，y＝3；
当x＝2时，y＝2；
函数图象如图所示，
（2）①由函数图象可知，
当x＝﹣4时，y＝5；
故函数图象上横坐标是﹣4的点坐标为（﹣4，5）．
②和x轴的距离是2个单位长度的点的纵坐标为2或﹣2，
当y＝2时，x＝2；
当y＝﹣2时，x＝10；
所以函数图象上和x轴的距离是2个单位长度的点的坐标为（2，2）或（10，﹣2）．
一十一．一次函数图象与几何变换（共3小题）
17．在平面直角坐标系中，把直线y＝3x沿y轴向下平移后得到直线AB，如果点N（m，n）是直线AB上的一点，且3m﹣n＝2，那么直线AB的函数表达式为 y＝3x﹣2 ．
【思路点拔】先设直线y＝3x沿y轴向下平移a个单位后得到直线AB，则直线AB为y＝3x﹣a，再把N（m，n）代入得到n＝3m﹣a，由于3m﹣n＝2，则可得到a＝2，于是可确定直线AB的解析式．
【解答】解：设直线y＝3x沿y轴向下平移a个单位后得到直线AB，则直线AB为y＝3x﹣a，
∵N（m，n）是直线AB上的一点，
∴n＝3m﹣a，
∵3m﹣n＝2，
∴a＝2，
∴直线AB的函数表达式为y＝3x﹣2．
故答案为y＝3x﹣2．
18．已知直线y＝﹣2x+1向下平移m（m＞0）个单位后经过点（1，﹣3），则m的值为 2 ．
【思路点拔】根据“上加下减”的平移规律写出平行后直线解析式，然后将点（1，﹣3）代入求得m的值即可．
【解答】解：将直线y＝﹣2x+1向下平移m（m＞0）个单位后所得直线为：y＝﹣2x+1﹣m．
将点（1，﹣3）代入，得﹣2+1﹣m＝﹣3．
解得m＝2．
故答案为：2．
19．已知y+3与x+2成正比例，且x＝2时，y＝7．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）将所得函数图象向上平移3个单位，求平移后直线与坐标轴围成的三角形的面积．
【思路点拔】（1）由y+3与x+2成正比例，设出关系式，把x与y的值代入k的值，即可确定出解析式；
（2）该函数的图象向上平移3个单位，求出它的解析式，然后求得该函数图象与坐标轴的交点，则根据三角形的面积公式进行解答即可．
【解答】解：（1）设y+3＝k（x+2），
把x＝2，y＝7代入得：7+3＝4k，即k，
则y与x函数关系式为y+3（x+2），即yx+2；
（2）将直线yx+2向上平移3个单位后得到的直线是：yx+5；
∵当y＝0时，x＝﹣2．
当x＝0时，y＝5，
∴平移后的图象与x轴交点的坐标是（﹣2，0），与y轴的交点坐标是（0，5），
则平移后的图象与两坐标轴围成的三角形面积是：5．
一十二．待定系数法求一次函数解析式（共1小题）
20．如图，在平面直角坐标系中，直线l经过原点O和点A（3，2），经过点A的另一条直线交x轴于点B（6，0）．
（1）求△AOB的面积；
（2）求直线l的函数解析式；
（3）在直线l上求一点P，使．
【思路点拔】（1）根据三角形面积公式即可求解；
（2）设直线l的表达式为y＝kx，把A（6，4）代入，利用待定系数法即可求解；
（3）设P点坐标为（x，x）．当直线l上的点P使S△ABPS△AOB时，分两种情况：①，点P在线段OA上；②点P在线段OA的延长线上．
【解答】解：（1）∵A（3，2），B（6，0），
∴△AOB的面积6×2＝6；
（2）设直线l的表达式为y＝kx，
把A（3，2）代入，得2＝3k，
解得k，
所以直线l的表达式为yx；
（3）当直线l上的点P使S△ABPS△AOB时，分两种情况：
设P点坐标为（x，x）．
①如图1，点P在线段OA上，则APOA，
根据题意得，，
解得x＝2，
则P（2，）；
②如图2，点P在线段OA的延长线上，则APOA，
根据题意得，，
解得x＝4，
则P（4，）．
故所求P点坐标为（2，）或（4，）．
一十三．一次函数与一元一次不等式（共2小题）
21．如图，两函数y1＝k1x+b和y2＝k2x的图象相交于点（﹣1，﹣2），则关于x的不等式（k1﹣k2）x+b＜0的解集为（ ）
A．x＞﹣2 B．x＜﹣1 C．x＞﹣1 D．x＜﹣2
【思路点拔】结合图象知x＞﹣1时，y1＜y2，即（k1﹣k2）x+b＜0，问题得以解决．
【解答】解：∵y1﹣y2＝k1x+b﹣k2x＝（k1﹣k2）x+b＜0，
∴y1＜y2，
由图象知x＞﹣1，
∴关于x的不等式（k1﹣k2）x+b＜0的解集为x＞﹣1．
故选：C．
22．如图，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣1，5），与x轴交于点B，与正比例函数y＝3x的图象交于点C，点C的横坐标为1．
（1）求AB的函数表达式．
（2）若点D在y轴负半轴，且满足S△CODS△BOC，求点D的坐标．
（3）若kx+b＜3x，请直接写出x的取值范围．
【思路点拔】（1）先求得点C的坐标，再根据待定系数法即可得到AB的函数表达式；
（2）设D（0，m）（m＜0），依据S△CODS△BOC，即可得出m＝﹣4，进而得到D（0，﹣4）；
（3）根据图象即可求得．
【解答】解：（1）当x＝1时，y＝3x＝3，
∴C（1，3），
将A （﹣1，5），C（1，3）代入y＝kx+b，得，
解得，
∴直线AB的解析式是y＝﹣x+4；
（2）y＝﹣x+4中，令y＝0，则x＝4，
∴B（4，0），
设D（0，m）（m＜0），
S△BOCOB×|yC|6，
S△CODOD |xC||m|×1m，
∵S△CODS△BOC，
∴m，
解得m＝﹣4，
∴D（0，﹣4）；
（3）观察图象可知，kx+b＜3x，则x的取值范围是x＞1．
一十四．一次函数与二元一次方程（组）（共2小题）
23．如图，直线y＝﹣x+3与y＝mx+n交点的横坐标为1，若y＝mx+n与x轴的所夹锐角为45°，则方程组解为（ ）
A． B．
C． D．无解
【思路点拔】先求出交点纵坐标再根据一次函数与二元一次方程组的关系求解即可．
【解答】解：根据题意，将x＝1代入直线y＝﹣x+3，
得y＝﹣1+3＝2，
∴直线y＝﹣x+3与y＝mx+n交点坐标为（1，2），
∵y＝mx+n与x轴的所夹锐角为45°，
∴y＝x+n，
代入（1，2）得，n＝1，
∴直线y＝mx+n为y＝x+1，
由mx+y＝1可知y＝﹣x+1，与直线y＝﹣x+3平行，
∴方程组无解，
故选：D．
24．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣2，6），且与x轴相交于点B，与正比例函数y＝3x的图象相交于点C，点C的横坐标为1．
（1）求k、b的值；
（2）请直接写出方程组的解；
（3）若点D在y轴上，且满足S△DOC＝S△BOC，求点D的坐标．
【思路点拔】（1）先确定C点坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式，从而得到k、b的值；
（2）几何函数图象，写出直线y＝kx+b在直线y＝3x组成方程组的解；
（3）解方程得到B（4，0），设D点坐标为（0，a），求得OD＝a．根据三角形的面积公式列方程即可得到结论．
【解答】解：（1）当x＝1时，y＝3x＝3，
∴C点坐标为（1，3）．
直线y＝kx+b经过（﹣2，6）和（1，3），
则，
解得：，
∴一次函数的解析式为y＝﹣x+4；
（2）方程组 的解是；
（3）当y＝0时，即0＝﹣x+4，
∴x＝4，
设D点坐标为（0，a），
∴OD＝a．
∵S△DOC＝S△BOC，
∴|a|×14×3，
解得：a＝±12，
∴点D的坐标为（0，12）或（0，﹣12）．
一十五．两条直线相交或平行问题（共2小题）
25．已知平面内有两条直线l1：y＝x+2，l2：y＝﹣2x+4交于点A，与x轴分别交于B，C两点，P（m，2m﹣1）落在△ABC内部（不含边界），则m的取值范围是 ．
【思路点拔】根据一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征解答即可．
【解答】解：∵P（m，2m﹣1）落在△ABC内部（不含边界），
∴P点在两条直线的下方同时在x轴上方，
∴列不等式组，
解得：，
故答案为：．
26．如图，直线l1与x轴交于点A，与y轴交于点B（0，﹣2），且与直线平行．
（1）求直线l1的解析式；
（2）在x轴上，点A左侧有一点C，
①若线段AC＝3，则点C的坐标是 （1，0） ；
②若直线l2：y＝kx+b过点（0，6），且与x轴的交点在线段AC上（包括端点），求k的取值范围．
【思路点拔】（1）设直线l1的解析式为y＝mx+n，根据题意得，再将B（0，﹣2）代入解析式求解即可；
（2）①根据（1）中直线l1的解析式求出点A坐标，再根据点C在点A左侧，AC＝3即可求出C点坐标；
②由直线l2：y＝kx+b过点（0，6），得6＝b，再根据直线l2与x轴的交点在线段AC上（包括端点），分情况讨论即可．
【解答】解：（1）设直线l1的解析式为y＝mx+n，
∵直线l1与直线平行，
∴，
∵直线l1过点B，把B（0，﹣2）代入，得n＝﹣2，
∴l1的解析式为：；
（2）①点C在点A左侧，都在x轴上，由（1）知点A是直线l1：与x轴的交点，
∴当y＝0时，，解得：x＝4，
∴A（4，0），
∵AC＝3，即：4﹣3＝1，
∴C（1，0），
故答案为：（1，0）；
②∵直线l2：y＝kx+b过点（0，6），
∴6＝b，即y＝kx+6，
令，则x＝4，
∴A（4，0），
当直线l2过点C（1，0）时，可得0＝k+6．解得k＝﹣6，
当直线l2过点A（4，0）时，可得4k+6＝0，解得，
∴k的取值范围为．
一十六．一次函数的应用（共6小题）
27．如图，l1，l2分别表示甲、乙两人在越野登山比赛整个过程中，所走的路程y（m）与甲出发时间x（min）的函数图象，下列说法正确的有（ ）
①越野登山比赛的全程为1000m；
②乙的速度为20m/min；
③a的值为750；
④乙到达终点时，甲离终点还有100m
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【思路点拔】根据图象的纵轴坐标可得越野登山比赛的全程为1000m；根据“速度＝路程÷时间”可得乙的速度；先求出甲中途休息后的速度，再根据题意列方程解答即可求出a的值；根据甲的速度可得乙到达终点时，甲离终点的距离．
【解答】解：由题意可知，越野登山比赛的全程为1000m，故①说法正确；
乙的速度为：1000÷（50﹣40）＝100（m/min），故②说法错误；
甲中途休息后的速度为：（1000﹣600）÷（60﹣40）＝20（m/min），
设甲出发x分钟后两人相遇，则：
100（x﹣40）＝600+20（x﹣40），
解得x＝47.5，
∴a＝100×（47.5﹣40）＝750，故③说法正确；
乙到达终点时，甲离终点还有：20×（60﹣50）＝200（m），故④说法错误．
所以说法正确的有①③，共2个．
故选：B．
28．俩人进行800米耐力测试，在起点同时起跑的甲和乙所跑的路程S（米）与所用时间t（秒）之间的函数图象分别为线段OA和折线OBCD．下列说法正确的有（ ）个．
①甲的速度随时间的增大而增大；
②乙的平均速度比甲的平均速度大；
③在起跑后180秒时，两人所跑路程相等；
④在起跑后50秒时，乙在甲的前面；
⑤两人在途中100秒的时候所跑路程相等．
A．1 B．2 C．3 D．4
【思路点拔】根据函数图象可以判断各个选项中语句是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：由图象可知，甲做匀速运动，速度不变，故①错误；
甲，乙的总路程相同，乙用的时间比甲的长，所以乙的平均速度比甲的平均速度小，故②错误；
由图象可知，甲的速度为800÷＝4m/s，乙在BC段的速度为（600﹣300）÷（200﹣50）＝2m/s，
由图象可知，两人在50～200秒之间时两人所跑路程相等，
设两人所跑路程相等时所用时间为t秒，则：4t＝300+2（t﹣50），
解得：t＝100，故③错误，⑤正确；
由图象可知，在起跑后50秒时，乙在甲的前面；故④正确；
综上：④⑤正确；
故选：B．
29．甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲出发的时间t（分）之间的关系如图所示，下列结论：
①甲步行的速度为60米/分；②乙用16分钟追上甲；
③乙走完全程用了30分钟；④乙到达终点时甲离终点还有360米；
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【思路点拔】根据题意和函数图象中的数据可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：由图可得，
甲步行的速度为：240÷4＝60米/分，故①正确，
乙追上甲用的时间为：16﹣4＝12（分钟），故②错误，
乙走完全程用的时间为：2400÷（16×60÷12）＝30（分钟），故③正确，
乙到达终点时，甲离终点距离是：2400﹣（4+30）×60＝360米，故④正确．
所以正确的结论有①③④共3个．
故选：C．
30．在A、B两地之间有服务区C，甲车由A地驶往服务区C，乙车由B地驶往A地，两车同时出发，匀速行驶．如图是甲、乙两车分别距离服务区C的路程y1、y2（单位：千米）与乙车行驶时间x（单位：小时）之间的函数图象，结合图象信息，解答下列问题：
（1）甲车的速度是 70 千米/时；
（2）求图象中线段DF的函数解析式；
（3）当两车距服务区C的路程之和是360千米时，直接写出此时乙车的行驶时间．
【思路点拔】（1）根据函数图象，结合路程除以速度，即可求解；
（2）先求得乙车的速度，进而得出F（9，420），待定系数求得解析式，即可求解；
（3）分别求得各段解析式，根据题意，列出一元一次方程，解方程，即可求解．
【解答】解：（1）由图象可知，甲车的平均速度为70（千米/小时），
故答案为：70；
（2）由图象可知，乙车的速度为60（千米/小时），
∴乙车从C地到达A地所用时间为7（小时），
∴乙车从B地到A地所用时间为2+7＝9（小时），
∴F（9，420），
设DF所在直线的函数解析式为y＝kx+b（k≠0），
把D（2，0）和F（9，420）代入解析式得：
，
解得，
∴DF所在直线的函数解析式为y2＝60x﹣120；
（3）依题意得：y1＝﹣70x+420（0≤x≤2），
y2，
设乙车的行驶x小时后，两车距服务区C的路程之和是360千米，
①甲乙未相遇时，
则﹣70x+420﹣60x+120＝360，
解得x；
②当乙车经过服务区C，
﹣70x+420+60x﹣120＝360，
解得x＝﹣6（舍）；
③当甲乙相遇后，
60x﹣120＝360，
解得x＝8．
综上所述，当乙车小时或8小时时两车距服务区C的路程之和是360千米．
31．已知甲种水果单价为30元/千克，若一次性购买甲种水果超过40千克，超过部分的价格打八折．某经销商购买甲种水果x千克，付款y元，y与x之间的函数关系如图所示．
（1）直接写出图象中a的值，并求y与x之间的函数表达式；
（2）若乙种水果单价为25元/千克，该经销商计划一次性购进甲、乙两种水果共80千克，且甲种水果不少于30千克，但又不超过50千克．如何分配甲、乙两种水果的购买量，才能使经销商付款总金额w（元）最少？最少付款金额是多少？
【思路点拔】（1）根据题意求出a的值，利用待定系数法求出当x＞40时y与x之间的函数表达式，最终写成分段函数的形式并注明x的取值范围即可；
（2）设购进甲种水果a千克，按照30≤a≤40和40＜a≤50分别写出w的表达式，分别求出w的最小值并进行比较，w较小的值即为答案，并求出对应a及80﹣a的值．
【解答】解：（1）根据题意，a＝30×40+30×0.8×（80﹣40）＝2160．
当x＝40时，y＝30×40＝1200，
当x＞40时，设y＝kx+b．将坐标（40，1200）和（80，2160）代入，
得，解得，
∴y＝24x+240．
综上，y．
（2）设购进甲种水果a（30≤a≤50）千克，则购进乙种水果（80﹣a）千克．
①当30≤a≤40时，w＝30a+25（80﹣a）＝5a+2000，
∵w随a的减小而减小，
∴当a＝30时，w取最小值，此时w＝5×30+2000＝2150，80﹣a＝80﹣30＝50．
②当40＜a≤50时，w＝24a+240+25（80﹣a）＝﹣a+2240，
∵w随a的增大而减小，
∴当a＝50时，w取最小值，此时w＝﹣50+2240＝2190，80﹣a＝80﹣50＝30．
综上，2150＜2190，
∴购进甲、乙两种水果分别为30千克、50千克，才能使经销商付款总金额w最少，最少付款金额是2150元．
32．“五一”劳动节到了，为在学生中弘扬劳动精神，让学生在做中学、学中做、家校合力共推劳动教育．五一假期老师布置了与父母互换身份，做一天父母的工作，体会劳动并感受父母的艰辛，理解、感恩父母，小李和妈妈互换身份，帮妈妈卖干果，他上午卖出4kg甲种类和3kg乙种类干果获得利润为85元，下午卖出7kg甲种类和5kg乙种类干果获得利润为145元．
（1）求每千克甲种类干果和乙种类干果的销售利润各是多少；
（2）小李的妈妈想一次购进两种干果共100kg用于销售，其中乙种类干果的进货量不超过甲种类干果的进货量的，请你帮小李妈妈设计一种进货方案使销售总利润最大，并求出总利润的最大值．
【思路点拔】（1）根据题中的两个等量关系列出方程组；
（2）列出一次函数，根据一次函数的增减性回答．
【解答】解：（1）设每千克甲种类干果的销售利润为x元，每千克乙种类干果的销售利润为y元，根据题意得：
解得
答：每千克甲种类干果的销售利润为10元，每千克乙种类干果的销售利润为15元．
（2）设购进甲种类干果akg，则购进乙种类干果（100﹣a）kg，获得总利润为w元，
w＝10a+15（100﹣a）＝﹣5a+1500，
∵﹣5＜0，
∴w的值随着a值的增大而减小，
∵，
∴a≥60，
∴a＝60时，w＝﹣5×60+1500＝1200，100﹣a＝100﹣60＝40．
答：购进甲种类干果60kg，乙种类干果40kg时，销售总利润最大，总利润的最大值为1200元．
一十七．一次函数综合题（共1小题）
33．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴相交于点A、点B，直线CE与AB相交于点C（2，m），与x轴相交于点D，与y轴相交于点E（0，﹣1），点P是x轴上一动点．
（1）求直线CE的表达式；
（2）求△BCE的面积；
（3）当△CDP的面积等于△BCE面积的一半时，请求出点P的坐标．
【思路点拔】（1）将点C（2，m）代入直线得m＝1，利用待定系数法即可求得直线CE的表达式；
（2）首先求得直线与y轴的交点B的坐标，进而可求得BE的长，于是可求得△BCE的面积；
（3）首先求得直线y＝x﹣1与x轴的交点D的坐标，设点P的坐标为（Px，0），则可将DP的长表示出来，进而可求得△CDP的面积，利用三角形的面积公式可列出方程，解方程即可求出点P的坐标．
【解答】解：（1）把点C（2，m）代入直线中，得：，
∴C（2，1），
由点C、E的坐标得，直线CE的表达式为y＝x﹣1；
（2）∵直线与y轴相交于点B，
∴令x＝0，则，
∴B（0，2），
∵E（0，﹣1），
则BE＝3，
∵C（2，1），
∴
＝3；
（3）∵直线y＝x﹣1与x轴相交于点D，
∴令y＝0，则有：x﹣1＝0，
解得：x＝1，
∴D（1，0），
∵点P是x轴上一动点，
∴可设点P的坐标为（Px，0），
∴DP＝|Px﹣1|，
∵△CDP的面积等于△BCE面积的一半，
∴，
又∵，
∴，
即：|Px﹣1|＝3，
∴Px＝4或Px＝﹣2，
∴点P的坐标为（4，0）或（﹣2，0）．
一十八．三角形的角平分线、中线和高（共1小题）
34．如图，在△ABC中，BE是角平分线，点D在边AB上（不与点A，B重合），连接CD交BE于点O．
（1）若CD是中线，BC＝3，AC＝2，求△BCD与△ACD的周长差；
（2）若CD是高，∠ABC＝62°，求∠BOC的度数．
【思路点拔】（1）根据三角形周长计算公式可得到△BCD与△ACD的周长差为：BC﹣AC+BD﹣AD，再由三角形中线的定义得到AD＝BD，据此代值计算即可；
（2）根据角平分线的定义得到∠ABE＝31°，由三角形高的定义得到∠CDB＝90°，根据三角形外角的性质可得答案．
【解答】解：（1）∵△BCD的周长为：BC+CD+BD，△ACD的周长为：AC+CD+AD，
∴△BCD与△ACD的周长差为：BC﹣AC+BD﹣AD，
∵CD是△ABC的中线，
∴AD＝BD．
又∵BC＝3，AC＝2，
∴BC﹣AC+BD﹣AD＝BC﹣AC＝3﹣2＝1，即△BCD与△ACD的周长差为1；
（2）∵BE是∠ABC的平分线，∠ABC＝62°，
∴，
∵CD是△ABC的高，
∴∠CDB＝90°，
∴∠BOC＝∠CDB+∠ABE＝90°+31°＝121°．
一十九．三角形三边关系（共2小题）
35．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．
（1）化简代数式：|a+b﹣c|+|b﹣a﹣c|＝ 2a ；
（2）若AB＝AC，AC边上的中线BD把△ABC的周长分为15和6两部分，求底边BC的长．
【思路点拔】（1）根据三角形三边关系和绝对值化简解答即可；
（2）根据三角形中线得出方程解答即可．
【解答】解：（1）由题意得：a+b＞c，a+c＞b，
∴a+b﹣c＞0，b﹣a﹣c＜0，
∴原式＝a+b﹣c+（﹣b+a+c）＝a+b﹣c﹣b+a+c＝2a，
故答案为：2a；
（2）设AB＝AC＝2x，BC＝y，则AD＝CD＝x，
∵AC上的中线BD将这个三角形的周长分成15和6两部分，
①当3x＝15，且x+y＝6，
解得：x＝5，y＝1，
∴三边长分别为10，10，1；
②当x+y＝15且3x＝6时，
解得：x＝2，y＝13，此时腰为4，
根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，而4+4＝8＜13，故这种情况不存在．
∴△ABC的底边BC的长为1．
36．已知三角形的三条边长为3、5和x．
（1）若3是该三角形的最短边长，求x的取值范围；
（2）若x为整数，求三角形周长的最大值．
【思路点拔】（1）由三角形三边关系解答；
（2）利用（1）中求得的x的取值范围，确定整数x的值；然后由三角形的周长公式解答．
【解答】解：（1）由题意得：5﹣3＜x＜5+3，即2＜x＜8．
∵3是最短边长，
∴x≥3．
∴x的取值范围是3≤x＜8；
（2）由（1）可知，2＜x＜8，
∵x为整数，
∴x的最大值为7．
∴三角形周长的最大值为3+5+7＝15．
二十．三角形内角和定理（共5小题）
37．如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，AD⊥BC于点D．∠ABD的角平分线BF所在直线与射线AE相交于点G，若∠ABC＝3∠C，且∠G＝20°，则∠DFB的度数为（ ）
A．50° B．55° C．60° D．65°
【思路点拔】由题意AE平分∠BAC，BF平分∠ABD，推出∠CAE＝∠BAE，∠ABF＝∠DBF，设∠CAE＝∠BAE＝x，设∠C＝y，∠ABC＝3y，想办法用含x和y的代数式表示∠ABF和∠DBF即可解决问题．
【解答】解：如图：
∵AE平分∠BAC，BF平分∠ABD，
∴∠CAE＝∠BAE，∠1＝∠2，
设∠CAE＝∠BAE＝x，∠C＝y，∠ABC＝3y，
由外角的性质得：
∠1＝∠BAE+∠G＝x+20，∠2∠ABD（2x+y）＝xy，
∴x+20＝xy，解得y＝40°，
∴∠1＝∠2（180°﹣∠ABC）（180°﹣120°）＝30°，
∴∠DFB＝60°．
故选：C．
38．如图，在△ABC中，点D，F是BC上两点，点E，G分别是AB，AC上的点，将△BDE和△CFG分别沿着DE，FG折叠，它们的对应三角形分别是△ADE和△AFG．若∠B+∠C＝70°，则∠DAF＝ 40 °．
【思路点拔】由折叠的性质得∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAF，利用三角形内角和定理即可求解．
【解答】解：由折叠的性质得∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAF，
又∵∠B+∠C＝70°，
∴∠DAF＝180°﹣∠B﹣∠BAD﹣∠C﹣∠CAF
＝180°﹣2∠B﹣2∠C
＝180°﹣2（∠B+∠C）
＝180°﹣2×70°
＝40°，
故答案为：40．
39．如图：点D、E分别是△ABC的AC、AB边上的点，将纸片△ABC沿DE折叠使点A落在点A′处．
①若∠1＝80°，∠2＝20°则∠A的度数为 30° ．
②若D，E始终保持在AC，AB边上时（不和点A重合），∠1＝m，∠2＝n，且∠A为锐角，当点A落在∠BAC内部时，则∠A＝ ．（用含有m，n的代数式表示）
【思路点拔】（1）由题意得，∠ADE＝∠A′DE（180°﹣∠1），∠AED＝∠A′ED（180°+∠2），∠A＝180°﹣∠ADE﹣∠AED；
（2）D，E始终保持在AC，AB边上，点A落在∠BAC内部，所以0°＜∠AEA′＜180°，0°＜∠ADA′＜180°，根据（1）的方法求得∠A．
【解答】解：①由于折叠，∠ADE＝∠A′DE，∠AED＝∠A′ED，
∵∠1＝80°，∠2＝20°，
∴∠ADE＝∠A′DE（180°﹣80°）＝50°，∠AED＝∠A′ED（180°+20°）＝100°，
∠A＝180°﹣100°﹣50°＝30°，
故答案为：30°；
②由于折叠，∠ADE＝∠A′DE，∠AED＝∠A′ED，
∵D，E始终保持在AC，AB边上，点A落在∠BAC内部，
∴0°＜∠AEA′＜180°，0°＜∠ADA′＜180°，
∵∠1＝m，∠2＝n，
∴∠ADE＝∠A′DE（180°﹣m）＝90°，∠AED＝∠A′ED（180°﹣n）＝90°，
∴∠A＝180°﹣（90°）﹣（90°），
故答案为：．
40．“8字”的性质及应用：
（1）如图1，AD，BC相交于点O，得到一个“8字”ABCD，试说明∠A+∠B＝∠C+∠D的理由；
（2）如图2，以图中给的字母为顶点的“8字”有多少个；
（3）如图2，∠ABC和∠ADC的平分线相交于点E，利用（1）中的结论试说明∠E（∠A+∠C）的理由．
【思路点拔】（1）根据三角形内角和定理和对顶角相等解答即可；
（2）根据题中给出的“8字”的概念解答即可；
（3）根据角平分线的定义和三角形的外角的性质解答即可．
【解答】解：（1）∵∠A+∠B+∠AOB＝180°，∠C+∠D+∠COD＝180°，又∠AOB＝∠COD，
∴∠A+∠B＝∠C+∠D；
（2）图2中有：ABCD、BEDC、ABED共计3个“8字”；
（3）∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，
∴∠ABE＝∠CBEABC，∠CDE＝∠ADE∠ADC，
∵∠A+∠ABE＝∠E+∠ADE，∠C+∠CDE＝∠E+∠CBE，
∴∠E（∠A+∠C）．
二十一．三角形内角和定理（共1小题）
41．如图，∠AOB＝90°，点C，D分别在射线OA，OB上，CE是∠ACD的平分线，CE的反向延长线与∠CDO的平分线交于点F．
（1）若∠OCD＝50°（图①），求∠ACE；
（2）若∠OCD＝50°（图①），试求∠F；
（3）在C，D在射线OA，OB上任意移动时（不与O点重合）（图②），∠F的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变化，求出∠F．
【思路点拔】（1）根据∠ACD＝180°﹣∠OCD，求出∠ACD，再根据角平分线的定义即可解决问题．
（2）根据三角形的内角和是180°，可求∠CDO＝40°，所以∠CDF＝20°，又由平角定义，可求∠ACD＝130°，所以∠ECD＝65°，又根据三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和，可求∠ECD＝∠F+∠CDF，∠F＝45度．
（3）同理可证，∠F＝45度．
【解答】解：（1）∵∠ACD＝180°﹣∠OCD＝180°﹣50°＝130°，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE∠ACD130°＝65°
（2）∵∠AOB＝90°，∠OCD＝50°，
∴∠CDO＝40°．
∵CE是∠ACD的平分线DF是∠CDO的平分线，
∴∠ECD＝65°，∠CDF＝20°．
∵∠ECD＝∠F+∠CDF，
∴∠F＝45°．
（2）不变化，∠F＝45°．
∵∠AOB＝90°，
∴∠CDO＝90°﹣∠OCD，∠ACD＝180°﹣∠OCD．
∵CE是∠ACD的平分线DF是∠CDO的平分线，
∴∠ECD＝90°∠OCD，∠CDF＝45°∠OCD．
∵∠ECD＝∠F+∠CDF，
∴∠F＝45°．
二十二．等腰三角形的性质（共1小题）
42．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点，DE⊥AB，DF⊥AC，BG⊥AC，垂足分别为点E，F，G．试说明：DE+DF＝BG．
【思路点拔】连接AD，根据△ABC的面积＝△ABD的面积+△ACD的面积，以及AB＝AC，即可得到DE+DF＝BG．
【解答】证明：连接AD．
则△ABC的面积＝△ABD的面积+△ACD的面积，
AB DEAC DFAC BG，
∵AB＝AC，
∴DE+DF＝BG．
二十三．三角形综合题（共1小题）
43．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一点，且∠ACD＝∠B．
（1）求证：CD⊥AB；
证明：在Rt△ABC中，
∵∠ACB＝90°（已知），
∴∠A+∠B＝90°（ 直角三角形两锐角互余 ）．
又∵∠ACD＝∠B（已知），
∴∠A+∠ACD＝90°（ 等量代换 ）．
在△ACD中，∠A+∠ACD+∠ADC＝180°（三角形内角和定理），
∴∠ADC＝90°（等式的性质），
∴CD⊥AB（垂直的定义）．
（2）如图②，若∠BAC的平分线分别交BC，CD于点E，F，求证：∠AEC＝∠CFE；
（3）如图③，若E为BC上一点，AE交CD于点F，BC＝3CE，AB＝4AD，S△ABC＝36，连接BF，求△BDF的面积．
【思路点拔】（1）根据直角三角形的性质、三角形内角和定理解答即可；
（2）根据角平分线的定义得到∠CAE＝∠BAE，根据三角形的外角性质计算，证明结论；
（3）设S△ADF＝x，根据三角形的面积公式列出方程，求出x，把x代入计算得到答案．
【解答】（1）证明：在Rt△ABC中，
∵∠ACB＝90°（已知），
∴∠A+∠B＝90°（直角三角形两锐角互余）．
又∵∠ACD＝∠B（已知），
∴∠A+∠ACD＝90°（等量代换）．
在△ACD中，∠A+∠ACD+∠ADC＝180°（三角形内角和定理），
∴∠ADC＝90°（等式的性质），
∴CD⊥AB（垂直的定义）．
故答案为：直角三角形两锐角互余；等量代换；
（2）证明：∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE＝∠BAE，
∵∠AEC＝∠BAE+∠B，∠CFE＝∠ACD+∠CAE，
∴∠AEC＝∠CFE；
（3）解：设S△ADF＝x，则S△CFE＝3+x，
∵AB＝4AD，
∴S△BDF＝3x，
∵BC＝3CE，
∴S△BEF＝2（x+3）＝2x+6，
∴x+3+2x+6+3x36，
解得，x＝3，
∴S△BDF＝3x＝9．
二十四．四边形综合题（共1小题）
44．在平面直角坐标系中（单位长度为1cm），已知点A（0，m），N（n，0），且．
（1）m＝ 4 ，n＝ 6 ．
（2）如图，若点E是第一象限内的一点，且EN⊥x轴，过点E作x轴的平行线a，与y轴交于点A，点P从点E处出发，以每秒2cm的速度沿直线a向左移动，点Q从原点O同时出发，以每秒1cm的速度沿x轴向右移动．
①经过几秒AP＝OQ？
②若某一时刻以A、O、Q、P为顶点的四边形的面积是10cm2，求此时点P的坐标．
【思路点拔】（1）根据平方根和绝对值的性质得出，解方程组即可；
（2）①经过几秒AP＝OQ，根据AP＝OQ列出关于x的方程，解方程即可；
②设y秒后四边形AOQP的面积为10cm2，根据四边形AOQP的面积（OQ+AP） OA列出关于y的方程，进而求出点P的坐标．
【解答】解：（1）依题意，得 ，
解得；
故答案为：4，6；
（2）①设经过x秒AP＝OQ，
依题意，得6﹣2x＝x，
解得x＝2，
∴经过2秒AP＝OQ；
②当点P在y轴右侧时，
依题意，得，
解得x＝1，
此时点P 的坐标为（4，4），
当点P在y轴左侧时，
依题意，得，
解得x，
此时点P 的坐标为（，4）．
综合以上可得点P的坐标为（4，4）或（，4）．
