2024-2025学年广东省广州五中高三（上）第一次月考数学试卷（含答案）

2024-2025学年广东省广州五中高三（上）第一次月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集，集合，，则( )
A. B.
C. D.
2.已知，则的值为( )
A. B. C. D.
3.已知随机变量服从正态分布，有下列四个命题：
甲：；
乙：；
丙：；
丁：．
如果只有一个假命题，则该命题为( )
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
4.若函数在区间上是单调递增函数，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
5.某次足球赛共支球队参加，分三个阶段进行．
小组赛：经抽签分成甲、乙两组，每组队进行单循环比赛，以积分及净胜球数取前两名；
半决赛：甲组第一名与乙组第二名，乙组第一名与甲组第二名作主、客场交叉淘汰赛每两队主、客场各赛一场决出胜者；
决赛：两个胜队参加，比赛一场，决出胜负则全部赛程共需比赛位( )
A. B. C. D.
6.已知函数的定义域为，且为偶函数，，若，则( )
A. B. C. D.
7.已知，分别是双曲线：的左、右焦点，点在双曲线上，，圆：，直线与圆相交于，两点，直线与圆相交于，两点，若四边形的面积为，则的离心率为( )
A. B. C. D.
8.在某次数学节上，甲、乙、丙、丁四位同学分别写下了一个命题：
甲：；
乙：；
丙：；
丁：．
所写为真命题的是( )
A. 甲和乙 B. 甲和丙 C. 丙和丁 D. 甲和丁
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知数列的前项和为，，若，则可能为( )
A. B. C. D.
10.已知向量，且，则下列选项正确的是( )
A.
B.
C. 向量与向量的夹角是
D. 向量在向量上的投影向量坐标是
11.数学探究课上，小王从世界名画记忆的永恒中获得灵感，创作出了如图所示的垂直时光已知垂直时光是由两块半圆形钟组件和三根指针组成的，它如同一个标准的圆形钟沿着直径折成了直二面角其中对应钟上数字，对应钟上数字设的中点为，，已知长度为的时针指向了钟上数字，长度为的分针指向了钟上数字，现在小王准备安装长度为的秒针安装完秒针后，不考虑时针与分针可能产生的偏移，不考虑三根指针的粗细，则下列说法正确的是( )
A. 若秒针指向了钟上数字，如图，则
B. 若秒针指向了钟上数字，如图，则平面
C. 若秒针指向了钟上数字，如图，则与所成角的余弦值为
D. 若秒针指向了钟上数字，如图，则四面体的外接球的表面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若，则 ．
13.已知圆：，设直线与两坐标轴的交点分别为，，若圆上有且只有一个点满足，则的值为 ．
14.“完全数”是一类特殊的自然数，它的所有正因数的和等于它自身的两倍寻找“完全数”用到函数：，为的所有正因数之和，如，则 ______； ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，，，的对边分别为，，，．
若，求的值；
若，的平分线交于点，求长度的取值范围．
16.本小题分
在椭圆：中，其所有外切矩形的顶点在一个定圆：上，称此圆为椭圆的蒙日圆椭圆过，
求椭圆的方程；
过椭圆的蒙日圆上一点，做椭圆的一条切线，与蒙日圆交于另一点，若，存在，证明：为定值．
17.本小题分
第届世界杯于年月日到月日在卡塔尔举办在决赛中，阿根廷队通过点球战胜法国队获得冠军．
扑点球的难度一般比较大假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有的可能性扑不到球不考虑其它因素，在一次点球大战中，求门将在前三次扑到点球的个数的分布列和期望；
好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲、乙、丙三名前锋队员在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外人中的人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外人中的人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住，记第次传球之前球在甲脚下的概率为，易知，．
证明：为等比数列；
设第次传球之前球在乙脚下的概率为，比较与的大小．
18.本小题分
已知函数和有相同的最大值．
求实数；
设直线与两条曲线和共有四个不同的交点，其横坐标分别为，，，，证明：．
19.本小题分
离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面，平面，，平面和平面为多面体的所有以为公共点的面．
求三棱锥在各个顶点处的离散曲率的和；
如图，已知在三棱锥中，平面，，，三棱锥在顶点处的离散曲率为．
求直线与直线所成角的余弦值；
若点在棱上运动，求直线与平面所成的角的最大值．
参考答案
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15.解：，
在中，由正弦定理得，
，，
，即，
，
；
由得，，则，
设，如图所示：
，
，，
．
16.解：设椭圆的方程为，代入，
可得，解得，
椭圆的方程为；
证明：由题意可知，蒙日圆方程为，
当的斜率不存在时，则直线的方程为：或，
不妨取，易得，，，，，
若直线的斜率存在时，可设直线的方程为，，，
由，联立消去可得，
则，，
则，
当直线与椭圆相切时，由，
联立消去可得，，
，
化简得，
所以，
综上所述：．
17.解：的所有可能取值为，，，，
在一次扑球中，扑到点球的概率，
所以，，，，
所以的分布列如下：
．
证明：第次传球之前球在甲脚下的概率为，
则当时，第次传球之前球在甲脚下的概率为，
第次传球之前球不在甲脚下的概率为，
则，
即，又，
所以是以为首项，公比为的等比数列．
由可知，所以，
所以，
故．
18.解：，令．
有最大值，
且在上单调递增；上单调递减，
时，，
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
，
，即；
由，由，
令，
当时，，当时，，
所以在上单调递增；上单调递减，至多两个零点，
令，
当时，，当时，，
所以在上单调递增；上单调递减；至多两个零点．
令，
当时，，所以；
当时，由，
设，，
所以当时，，
所以在单调递增，所以，
所以，且，所以，
设，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，
方程无解，
当时，由在上单调递增，
方程有唯一解，
当时，注意到，，
设，对恒成立，
所以，
所以当时，，即，
因为，所以，，所以，
所以，
在和上各有一个零点，，，示意图，
注意到，，，
令，，，即函数在上单调递减，
因此，即有，
在和上各有一个零点，．
由，而，，
而在上单调递增，
由可得，
故，
由，而，，
而在上单调递减，由，
，
于是得，
．
19.解：由离散曲率的定义得：，
，
，
，
四个式子相加得：．
如图，分别取，，的中点，，，连接，，，，显然有，，
所以为异面直线与的夹角或其补角，
设，
因为，所以，，
因为平面，，，，平面，
所以，，，，
因为，，所以平面，
又因为平面，所以，
因为点处的离散曲率为，且，
所以，解得，
所以，，，
而，，
在中，由余弦定理知，，
故异面直线与的夹角的余弦值为．
如图，过点作，交与，连接，
因为平面，所以平面，则为直线与平面所成的角，
设，
在中，由余弦定理知，，
因为，所以，
所以，
所以，
所以，
当分母最小时，最大，即最大，此时，即与重合，
由，得，即，
所以的最大值为，
故直线与平面所成的角的最大值为．
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