2024-2025学年甘肃省兰州五十八中教育集团高三（上）建标数学试卷（含答案）

2024-2025学年甘肃省兰州五十八中教育集团高三（上）建标
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则( )
A. B.
C. D.
2.若，则( )
A. B. C. D.
3.已知抛物线：，则抛物线的焦点到准线的距离是( )
A. B. C. D.
4.已知直线与圆：相交于，两点，，则( )
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
5.现有一个正四棱台形水库，该水库的下底面边长为，上底面边长为，侧棱长为，则该水库的最大蓄水量为( )
A. B. C. D.
6.把某种物体放在空气中，若该物体原来的温度是，空气的温度是，则后该物体的温度满足若，不变，在，后该物体的温度分别为，，且，则下列结论正确的是( )
A.
B.
C. 若，则；若，则
D. 若，则；若，则
7.已知定义在上的奇函数满足，则( )
A. B. C. D.
8.如图，已知为某建筑物的高，，分别为该建筑物附近的参照物甲、乙的高，，，分别为该建筑物、甲、乙的底部且均在同一水平面上，，，分别为该建筑物、甲、乙的顶点，经测量得米，米，，，在点测得点的仰角为，在点测得点的仰角为，则该建筑物的高约为参考数据，，( )
A. 米
B. 米
C. 米
D. 米
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.降雨量是指从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗透、流失，而在水平面上积聚的水层深度，一般以毫米为单位降雨量可以直观地反映一个地区某一时间段内降水的多少，它对农业生产、水利工程、城市排水等有着重要的影响如图，这是，两地某年上半年每月降雨量的折线统计图．
下列结论正确的是( )
A. 这年上半年地月平均降雨量比地月平均降雨量大
B. 这年上半年地月降雨量的中位数比地月降雨量的中位数大
C. 这年上半年地月降雨量的极差比地月降雨量的极差大
D. 这年上半年地月降雨量的分位数比地月平均降雨量的分位数大
10.在长方体中，，，，分别是棱，的中点，是的中点，直线与平面交于点，则( )
A. 异面直线与所成角的余弦值是
B. 点到平面的距离是
C. 三棱锥的体积为
D. 四面体外接球的表面积是
11.已知函数，下列结论正确的是( )
A. 若是的极小值点，则在上单调递减
B. 若是的极大值点，则且
C. 若，且的极小值大于，则的取值范围为
D. 若，且在上的值域为，则的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，的夹角的余弦值为，，且，则 ______．
13.已知，函数在上单调递增，则的最大值为______．
14.一场篮球比赛需要名裁判员名主裁判、名助理裁判，现从名男女裁判员中任意选取人担任某场篮球比赛的裁判，则这名裁判员中既有男裁判员，又有女裁判员，且男裁判员担任主裁判的概率是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知是单调递增的等差数列，，且，，成等比数列．
求的通项公式；
若，求．
16.本小题分
已知甲、乙两人参加某档知识竞赛节目，规则如下：甲、乙两人以抢答的方式答题，抢到并回答正确得分，答错则对方得分，甲、乙两人初始分均为分，答题过程中当一人比另一人的得分多分时，答题结束，且分高者获胜，若甲、乙两人总共答完题时仍未分出胜负，则答题直接结束，且分高者获胜已知甲、乙两人每次抢到题的概率都为，甲、乙两人答对每道题的概率分别为、，每道题两人答对与否相互独立，且每题都有人抢答．
求第一题结束时甲获得分的概率；
记表示知识竞赛结束时，甲、乙两人总共答题的数量，求的分布列与期望．
17.本小题分
如图，在三棱柱中，平面，．
证明：平面平面．
已知，求直线与平面所成角的正弦值．
18.本小题分
已知函数．
讨论的单调性；
若，求的取值范围．
19.本小题分
已知为坐标原点，动点到轴的距离为，且，其中，均为常数，动点的轨迹称为曲线．
判断曲线为何种圆锥曲线．
若曲线为双曲线，试问，应满足什么条件？
设曲线为曲线，斜率为且的直线过的右焦点，且与交于，两个不同的点．
若，求；
若点关于轴的对称点为点，试证明直线过定点．
参考答案
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15.解：设的公差为，由，得．
因为，，成等比数列，所以，则．
结合是递增的等差数列，可知，所以．
解方程组，可得，
所以等差数列的通项公式为；
若，则，
可得，
所以构成以为首项，公比为的等比数列．
可得
16.解：设每道题的抢答中，记甲得分为事件，
发生有两种可能：抢到题且答对，乙抢到题且答错，
所以，
所以甲率先得分的概率为．
由知，在每道题的抢答中甲、乙得分的概率分别为、，
设两人共抢答了道题比赛结束，根据比赛规则，的可能取值为，，．
，
，
，
．
17.解：证明：因为平面，平面，所以C.
又因为，，平面，，所以平面．
又因为平面，所以平面平面．
由知，，，两两互相垂直，
则以为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．
由，可设，，
则，，，
所以，，，
所以．
设平面的法向量为，
则，解得，取，得，所以，
设直线与平面所成的角为，
则，，
即直线与平面所成角的正弦值为．
18.解：因为的定义域为，
可得．
当时，，在上单调递减；
当时，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
综上，当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增；
若，
即，
设，函数定义域为，
此时，
所以，
因为，
所以在上单调递增，
则，
即．
设，函数定义域为，
可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以，
则．
故的取值范围为．
19.解：设，因为，
所以，当，时，
上式为：，即，
所以曲线为椭圆；
由，得，
因为曲线为双曲线，则，
原方程可化为：，
所以，则，
故，应满足的条件为：，且；
由，，得曲线的方程为，则的右焦点坐标为，
所以直线的方程为，设，，
联立方程组，化简得，
则，
若，则，则；
证明：因为点关于轴的对称点为点，所以，
则直线的方程为：，
根据对称性可知，直线经过的定点必在轴上，
令，得
，
当且时，
，
故直线过定点．
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