2024-2025学年福建省福州市高新一中高三（上）第一次月考数学试卷（含答案）

2024-2025学年福建省福州市高新一中高三（上）第一次月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知，，则( )
A. B. C. D.
3.“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.函数的图象大致为( )
A. B.
C. D.
5.实数，满足，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
6.已知函数在上单调递减，则实数的取值范围( )
A. B. C. D.
7.已知定义域为的函数，其导函数为，且满足，，则( )
A. B. C. D.
8.已知，若方程有四个不同的实数根，，，，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列选项中，与的值相等的是( )
A. B.
C. D.
10.已知，，，下列结论正确的是( )
A. 的最小值为 B. 的最小值为
C. 的最小值为 D. 的最小值为
11.设函数与其导函数的定义域均为，且为偶函数，，则( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数是定义在上的奇函数，则______．
13.若函数的图象向右平移个单位后在区间上单调递减，则 ______．
14.与曲线和曲线均相切的直线的方程为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
中，内角，，的对边分别为，，，设．
求；
若的面积等于，求的周长的最小值．
16.本小题分
已知函数．
当时，求在处的切线方程；
若函数在上单调递增，求实数的取值范围．
17.本小题分
已知函数的图象与轴的相邻的两个交点之间的距离为，且图象上一个最高点为．
Ⅰ求的解析式；
Ⅱ完善下面的表格，并画出在上的大致图象；
Ⅲ当时，求的值域．
18.本小题分
在国家大力发展新能源汽车产业政策影响下，我国新能源汽车的产销量高速增长，某地区年底新能源汽车保有量为辆，年底新能源汽车保有量为辆，年底新能源汽车保有量为辆．
设从年底起经过年后新能源汽车保有量为辆，根据以上数据，试从且和且两种函数模型中选择一个最恰当的模型来刻画新能源汽车保有量的增长趋势，并说明理由，求出新能源汽车保有量关于的函数关系式；
年底该地区传统能源汽车保有量为辆，且传统能源汽车保有量每年下降，若每年新能源汽车保有量按中求得的函数模型增长，试估计到哪一年底新能源汽车保有量将超过传统能源汽车保有量参考数据：，，
19.本小题分
若函数在上存在，，使得，，则称是上的“双中值函数”，其中，称为在上的中值点．
判断函数是否是上的“双中值函数”，并说明理由．
已知函数，存在，使得，且是上的“双中值函数”，，是在上的中值点．
求的取值范围；
证明：．
参考答案
1.
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13.
14.
15.解：因为．
由正弦定理得．
因为，所以，所以．
所以，因为，所以，
所以，所以．
依题意，所以．
所以当且仅当时取等号．
又由余弦定理得．
．
当且仅当时取等号．
所以的周长最小值为．
16.解：当时，，
，则，，
所以在处的切线方程为，即．
，
若函数在上单调递增，
则当，，即对于恒成立，
令，则，
则函数在上单调递增，
所以，故，
即的取值范围是．
17.解：Ⅰ由的图象与轴的相邻的两个交点之间的距离为，可知最小正周期，
．
由一个最高点为，得，
由，即，
可得，得，
又，，
，．
Ⅱ表格如下：
在上的大致图象如图：
Ⅲ，，
则，
故的值域为．
18.解：由于新能源汽车保有量每年增长得越来越快，
因此应该选择指数模型，应选函数模型是且，
由题意得，解得，
所以；
设从年底起经过年后传统能源汽车保有量为辆，则有，
令，
即，
化简得，
解得，
故从年底起经过年后，即年底新能源汽车的保有量将超过传统能源汽车的保有量．
19.解：函数是上的“双中值函数”理由如下：
因为，所以．
因为，，所以，
令，得，即，解得，
因为，所以是上的“双中值函数”．
因为，所以，
因为是上的“双中值函数”，所以．
由题意可得．
设，则，
当时，，则为减函数，即为减函数；
当时，，则为增函数，即为增函数，
故，
因为，所以，所以，即的取值范围为；
证明：不妨设，
则，，即，．
要证，即证，
设，
则，
设，则，
所以在上单调递增，所以，所以，
则在上单调递减．
因为，所以，即．
因为，所以，
因为，所以，
因为，所以，
由可知在上单调递增，所以，即，得证
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