2024级高一数学独立作业1
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 对于集合,若不成立,则下列理解正确的是()
A. 集合B的任何一个元素都属于A B. 集合B的任何一个元素都不属于A
C. 集合B中至少有一个元素属于A D. 集合B中至少有一个元素不属于A
2. 如图,已知矩形表示全集,是的两个子集,若,集合,,则图中阴影部分所表示的集合为()
A. B. C. D.
3. “一元二次方程有一个正实数根和一个负实数根”的一个充分不必要条件是()
A. B. C. D.
4. 已知集合,集合,如果命题“,”为假命题,则实数的取值范围为()
A. B. C. D.
5. 甲、乙、丙三位同学被问到是否去过,,三个城市时,甲说:我去过的城市比乙多,但没去过城市;乙说:我没去过城市.丙说:我们三人去过同一个城市,下面判断错误的是()
A. 乙去过城市 B. 乙去过城市 C. 甲去过城市 D. 甲去过城市
6. 若正实数满足,则下列不等式恒成立的是()
A. B. C. D.
7. 整数集中,被5除所得余数为的所有整数组成一个“类”,记为,即,其中.以下判断中不正确的是()
A. B.
C D. 若,则整数,属同一类
8. 设集合是关于的不等式的解集,且,则实数的取值范围是()
A B. C. D.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9. 下列关于集合运算的结论,正确的是()
A. B.
C. D.
10. 已知,则()
A B.
C D.
11. 已知,,且,则()
A. 的最小值是16 B. 的最小值为128
C. 的最小值为10 D. 的最小值为
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共15分.
12. 设,,,则,,,的大小顺序是________.
13. 若对任意,不等式恒成立,则实数的取值集合为_____.
14. 已知实数a,b满足,若关于x的不等式的解集中有且仅有3个整数,则实数a的取值范围是_________;
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知全集,集合,.
(1)若,求实数的取值范围;
(2)若,求实数的取值范围.
16. (1)若不等式的解集为,求的取值范围;
(2)解关于的不等式.
17. 如图,正方形的边长为1,,分别是和边上的点.将正方形沿折叠,使点与线段上的点重合(不在端点,处),折叠后与交于点.设,
(1)将表示成的函数.
(2)求的面积的最大值.
18已知,且.
(1)求证:;
(2)求的最大值.
19. 设全集,集合A是U的真子集.设正整数,若集合A满足如下三个性质,则称A为U的子集:
①;
②,若,则;
③,若,则.
(1)当时,判断是否为U的子集,说明理由;
(2)当时,若A为U的子集,求证:;
(3)当时,若A为U的子集,求集合A.2024级高一数学独立作业1
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.
【答案】D
2.
【答案】D
3.
【答案】C
4.
【答案】A
5.
【答案】A
6.
【答案】D
7.
【答案】C
8.
【答案】B
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.
【答案】ABD
10.
【答案】ABD
11.
【答案】BD
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共15分.
12.
【答案】
13.
【答案】
14.
【答案】
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】(1)求出,根据对是否为空集分情况讨论即可;
(2)求出,根据并集定义求解即可.
【小问1详解】
由,得,,故,
因为,所以,
①当时,,解得;
②当时,有,无解;
所以实数的取值范围为.
【小问2详解】
由题意,,
若,则,
所以实数的取值范围为;
16.
【答案】(1),(2)答案见解析;
【解析】
【分析】(1)对二次项系数进行分类讨论,结合二次函数的图象和判别式可求得结果;
(2)对,,进行分类讨论,可分别求得其解集
【详解】(1)根据题意,
当,即时,解集不是,不符合题意;
当,即时,因为的解集为R,
所以的解集为R,
所以,
即,
故时,或,所以.
故的取值范围为:
(2)因,
所以,
当,即时,得,解集为;
当,即时,,
,
解集为或;
当,即时,,
,
解集为.
综上所述:当时,解集为;
当时,解集为;
当时,解集为或.
17.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】(1)由题意,进而由勾股定理即可求解;
(2)由面积比等于相似比的平方建立关系,得到面积的表达式,消元后利用基本不等式求解最值.
【小问1详解】
由,,可知,
由勾股定理可得,
故.
【小问2详解】
,,
又,,
于是,
设的面积为,则,
因为,,
所以
,
因为,则,
所以,
于是,
当且仅当,即时,等号成立,满足,
故的面积的最大值为.
18.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】(1)通过,,,三式相加,可得:
.
再根据,,∴,,且,可得结果.
(2)先用公式和把原式转化为:
,再用和进行消元,转化为的二次三项式,再用配方法可求最大值.
【详解】(1)因为,
所以,
以上三式相加得,
所以,当且仅当时取等号.
因为,且,所以,,所以,
所以.
故.
(2),
,
当且仅当,时取等号,
的最大值为.
19.
【答案】(1)不是U的子集;
(2)证明见解析; (3)集合.
【解析】
【分析】(1)取,由不满足性质②可得不是U的子集;
(2)通过反证法,分别假设,的情况,由不满足子集的性质,可证明出;
(3)由(2)得,,,,再分别假设,,,四种情况,由不满足子集的性质,可得出,再根据性质②和性质③,依次凑出8~23每个数值是否满足条件即可.
【小问1详解】
当时,,,,
取,则,但,不满足性质②,
所以不是U的子集.
【小问2详解】
当时,A为U的子集,
则;
假设,设,即
取,则,但,不满足性质②,
所以,;
假设,
取,,且,则,
再取,,则,
再取,,且,
但与性质①矛盾,
所以.
【小问3详解】
由(2)得,当时,若A为U的子集,,,,
所以当时,,
若A为U的子集,,,;
若,取,,则,,
再取,,则,与矛盾,
则,;
若,取,,则,与矛盾,则,;
若,取,,则,与矛盾,则,;
若,取,,则,与矛盾,则,;
取,,则,;
取,,则;
取,,则,;
取,,则;
取,,则,;
综上所述,集合
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