2024级高一数学试题
总分：150分时间：120分钟
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 命题“，”的否定为（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
2. 定义集合运算.设，，则集合的真子集个数为（）
A. 32 B. 31 C. 30 D. 15
3. 设集合，，那么下面的个图形中，能表示集合到集合且以集合为值域的函数关系的有（）
A. ①②③④ B. ①②③ C. ②③ D. ②
4. 已知函数，下列结论正确的是（）
A. 函数的减区间
B. 函数上单调递减
C. 函数在上单调递增
D. 函数的增区间是
5. 已知函数，则下列关于函数的结论错误的是（）
A. B. 若，则的值是
C. 的解集为 D. 的值域为
6. 已知函数的定义域和值域都是，则函数的定义域和值域分别为（）
A. 和 B. 和
C和 D. 和
7. 设函数；若，则实数a的取值范围是（）
A. B.
C D.
8. 已知函数满足，则（）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分
9. 设集合，集合，若，则实数的值可以为（）
A. B. C. 0 D. 1
10. 已知对任意的，不等式恒成立，则下列说法正确的是（）
A. B.
C. 的最小值为8 D. 的最小值为
11. 已知x，y均为正实数，则（）
A. 的最大值为
B. 若，则的最大值为8
C. 若，则的最小值为
D. 若，则的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 函数单调减区间是_________．
13. 已知函数满足对任意实数，都有成立，则实数的取值范围是______
14. 记为，，中最大的数.设，，则的最小值为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. （1）已知是一次函数，且，求的解析式；
（2）已知函数.求解析式；
（3）已知函数满足，求函数的解析式.
16. 已知定义在的函数，，满足对，等式恒成立且当时，.
（1）求，的值；
（2）解关于的不等式：.
17. 已知函数，
（1）若，试用定义法证明：为单调递增函数；
（2）若对任意的，都有，求实数的取值范围．
18. 两县城和相距km，现计划在县城外以为直径的半圆弧(不含两点)上选择一点建造垃圾处理站，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，垃圾处理厂对城的影响度与所选地点到城的距离的平方成反比，比例系数为；对城的影响度与所选地点到城的距离的平方成反比，比例系数为，对城市和城市的总影响度为城市和城市的影响度之和，记点到城市的距离为，建在处的垃圾处理厂对城和城的总影响度为，统计调查表明：当垃圾处理厂建在的中点时，对城和城的总影响度为.
（1）将表示成的函数；
（2）判断弧上是否存在一点，使得建在此处的垃圾处理厂对城市和城的总信影响度最小？若存在，求出该点到城的距离；若不存在，说明理由.
19. 已知集合，其中，由中元素可构成两个点集和：，，其中中有个元素，中有个元素.新定义1个性质：若对任意的，必有，则称集合具有性质
（1）已知集合}与集合和集合，判断它们是否具有性质，若有，则直接写出其对应的集合，；若无，请说明理由;
（2）集合具有性质，若，求：集合最多有几个元素？
（3）试判断：集合具有性质是的什么条件并证明.2024级高一数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 【答案】D
2.【答案】B
3.
【答案】D
4.
【答案】C
5.
【答案】C
6.
【答案】D
7.
【答案】A
8.
【答案】D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分
9.
【答案】ACD
10.
【答案】BC
11.
【答案】ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.
【答案】
13.
【答案】
14.
【答案】2
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.
【答案】（1）或.
（2），.
（3），.
【解析】
【分析】（1）用待定系数法求函数解析式.
（2）用换元法求函数解析式.
（3）用代替，得到一个新的关系式，解方程组，可求，再用换元法求的解析式.
【详解】（1）因为为一次函数，可设.
所以.
所以或.
所以或.
（2）设，则，
所以，.
所以，.
（3）由①
用代替，得：②
得：即，.
令，则，.
则：，.
所以，.
16.
【答案】（1），.
（2）不等式的解集为.
【解析】
【分析】（1）令求，令求，令求.
（2）用定义法结合题目条件证明在上单调递增，把不等式等价变形，利用函数的单调性求不等式的解集.
【小问1详解】
令，得，
∴.
令，得，
令，得，即，
∴.
【小问2详解】
设任意的，则，，
∵，
∴，
∴，即，
∴函数在上单调递增.
令，得，
不等式可转化为，
∴，
解得，
∴不等式的解集为.
17.
【答案】（1）证明见解析
（2）．
【解析】
【分析】（1）根据函数单调性的定义，分区间讨论即可得证；
（2）由二次不等式的恒成立，列出不等式式组得解.
【小问1详解】
证明：当时，，
当时，
，
由于，则，，，
则，，即；
当时，，
由于，则，则，
，即；
当时，，
由于，则，
，即；
综上，为单调递增函数；
【小问2详解】
①当时，恒成立，即恒成立，
或，解得；
②当时，恒成立，即恒成立，即在上恒成立，则；
综上，实数的取值范围为．
18.
【答案】（1）（2）存在，该点到城的距离为.
【解析】
【分析】（1）由，得，由题意得，再录
垃圾处理厂建在的中点时，对城和城的总影响度为，求出，即可得解；
（2）由（1）知，令，换元得，利用基本不等式求最值即可.
【详解】（1）由为直径，得，
由已知得
又当垃圾处理厂建在的中点时，对城和城的总影响度为，
即，，代入上式得，解得
所以表示成的函数为：
（2）
令
则
又，当且仅当，即，等号成立，
所以，当时，等号成立.
所以弧上存在一点，该点到城的距离为时，建在此处的垃圾处理厂对城市和城的总信影响度最小为.
19.
【答案】（1）集合不具有性质；集合具有性质，对应集合，；
（2）2047276；
（3）充分不必要条件.
【解析】
【分析】（1）根据定义做出判断，直接写出集合，.
（2）利用定义，探讨出与的关系式，代入求值.
（3）利用充分条件、必要条件的定义，结合集合与集合个数的大小关系，推理得证.
【小问1详解】
①集合，不符合定义故不具有性质；
②集合具有性质，对应集合，；
③集合不是整数集所以不具有性质.
【小问2详解】
由题意可知集合的元素构成有序数对，共有个，
∵，∴
又∵时，，∴时候，，
∴集合的元素个数不超过个，
取，则中元素的个数为个，
故中元素的个数最多.
故答案为：2047276
【小问3详解】
1）当集合具有性质时，
①对于，根据定义可知：，又因为集合具有性质，则，
如果，是中不同元素，那么，中至少有一个不成立，于是，中至少有一个不成立，故和也是中不同的元素，可见的元素个数不多于的元素个数，即，
②对于，根据定义可知：，又因为集合具有性质，则，
如果，是中不同元素，那么，中至少有一个不成立，于是，中至少有一个不成立，故和也是中不同的元素，可见的元素个数不多于的元素个数，即，
由①②可知
2）集合，则，
，满足，而集合不具有性质，
所以集合具有性质是的充分不必要条件.
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