2024-2025学年广西南宁一中高三（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年广西南宁一中高三（上）月考数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知，，且，其中是虚数单位，则( )
A. B. C. D.
3.若定义域为的函数不是偶函数，则( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
4.已知一组数据，，，的平均数是，方差为，则数据，，，的平均数和方差分别是( )
A. ， B. ， C. D.
5.已知递增的等差数列的前项和为，，，则( )
A. B. C. D.
6.在中，，若，，，则( )
A. B. C. D.
7.已知函数在区间内既有最大值，又有最小值，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
8.不等式对所有的正实数，恒成立，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图，已知为圆锥的底面的直径，，为底面圆周上一点，弧的长度是弧的长度的倍，异面直线与所成角的余弦值为，则( )
A. 圆锥的体积为 B. 圆锥的侧面积为
C. 直线与平面所成的角大于 D. 圆锥的外接球的表面积为
10.已知抛物线：，：的焦点分别为，，若，分别为，上的点，且直线平行于轴，则下列说法正确的是( )
A. 若，则
B. 若，是等腰三角形
C. 若，则四边形是矩形
D. 四边形可能是菱形
11.设，定义在上的函数满足，且，，，则( )
A. B.
C. 为偶函数 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.的展开式中，含的项的系数为______用数字作答
13.在平面直角坐标系中，若角的终边过点，角的终边与角的终边关于轴对称，则 ______．
14.已知椭圆的左焦点为，若关于直线的对称点恰好在上，且直线与的另一个交点为，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知的内角，，所对的边分别为，，，．
求角的大小；
求的最大值．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，，，，，点是棱的中点．
求证：平面；
求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
17.本小题分
中国体育代表团在年巴黎奥运会上取得了优异的成绩为了解学生对奥运会的了解情况，某校组织了全校学生参加的奥运会知识竞赛，从一、二、三年级各随机抽取名学生的成绩满分：分，各年级总人数相等，统计如下：
年级
一年级
二年级
三年级
学校将测试成绩分为及格成绩不低于分和不及格成绩低于分两类，用频率估计概率，所有学生的测试成绩结果互不影响．
从一、二年级各随机抽一名学生，记表示这两名学生中测试成绩及格的人数，求的分布列和数学期望；
从这三个年级中随机抽取两个年级，并从抽取的两个年级中各随机抽取一名学生，求这两名学生测试成绩均及格的概率．
18.本小题分
已知双曲线：的两条渐近线方程为，为上一点．
求双曲线的方程；
若过点的直线与仅有个公共点，求的方程；
过双曲线的右焦点作两条互相垂直的直线，，且与交于，两点，记的中点，与交于，两点，记的中点为若，求点到直线的距离的最大值．
19.本小题分
已知函数其中，．
当，时，证明：是增函数；
证明：曲线是中心对称图形；
已知，设函数，若对任意的恒成立，求的最小值．
参考答案
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15.解：因为，
由余弦定理可得：，
整理可得，
可得，
又因为，
所以；
由余弦定理可得，
由正弦定理可得：，
当且仅当时，取等号，
所以的最大值．
16.解：证明：取的中点，连接，，
因为是的中点，是的中点，
所以，，又，，
所以，，
所以四边形是平行四边形，所以，
又平面，平面，
所以平面．
因为平面，，平面，
所以，，又，，所以，
以为坐标原点，，，所在的直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
则，，，，，所以，
设平面的一个法向量，又，，
所以
令，解得，，
所以平面的一个法向量，
设平面的一个法向量，又，，
所以
令，解得，，
所以平面的一个法向量，
设平面与平面所成锐二面角的大小为，
所以．
即平面与平面所成锐二面角的余弦值为．
17.解：一年级学生及格的频率为，不及格的频率为，
二年级学生及格的频率为，不及格的频率为，
三年级学生及格的频率为，不及格的频率为，
的所有可能取值为，，，，
则，，，
所以的分布列为：
所以；
由题意可知，抽到一、二年级，一、三年级，二、三年级的概率都是，
所以抽到的两名学生测试成绩均及格的概率为．
18.解：由题意可得，
解得，
所以双曲线的方程为．
当直线斜率存在时，设直线的方程为，
代入，
可得，
当时，即时，直线与双曲线的渐近线平行，只有一个公共点，
即直线的方程为，；
当时，，
即，
可得，
此时直线与双曲线相切，
直线的方程为，
显然，当直线斜率不存在时，直线与双曲线有两个公共点，不满足；
综上所述，与双曲线仅有个公共点的直线有条：，，．
当直线的斜率不存在时，则与重合，又，即，
所以，，此时直线的方程为，
则到的距离为；
当直线的斜率为时，则与重合，，，
此时直线的方程为，则到的距离为；
当直线的斜率存在且不为时，设的方程为，
设，
直线的方程为，
联立，可得，
，
由韦达定理可得，则，
所以，
所以，
联立，
可得，
，
由韦达定理可得，则，
所以，
所以，
则
，
所以直线的方程为，
即，
所以，即，
故直线过定点，
当时，直线与双曲线的渐近线平行，故与双曲线只有一个交点，舍去；
当时，直线与双曲线的渐近线平行，故与双曲线只有一个交点，舍去；
当时，，的横坐标均为，此时，直线的方程为，过点，
综上所述，直线过定点，
所以点到直线的距离的最大值为．
19.解：证明：当，时，，
，
为增函数；
证明：
，
曲线关于点对称，曲线是中心对称图形；
易得，，
当时，，在上单调递增，且当时，，不符合题意；
当时，令，得，在上单调递增，
令，得，在上单调递减，
，故只需，即，
，
设，，
易得在上单调递减，上单调递增，
，，当且仅当，时，等号成立，
的最小值为．
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