江苏省南通市海安市2025届高三上学期11月期中考试数学试题（含答案）

江苏省南通市海安市2025届高三上学期11月期中考试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数，则实数( )
A. B. C. D.
2.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
3.在中，，，则( )
A. B. C. D.
4.函数的极大值为( )
A. B. C. D.
5.在三棱锥中，，与平面所成角的大小为，则( )
A. B. C. D.
6.曲线与的交点中，与轴最近的点的横坐标为( )
A. B. C. D.
7.在 中，，，，若，则( )
A. B. C. D.
8.在正四棱柱中，，是线段上靠近的三等分点，过点与直线垂直的平面将正四棱柱分成两部分，则较大部分与较小部分的体积比为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在空间中，设，，是三条直线，，，是三个平面，则下列能推出的是( )
A. ，
B. ，，
C. ，，，
D. ，，，
10.已知函数，则( )
A. 的最大值为 B. 是曲线的对称中心
C. 在上单调递减 D. 的最小正周期为
11.设为上的增函数，满足：，，则( )
A. B. 为奇函数
C. ， D. ，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数的一个单调减区间为，则 ， ．
13.在平面直角坐标系中，曲线上的两点，满足，线段的中点在轴上，则点的横坐标为 ．
14.已知圆的半径为，点，在圆上，点在圆内，且，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，，分别为的内角，，的对边，且．
求
若的面积为，周长为，试判断的形状．
16.本小题分
设抛物线的焦点为，准线为，点在上，记在上的射影为．
能否为正三角形若能，求点的坐标若不能，请说明理由
设在点处的切线与相交于点，证明：．
17.本小题分
如图，在三棱锥中，平面，是的中点，平面平面，且．
求点到平面的距离
求平面与平面的夹角的正弦值．
18.本小题分
已知函数，其中
若曲线在点处的切线过原点，求
当时，证明：
若在上单调递增，求的取值范围．
19.本小题分
如果数列，，，，是首项为，各项均为整数的递增数列，且任意连续三项的和都能被整除，那么称数列，，，，是数列．
写出所有满足的数列
证明：存在数列是等比数列，且有无穷个
对任意给定的，都存在，，，使得数列，，，，是数列，求整数的最小值．
参考答案
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15.解：因为，
所以由正弦定理，得，
在中，，所以，
所以，
即C.
又，故，所以．
所以，
由，知，
所以，即．
因为的面积为，所以，结合知，，
由余弦定理，得，即．
因为的周长为，所以，
所以，
所以，
所以，解得．
由，解得，代入，得．
所以为等边三角形．
16.解：设点，
能为正三角形，理由如下：
依题意，抛物线的焦点，准线，
则，点到的距离，
假设为正三角形，则，即，
解得，所以点的坐标为．
经检验，此时是边长为的正三角形．
依题意，抛物线，则．
所以在点处的切线方程为：，即．
令，得，所以点，
则，，
所以．
所以，所以．
17.解：在平面内，过点作，交于点．
因为平面平面，，平面平面，平面，
所以平面．
因为平面，平面，
所以．
在中，，，所以．
所以点到平面的距离为．
由知，平面，又平面，所以．
因为平面，平面，所以．
又因为，，平面，所以平面．
因为平面，所以．
在平面内，过点作平行于的射线．
如图，以为坐标原点，为正交基底建立空间直角坐标系．
则，，，．
设平面的法向量为．
因为，，
所以
令，得，所以
又因为是平面的一个法向量，
所以，．
所以平面与平面夹角的余弦值为．
所以平面与平面夹角的正弦值为．
18.解：依题意，，，则．
因为曲线在点处的切线过原点，所以，解得．
当时，记，
则，令，
则．
因为，，所以，所以单调递增．
又，故令得，．
所以当时，，故单调递减
当时，，故单调递增，
所以的最小值为，所以
所以当时，
因为在上单调递增，所以在上恒成立．
当时，因为，所以，符合．
当时，令，则，
所以在上单调递增，所以，符合．
当时，令，得，故在上存在唯一解，不妨记为，
则当时，，所以在上单调递减，
所以当时，，不符题意，故舍去．
综上，的取值范围为．
19.解：满足的数列共有个，分别是，，，，，，，，，，，，．
存在数列，，，是数列，也是等比数列．
因为对于每一个，等比数列，，，都满足：
首项为，各项均为整数的递增数列，
且能被整除，
能被整除，
所以存在数列是等比数列，且有无穷个
当时，令，则或．
当时，则，，不符
当时，同上，显然不符，
故不存在，，，使得数列，，，，是数列．
当时，若，则存在数列，，，，满足题意
若，则存在数列，，，，满足题意
若，则存在数列，，，，满足题意
因此，，，则存在数列，，，，满足题意
因此，，，则存在数列，，，，满足题意
因此，，，则存在数列，，，，满足题意．
综上，的最小值为
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