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浙教版九年级期中选填中档题专项复习
一．选择题（共10小题）
1．下列说法中正确的是（ ）
A．“任意画出一个等边三角形，它是轴对称图形”是随机事件
B．任意掷一枚质地均匀的硬币10次，正面向上的一定是5次
C．“概率为0.0001的事件”是不可能事件
D．“任意画出一个平行四边形，它是中心对称图形”是必然事件
【思路点拔】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型．
【解答】解：“任意画出一个等边三角形，它是轴对称图形”是必然事件，A错误；
任意掷一枚质地均匀的硬币10次，正面向上的不一定是5次，B错误；
“概率为0.0001的事件”是随机事件，C错误；
“任意画出一个平行四边形，它是中心对称图形”是必然事件，D正确，
故选：D．
2．如图所示的几何体的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
【思路点拔】根据俯视图是从上往下看得到的图形解答即可．
【解答】解：从上往下看得到的图形是：
故选：A．
3．下列说法中，正确的是（ ）
A．等弦所对的弧相等
B．等弧所对的弦相等
C．圆心角相等，所对的弦相等
D．在同圆里，等弦所对的圆周角相等
【思路点拔】根据一条弦对着两段弧即可对选项A进行判断；根据弦，弧之间的关系可对选项B进行判断；根据在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等可对选项C进行判断；根据在同圆里，一条弦所对应着两段弧，则等弦所对的圆周角可能相等也可能不相等，由此可对选项D进行判断．
【解答】解：对于选项A．
∵一条弦对着两段弧，
∴等弦所对应的弧可能相等也可能不相等，
∴该选项不正确，不符合题意；
对于选项B．
∵等弧所对应的弦相等，
∴该选项正确，符合题意；
对于选项C，
∵在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，
∴该选项不正确，不符合题意；
对于选项D，
∵在同圆里，一条弦所对应着两段弧，
∴在同圆里，等弦所对的圆周角可能相等也可能不相等，
∴该选项不正确，不符合题意；
故选：B．
4．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B＝58°，∠ACD＝40°．若⊙O的半径为5，则的长为（ ）
A． B． C．π D．
【思路点拔】根据圆周角的性质，计算出弧DC所对的圆心角度数，按照公式求出弧长即可．
【解答】解：连接OA、OD、OC，
∵∠B＝58°，∠ACD＝40°．
∴∠AOC＝2∠B＝116°，∠AOD＝2∠ACD＝80°，
∴∠DOC＝36°，
∴π．
故选：C．
5．如图，在⊙O中，直径MN＝20，正方形ABCD的四个顶点都分别在半径OP、OM及⊙O上，且∠POM＝45°，则AB＝（ ）
A．4 B． C． D．6
【思路点拔】先结合正方形的性质证明△OCD为等腰直角三角形，易得CO＝CD，设AB＝BC＝CD＝CO＝x，则BO＝2x，在Rt△ABO中根据勾股定理求得x的值，即可获得答案．
【解答】解：连接OA，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD，∠ABC＝∠BCD＝90°，
∴∠DCO＝180°﹣∠BCD＝180°﹣90°＝90°，
∵∠POM＝45°，
∴∠CDO＝90°﹣∠POM＝90°﹣45°＝45°，
∴∠CDO＝∠POM，
∴CO＝CD，
∵MN＝20，
∴，
设AB＝BC＝CD＝CO＝x，
则BO＝BC+CO＝2x，
∵AB2+BO2＝OA2，
即x2+（2x）2＝102，
解得或（舍去），
∴．
故选：B．
6．如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象的一部分，其对称轴是直线x＝2，与x轴的一个交点是（5，0），则不等式ax2+bx+c＜0的解集是（ ）
A．x＜﹣1或x＞5 B．x＞5 C．x＜﹣1 D．﹣1＜x＜5
【思路点拔】先求得抛物线与x轴的交点，由y＝ax2+bx+c＜0得函数值为负数，即抛物线在x轴的下方，然后找出对应的自变量的取值范围即可得到不等式ax2+bx+c＜0的解集．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c图象的对称轴是直线x＝2，与x轴的一个交点是（5，0），
∴抛物线y＝ax2+bx+c图象与x轴的另一个交点为（﹣1，0），
观察图象，不等式ax2+bx+c＜0的解集是x＜﹣1或x＞5．
故选：A．
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝3，D为直线AC左侧一点．若△ABC∽△CAD，则BC+CD的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【思路点拔】由相似三角形的性质得出CDAC2，进而求出CD（9﹣BC2）＝3BC2，设BC＝x，则BC+CD，由二次函数的性质可得出答案．
【解答】解：∵△ABC∽△CAD，
∴，
∴，
∴CDAC2，
∵∠ACB＝90°，
∴AC2＝AB2﹣BC2＝9﹣BC2，
∴CD（9﹣BC2）＝3BC2，
设BC＝x，
∴BC+CD＝x+3x2
，
∴x时，BC+CD的最大值为．
故选：D．
8．将抛物线y＝x2+x﹣12位于y轴左侧的部分沿x轴翻折，其余部分不变，翻折得到的图象和原来不变的部分构成一个新图象，若直线与新图象有且只有2个公共点，则t的取值范围是（ ）
A．﹣12＜t≤12 B．﹣12＜t＜12
C．或﹣12≤t＜12 D．或﹣12≤t＜12
【思路点拔】根据抛物线的解析式得到与y轴的交点C（0，﹣12），当直线经过点C和C′时，求得t＝±12，根据一元二次方程根的判别式即可得到结论．
【解答】解：当x＝0时，则y＝x2+x﹣12＝﹣12，
∴点C（0，﹣12），
∴C′（0，12），
当直线与经过点C时，则﹣12，
∴t＝﹣12，
当直线经过点C′时，则120+t，
∴t＝12，
当直线与新图象有且只有2个公共点时，也就是x+t＝﹣（x2+x﹣12）有相等的实数根，
整理方程，得x2x+（t﹣12）＝0，
由根的判别式Δ＝（）2+4（t﹣12）＝0，
解得：．
∴当直线与新图象有且只有2个公共点时，或﹣12≤t＜12．
故选：C．
9．如图，抛物线y＝3x2﹣9x+6上点C的横坐标为3，点M为平面内任意一点，将线段OC绕点M旋转 180°得到线段O′C′（点O，C的对应点分别为点O′，C′），当点O′和点C′都落在抛物线上时，点C′的横坐标为（ ）
A． B． C． D．
【思路点拔】设点C′的坐标为：（m，3m2﹣9m+6），得到点O′（m+3，3m2﹣9m+12），进而求解．
【解答】解：∵抛物线y＝3x2﹣9x+6上点C的横坐标为3，
∴y＝6，
∴C（3，6），
设点C′的坐标为：（m，3m2﹣9m+6），
由点O向右平移3个单位向上平移6个单位得到点C，
则点O′（m+3，3m2﹣9m+12），
将点O′的坐标代入抛物线的表达式得：3m2﹣9m+12＝3（m+3）2﹣9（m+3）+6，
解得：m，
则点C′的横坐标为：，
故选：D．
10．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，点P是BC上的动点，连接PA，将PA绕点P顺时针旋转90°得到线段PE，连结CE．P从点B向点C运动过程中，CE的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【思路点拔】过E作EM⊥BC于M，根据四边形ABCD是矩形和PA绕点P顺时针旋转90°得到线段PE，证明△ABP≌△PME（AAS），可得PM＝AB＝2，BP＝EM，设BP＝EM＝x，则CM＝2﹣x，有CE2＝EM2+CM2＝x2+（2﹣x）2＝2x2﹣4x+4＝2（x﹣1）2+2，根据二次函数性质可得答案．
【解答】解：过E作EM⊥BC于M，如图：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°＝∠PME，
∵PA绕点P顺时针旋转90°得到线段PE，
∴AP＝PE，∠APE＝90°，
∴∠EPM＝90°﹣∠APB＝∠BAP，
∴△ABP≌△PME（AAS），
∴PM＝AB＝2，BP＝EM，
∵BC＝4，
∴BP+CM＝BC﹣PM＝2，
设BP＝EM＝x，则CM＝2﹣x，
在Rt△CEM中，
CE2＝EM2+CM2＝x2+（2﹣x）2＝2x2﹣4x+4＝2（x﹣1）2+2，
∴当x＝1时，CE2取最小值，最小值为2，
∴CE最小值是，
故选：B．
二．填空题（共11小题）
11．已知线段a＝2，b＝8，如果线段c是a、b的比例中项，那么c＝ 4 ．
【思路点拔】根据线段比例中项的概念a：c＝c：b，可得c2＝ab＝16，即可求出c的值．
【解答】解：∵线段c是a、b的比例中项，
∴c2＝ab＝28＝16，
解得：c＝±4，
又∵线段是正数，
∴c＝4．
故答案为：4．
12．抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y … 0 4 6 6 4 …
从上表可知，此抛物线与x轴的一个交点为 （﹣2，0） ；此抛物线的对称轴是 x ．
【思路点拔】首先找出纵坐标相等的两个点，可根据这两个点的横坐标判断出抛物线的对称轴．
【解答】解：抛物线与x轴的一个交点为：（﹣2，0），
由抛物线过（0，6）、（1，6）两点知：
抛物线的对称轴为x．
故答案为：（﹣2，0），x．
13．如图，3个大小完全相同的正六边形无缝隙、不重叠的拼在一起，连接正六边形的三个顶点得到△ABC，则tan∠ACB的值是 ．
【思路点拔】以BH，HG，GD为边，作正六边形BHGDFE，，连接BD，DE，AD，由正六边形性质可得C，B，E共线，A，D，E共线；而∠BDE＝∠EDG﹣∠BDG＝90°﹣60°＝30°，∠DBE＝∠DBH＝60°，即有∠DEB＝90°，即∠AEC＝90°，设正六边形的边长为m，则BD＝2BE＝2m＝BC，故DEBEm＝AD，CE＝BC+BE＝3m，从而tan∠ACB．
【解答】解：以BH，HG，GD为边，作正六边形BHGDFE，，连接BD，DE，AD，如图：
由正六边形性质可知∠HBC＝60°，∠HBE＝120°，
∴∠HBC+∠HBE＝180°，
∴C，B，E共线；
由正六边形性质可得∠KDG＝120°＝∠AKD，AK＝DK，
∴∠ADK＝30°，
∴∠ADG＝∠KDG﹣∠ADK＝90°，
同理∠EDG＝∠FDG﹣∠FDE＝120°﹣30°＝90°，
∴∠ADG+∠EDG＝180°，
∴A，D，E共线；
∵∠BDE＝∠EDG﹣∠BDG＝90°﹣60°＝30°，∠DBE＝∠DBH＝60°，
∴∠DEB＝90°，即∠AEC＝90°，
设正六边形的边长为m，则BD＝2BE＝2m＝BC，
∴DEBEm＝AD，CE＝BC+BE＝3m，
∴AE＝2m，
∴tan∠ACB；
故答案为：．
14．如图，在平面直角坐标系中，已知A（1，0），B（2，0），C（0，1），在坐标轴上有一点P，它与A、C两点形成的三角形与△ABC相似，则P点的坐标是 （3，0）或（0，2）或（0，3）或（2，0） ．
【思路点拔】分两种情形：当点P在x轴上时，△PAC∽△CAB时，当点P′在y轴上时，△P′CA∽△BAC，分别求解即可．
【解答】解：如图，
∵A（1，0），B（2，0），C（0，1），
∴OA＝OC＝1，OB＝2，AB＝OB﹣OA＝1，
∴AC，
当点P在x轴上时，△PAC∽△CAB时，
∴，
∴，
∴PA＝2，
∴OP＝3，
∴P（3，0），
当点P′在y轴上时，△P′CA∽△BAC，
∵AC＝CA，
∴AB＝CP′＝1，
∴OP′＝2，
∴P′（0，2）．
根据对称性可知．P（0，3）也符合题意．
P与B重合，也符合题意，此时P（2，0）．
综上所述，满足条件的点P的坐标为（3，0）或（0，2）或（0，3）或（2，0）．
15．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过点D作⊙O的切线交BC于点M，切点为N，则DM的长为 ．
【思路点拔】连接OE，OF，ON，OG，在矩形ABCD中，得到∠A＝∠B＝90°，CD＝AB＝4，由于AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，得到∠AEO＝∠AFO＝∠OFB＝∠BGO＝90°，推出四边形AFOE，FBGO是正方形，得到AF＝BF＝AE＝BG＝2，由勾股定理列方程即可求出结果．
【解答】解：连接OE，OF，ON，OG，
在矩形ABCD中，
∵∠A＝∠B＝90°，CD＝AB＝4，
∵AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，
∴∠AEO＝∠AFO＝∠OFB＝∠BGO＝90°，
∴四边形AFOE，FBGO是正方形，
∴AF＝BF＝AE＝BG＝2，
∴DE＝3，
∵DM是⊙O的切线，
∴DN＝DE＝3，MN＝MG，
∴CM＝5﹣2﹣MN＝3﹣MN，
在Rt△DMC中，DM2＝CD2+CM2，
∴（3+NM）2＝（3﹣NM）2+42，
∴NM，
∴DM＝3．
故答案为．
16．如图，点M在⊙O的直径AB上，作正方形MCDE和正方形MFGH，其中点D，G在直径AB所在直线上，点C，E，F，H都在⊙O上，若两个正方形的面积之和为2a，，则FM MC的值是 a﹣2 ．（用含a的代数式表示）
【思路点拔】设FM＝x，过O作OK⊥CF于K，由垂径定理得到CK＝FK，判定△OMK是等腰直角三角形，求出MKOM＝1，得到CK＝FK＝x+1，求出MC＝x+2，于是得到x2+（x+2）2＝2a，因此x2+2x＝a﹣2，得到FM MC＝x（x+2）＝x2+2x＝a﹣2．
【解答】解：设FM＝x，
过O作OK⊥CF于K，
∴CK＝FK，
∵四边形MCDE是正方形，
∴∠CMD＝45°，
∴△OMK是等腰直角三角形，
∴MKOM1，
∴CK＝FK＝FM+MK＝x+1，
∴MC＝CK+MK＝x+2，
∵两个正方形面积之和为2a，
∴x2+（x+2）2＝2a，
∴x2+x2+4x+4＝2a，
∴x2+2x＝a﹣2，
∴FM MC＝x（x+2）＝x2+2x＝a﹣2．
故答案为：a﹣2．
17．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+m+1交x轴于点A（a，0）和B（b，0），交y轴于点C，抛物线的顶点为D．下列四个命题：①当x＞0时，y＞0；②若a＝﹣1，则b＝4；③抛物线上有两点P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，则y1＞y2；④点C关于抛物线对称轴的对称点为E，点G、F分别在x轴和y轴上，当m＝2时，四边形EDFG周长的最小值为．其中真命题的序号是 ③ ．
【思路点拔】利用抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围可对①进行判断；先求出抛物线的对称轴，然后利用抛物线的对称性可对②进行判断；先求出抛物线的对称轴方程，然后比较点P和Q到对称轴的距离大小，则根据二次函数的大小可对③进行判断；先求出D点和E点坐标，则作D点关于y轴的对称点D′（﹣1，4），E点关于x轴的对称点E′（2，﹣3），连接D′E′分别交x轴和y轴于G、F点，如图，利用两点之间线段最短可判断此时DF+FG+GE的值最小，所以四边形EDFG周长的最小，然后利用勾股定理计算出DE和D′E′，则可对④进行判断．
【解答】解：当a＜x＜b时，y＞0，所以①错误；
抛物线的对称轴为直线x1，所以A点坐标为（﹣1，0），则B（3，0），所以②错误；
抛物线的对称轴为直线x＝1，而x1＜1＜x2，则点P、Q在对称轴的两旁，因为x1+x2＞2，所以点Q离对称轴较远，所以y1＞y2，所以③正确；
当m＝2，则y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，则D（1，4）；当x＝0时，y＝﹣x2+2x+3＝3，则C（0，3），C点关于对称轴的对称点E的坐标为（2，3），作D点关于y轴的对称点D′（﹣1，4），E点关于x轴的对称点E′（2，﹣3），连接D′E′分别交x轴和y轴于G、F点，如图，
所以DF+FG+GE＝D′F+FG+GE′＝D′E′，此时DF+FG+GE的值最小，所以四边形EDFG周长的最小，最小值，所以④错误．
即其中真命题的序号是③．
故答案为：③．
18．如图，AD是△ABC的角平分线，AD＝CD，点E在边AC上，且CE＝AB，连接DE．若∠C＝18°，则∠ADE的度数为 108° ．
【思路点拔】根据角平分线的定义和等腰三角形的性质得出∠BAD＝∠ECD，进而利用全等三角形的判定和性质解答即可．
【解答】解：∵AD＝CD，
∴∠DAC＝∠C＝18°，
∴∠ADB＝36°，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD＝∠DAC，
∴∠BAD＝∠ECD，
在△BAD与△ECD中，
，
∴△BAD≌△ECD（SAS），
∴∠EDC＝∠ADB＝36°，
∴∠ADE＝180°﹣36°﹣36°＝108°，
故答案为：108°．
19．
如图，四边形ABCD为平行四边形，△ABF≌△CDH，∠AFB＝90°，BF＝5，AF＝12，延长DH，BF，交AF，CH于点E，G，若tan∠DAE＝2，直线EG经过CD中点，则AD的长度为 ．
【思路点拔】由tan∠DAE＝2，设AE＝x，DE＝2x，再表示出EH＝2x﹣5，HG＝12﹣x，由直线EG经过CD中点，EG∥AD，tan∠EGH＝2，即EH＝2HG，列方程解出x的值，再利用勾股定理求出AD．
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD＝BC，∠BAD＝∠BCD，
∵△ABF≌△CDH，
∴∠BAF＝∠DCH，
∴∠DAE＝∠BCG，
同理∠ADE＝∠CBG，
∴△ADE≌△CBG（ASA），
∴CG＝AE，
∵tan∠DAE＝2，
∴DE＝2AE，
设AE＝CG＝x，
则DE＝2x，
∵DH＝BF＝5，
∴EH＝2x﹣5，
∵CH＝AF＝12，
∴HG＝12﹣x，
连接EG，
∵直线EG经过CD中点，
∴直线EG必经过AB中点，
∴EG∥AD，
∴∠GEH＝∠ADE，
∴∠AED＝∠EGH，
∴tan∠EGH＝2，
∴EH＝2HG
∴2x﹣5＝2（12﹣x），
∴x，
∴AE，DE，
∴AD．
故答案为：．
20．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，AB＝5，AD＝4，AD＜BC，点E在线段BC上运动，点F在线段AE上，∠ADF＝∠BAE，则线段BF的最小值为 2 ．
【思路点拔】设AD的中点为O，以AD为直径画圆，连接OB交⊙O于F′，证得∠DFA＝90°，于是得到点F在以AD为直径的半圆上运动，当点F运动到OB与⊙O是交点F′时，线段BF有最小值，据此解答即可．
【解答】解：设AD的中点为O，以AD为直径画圆，连接OB交⊙O于F′，
∵∠ABC＝∠BAD＝90°，
∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∵∠ADF＝∠BAE，
∴∠DFA＝∠ABE＝90°，
∴点F在以AD为直径的半圆上运动，当点F运动到OB与⊙O是交点F′时，线段BF有最小值，
∵AD＝4，
∴，
∴，
∴线段BF的最小值为2，
故答案为：2．
21．如图，在四边形ABCD中，AB＝BD，∠BDA＝45°，BC＝2，若BD⊥CD于点D，则对角线AC的最大值为 1
【思路点拔】以BC为直角边，点B为直角顶点作等腰直角三角形CBE（点E在BC下方），连接DE，先证明△ABC≌△DBE（SAS），从而AC＝DE，求DE的最大值即可．以BC为直径作圆，当点D在BC上方，DE经过BC的中点O时，DE有最大值．在Rt△BOE中，由勾股定理求得OE的值，再加上OD即为DE的值，则问题得解．
【解答】解：以BC为直角边，点B为直角顶点作等腰直角三角形CBE（点E在BC下方），则BC＝BE，∠CBE＝90°，连接DE，如图：
∵AB＝BD，∠BDA＝45°，
∴∠BAD＝45°，
∴∠ABD＝90°，
∴∠ABD＝∠CBE，
∴∠ABD+∠CBD＝∠CBE+∠CBD，
∴∠ABC＝∠DBE，
在△ABC和△DBE中，
，
∴△ABC≌△DBE（SAS），
∴AC＝DE，
∴DE的最大值即为对角线AC的最大值．
∵BC＝2，BD⊥CD，即∠ADC＝90°，
∴点D在以BC为直径的圆上运动，如图所示，
当点D在BC上方，DE经过BC的中点O时，DE有最大值，
∴OD＝OBBC＝1，
在Rt△BOE中，OB＝1，BE＝BC＝2，
∴OE，
∴DE＝OE+OD1，
∴对角线AC的最大值为1．
故答案为：1．
三．解答题（共3小题）
22．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，E是CA延长线上的一点，连接DE交⊙O于点F连接AF，CE．
（1）若∠BAC＝20°，求∠AFC的度数．
（2）求证：FA平分∠CFE．
（3）若AB＝5，CD＝4，且CF经过圆心O，求CE的长．
【思路点拔】（1）如图1中，连接OD，AD，设AB交CD于H．求出∠ADC即可解决问题．
（2）想办法证明∠ACD＝∠ADC，∠AFE＝∠ACD，∠AFC＝∠ADC即可解决问题．
（3）解直角三角形求出AC，再证明AC＝AE，即可解决问题．
【解答】（1）解：如图1中，连接OD，AD，设AB交CD于H．
∵CD⊥AB，
∴，
∴∠BAC＝∠BAD＝20°，
∵AB⊥CD，
∴∠AHD＝90°，
∴∠ADH＝90°﹣∠DAB＝70°，
∴∠AFC＝∠ADH＝70°．
（2）证明：∵AB是直径，AB⊥CD，
∴
∴∠ACD＝∠ADC，
∵∠ACD+∠AFD＝180°，∠AFD+∠AFE＝180°，
∴∠AFE＝∠ACD，
∵∠AFC＝∠ADC＝∠ACD，
∴∠AFC＝∠AFE，
即AF平分∠CFE．
（3）解：如图2中，设AB交CD于H．
∵AB是直径，AB⊥CD，
∴CH＝DH＝2，
∵OC，∠OHC＝90°，
∴OH，
∴AH＝OH+OA＝4，
∴AC2，
∵CF是直径，
∴∠CDF＝∠AHC＝90°，
∴AH∥DE，
∵CH＝HD，
∴AC＝AE，
∴CE＝2AC＝4．
23．抛物线y＝ax2﹣4x+1（a≠0），顶点P（x0，y0）．
（1）若抛物线经过（1，﹣2），（2，﹣3），（3，﹣4），（4，1）四个点中的三个点，求它的顶点坐标；
（2）若抛物线的顶点在x轴上，且它与直线y＝m的两个交点分别是点A与点B，若，求m的值；
（3）若点C（n，k）与点D（n+3，k）是抛物线上的两点，当a≤﹣1，求n的取值范围．
【思路点拔】（1）利用待定系数法将（1，﹣2）代入抛物线y＝ax2﹣4x+1求得a值，再将其它三点坐标代入检验；利用配方法和二次函数的性质解答即可得出结论；
（2）利用抛物线的顶点在x轴上得到Δ＝0，求得a值，再利用一元二次方程的根与系数的关系求得AB，最后利用三角形的面积公式列出方程解答即可；
（3）利用抛物线的对称性求得抛物线的对称轴，再利用二次函数的性质得到抛物线的对称轴，从而得到n与a的关系式，最后利用不等式的性质解答即可得出结论．
【解答】解：（1）将（1，﹣2）代入抛物线y＝ax2﹣4x+1得：
a﹣4+1＝﹣2，
∴a＝1．
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+1，
将（2，﹣3），（4，1）代入均适合，（3，﹣4）代入不适合，
∴抛物线经过（1，﹣2），（2，﹣3），（4，1）三个点，此时抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+1．
∵y＝x2﹣4x+1＝（x﹣2）2﹣3，
∴抛物线y＝x2﹣4x+1的顶点坐标为（2，﹣3）；
（2）∵若抛物线y＝ax2﹣4x+1的顶点在x轴上，
∴Δ＝（﹣4）2﹣4a×1＝0，
∴a＝4，
∴抛物线的解析式为y＝4x2﹣4x+1，
∵抛物线与直线y＝m的两个交点分别是点A与点B，
∴点A与点B的横坐标为方程4x2﹣4x+1＝m的两根，
设方程4x2﹣4x+1＝m的两根为a，b，
∴a+b＝1，ab，
∴AB＝|a﹣b|，
∵，
∴ m，
∴m＝1．
（3）∵点C（n，k）与点D（n+3，k）是抛物线上的两点，
∴点C（n，k）与点D（n+3，k）关于抛物线的对称轴对称，
∴抛物线的对称轴为直线xn．
∵抛物线y＝ax2﹣4x+1的对称轴为直线x，
∴n，
∴n，
∵a≤﹣1，
∴1，
∴2，
∴2，
∴n．
24．如图1是一种浴室壁挂式圆形镜面折叠镜，AB，CD，EF可在水平面上转动，连接轴BD分别垂直AB和CD，EF过圆心，点C在EF的中垂线上，且，AB＝24cm，如图2是折叠镜俯视图，墙面PI与PQ互相垂直，在折叠镜转动过程中，EF与墙面PI始终保持平行，
（1）当点E落在PQ上时，AE＝30cm，此时A，B，F三点共线，求：EF的长．
（2）将AB绕点A逆时针旋转至AB′，当B′C⊥AB′时，测得点B′与E′到PQ的距离之比B′G：E′H＝16：11，则求：B′G的长．
【思路点拔】（1）连接BE，BF，过点B′作B′J⊥E′F′于J．首先证明∠EBF＝90°，利用勾股定理求出EB，再利用相似三角形的性质求出BF，利用勾股定理可得EF；
（2）设 B′G＝16kcm，E′H＝11kcm，利用相似三角形的性质以及勾股定理构建方程求出k即可．
【解答】解：（1）连接BE，BF，过点B′作B′J⊥E′F′于J．
则CE＝CF＝CB，
∴∠EBC＝90°，
∵AB＝24cm，AE＝30cm，
∴EB18（cm），
∵∠AEB+∠FEB＝90°，∠F+∠FEB＝90°，
∴∠AEB＝∠F，
∵∠ABE＝∠EBF＝90°，
∴△ABE∽△EBF，
∴，即，
∴FB，
∴EF（cm）；
（2）∵B′G：E′H＝16：11，
设B′G＝16kcm，E′H＝11kcm，
∵四边形B′GHJ是矩形，
∴B′G＝JH＝16k（cm），
∴JE′＝16k﹣11k＝5k（cm），
∵C′B′＝C′E′EFcm，
∴JC′＝（5k）cm，
∵AB′⊥B′C′，
∴∠AB′C′＝∠GB′J＝90°，
∴∠AB′G＝∠JB′C′，
∵∠AGB′＝∠B′JC′＝90°，
∴△AB′G∽△C′B′J，
∴，即，
∴B′Jk（cm），
∴（）2＝（5k）2+（k）2，
解得k，
∴B′G＝16（cm）．中小学教育资源及组卷应用平台
浙教版九年级期中选填中档题专项复习
一．选择题（共10小题）
1．下列说法中正确的是（ ）
A．“任意画出一个等边三角形，它是轴对称图形”是随机事件
B．任意掷一枚质地均匀的硬币10次，正面向上的一定是5次
C．“概率为0.0001的事件”是不可能事件
D．“任意画出一个平行四边形，它是中心对称图形”是必然事件
2．如图所示的几何体的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列说法中，正确的是（ ）
A．等弦所对的弧相等
B．等弧所对的弦相等
C．圆心角相等，所对的弦相等
D．在同圆里，等弦所对的圆周角相等
4．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B＝58°，∠ACD＝40°．若⊙O的半径为5，则的长为（ ）
A． B． C．π D．
5．如图，在⊙O中，直径MN＝20，正方形ABCD的四个顶点都分别在半径OP、OM及⊙O上，且∠POM＝45°，则AB＝（ ）
A．4 B． C． D．6
6．如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象的一部分，其对称轴是直线x＝2，与x轴的一个交点是（5，0），则不等式ax2+bx+c＜0的解集是（ ）
A．x＜﹣1或x＞5 B．x＞5 C．x＜﹣1 D．﹣1＜x＜5
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝3，D为直线AC左侧一点．若△ABC∽△CAD，则BC+CD的最大值为（ ）
A． B． C． D．
8．将抛物线y＝x2+x﹣12位于y轴左侧的部分沿x轴翻折，其余部分不变，翻折得到的图象和原来不变的部分构成一个新图象，若直线与新图象有且只有2个公共点，则t的取值范围是（ ）
A．﹣12＜t≤12 B．﹣12＜t＜12
C．或﹣12≤t＜12 D．或﹣12≤t＜12
9．如图，抛物线y＝3x2﹣9x+6上点C的横坐标为3，点M为平面内任意一点，将线段OC绕点M旋转 180°得到线段O′C′（点O，C的对应点分别为点O′，C′），当点O′和点C′都落在抛物线上时，点C′的横坐标为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，点P是BC上的动点，连接PA，将PA绕点P顺时针旋转90°得到线段PE，连结CE．P从点B向点C运动过程中，CE的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．2
二．填空题（共11小题）
11．已知线段a＝2，b＝8，如果线段c是a、b的比例中项，那么c＝ ．
12．抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y … 0 4 6 6 4 …
从上表可知，此抛物线与x轴的一个交点为 ；此抛物线的对称轴是 ．
13．如图，3个大小完全相同的正六边形无缝隙、不重叠的拼在一起，连接正六边形的三个顶点得到△ABC，则tan∠ACB的值是 ．
14．如图，在平面直角坐标系中，已知A（1，0），B（2，0），C（0，1），在坐标轴上有一点P，它与A、C两点形成的三角形与△ABC相似，则P点的坐标是 ．
15．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过点D作⊙O的切线交BC于点M，切点为N，则DM的长为 ．
16．如图，点M在⊙O的直径AB上，作正方形MCDE和正方形MFGH，其中点D，G在直径AB所在直线上，点C，E，F，H都在⊙O上，若两个正方形的面积之和为2a，，则FM MC的值是 ．（用含a的代数式表示）
17．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+m+1交x轴于点A（a，0）和B（b，0），交y轴于点C，抛物线的顶点为D．下列四个命题：①当x＞0时，y＞0；②若a＝﹣1，则b＝4；③抛物线上有两点P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，则y1＞y2；④点C关于抛物线对称轴的对称点为E，点G、F分别在x轴和y轴上，当m＝2时，四边形EDFG周长的最小值为．其中真命题的序号是 ．
18．如图，AD是△ABC的角平分线，AD＝CD，点E在边AC上，且CE＝AB，连接DE．若∠C＝18°，则∠ADE的度数为 ．
19．
如图，四边形ABCD为平行四边形，△ABF≌△CDH，∠AFB＝90°，BF＝5，AF＝12，延长DH，BF，交AF，CH于点E，G，若tan∠DAE＝2，直线EG经过CD中点，则AD的长度为 ．
20．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，AB＝5，AD＝4，AD＜BC，点E在线段BC上运动，点F在线段AE上，∠ADF＝∠BAE，则线段BF的最小值为 ．
21．如图，在四边形ABCD中，AB＝BD，∠BDA＝45°，BC＝2，若BD⊥CD于点D，则对角线AC的最大值为
三．解答题（共3小题）
22．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，E是CA延长线上的一点，连接DE交⊙O于点F连接AF，CE．
（1）若∠BAC＝20°，求∠AFC的度数．
（2）求证：FA平分∠CFE．
（3）若AB＝5，CD＝4，且CF经过圆心O，求CE的长．
23．抛物线y＝ax2﹣4x+1（a≠0），顶点P（x0，y0）．
（1）若抛物线经过（1，﹣2），（2，﹣3），（3，﹣4），（4，1）四个点中的三个点，求它的顶点坐标；
（2）若抛物线的顶点在x轴上，且它与直线y＝m的两个交点分别是点A与点B，若，求m的值；
（3）若点C（n，k）与点D（n+3，k）是抛物线上的两点，当a≤﹣1，求n的取值范围．
24．如图1是一种浴室壁挂式圆形镜面折叠镜，AB，CD，EF可在水平面上转动，连接轴BD分别垂直AB和CD，EF过圆心，点C在EF的中垂线上，且，AB＝24cm，如图2是折叠镜俯视图，墙面PI与PQ互相垂直，在折叠镜转动过程中，EF与墙面PI始终保持平行，
（1）当点E落在PQ上时，AE＝30cm，此时A，B，F三点共线，求：EF的长．
（2）将AB绕点A逆时针旋转至AB′，当B′C⊥AB′时，测得点B′与E′到PQ的距离之比B′G：E′H＝16：11，则求：B′G的长．
