2024-2025学年广东省佛山市顺德区罗定邦中学高三（上）第一次月考数学试卷（含答案）

2024-2025学年广东省佛山市顺德区罗定邦中学高三（上）第一次月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数，则( )
A. B. C. D.
2.已知，，则( )
A. B. C. D.
3.已知函数恒过定点，则函数不经过( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
4.满足集合为的子集且的集合的个数是( )
A. B. C. D.
5.已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，当时，，则( )
A. B. C. D.
6.定义在上的偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集是( )
A. B.
C. D.
7.若，则( )
A. B.
C. D.
8.已知函数，且若，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列选项中，正确的是( )
A. 若：，，则：，
B. 若不等式的解集为，则
C. 函数且的图象恒过定点
D. 若，，且，则的最小值为
10.已知定义域为的函数在上单调递增，，且图像关于对称，则( )
A. B. 周期
C. 在单调递减 D. 满足
11.设函数，则( )
A. 当时，有三个零点
B. 当时，无极值点
C. ，使在上是减函数
D. ，图象对称中心的横坐标不变
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数是偶函数，则 ______．
13.已知，，则 ______．
14.设、分别是方程与的根，则 ______．
四、解答题：本题共4小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
函数，其中．
Ⅰ当时，求不等式的解集；
Ⅱ当时，的最小值为，求的值．
16.本小题分
已知定义在上的奇函数，当时，．
求函数在上的解析式，并作出函数的大致简图；
作图要求，列表描点；先用铅笔作出图象，再用黑色签字笔将图象描黑；
并根据图象写出函数单调区间不用证明；
若不等式在上有解，求的取值范围．
17.本小题分
在函数是定义域为的奇函数且，函数在点处的切线方程为，是指数函数三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．
已知函数，且，．
试确定的奇偶性；
已知_____，求不等式的解集．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18.本小题分
已知函数，
已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，试求；
证明；
设是的根，则证明：曲线在点处的切线也是曲线的切线．
参考答案
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15.解：Ⅰ时，，所以不等式变为，解得或，
所以不等式的解集为或；
Ⅱ时，开口向上，对称轴，
当，即时，则时，函数单调递增，所以，
解得，符合条件；
当，即，则时，函数单调递减，所以，解得，不符合条件；
当时，则时，函数单调先减后增，所以，解得或舍．
综上所述：的值为或．
16.【详解】解：因为函数为上的奇函数，则，
当时，，
则当时，，
因此的解析式为，
列表如下：
作出函数的图象如图所示：
解：由图可知，函数的单调递减区间为、，增区间为．
解：当时，由图可知，函数在上单调递增，在上单调递减，
且，，即当时，，
由题意可知，存在，使得，则，解得．
因此，实数的取值范围是．
17.解：，且，定义域为，
，
故函数为偶函数；
若选择，函数是定义域为的奇函数，
，
，又，
，，
故可化为，即，故或．
不等式的解集为；
若选择，，
，
，即，
，
，，
故可化为，即，故或，
不等式的解集为；
若选择，是指数函数，
，即，
，故可化为，即，
故或，
不等式的解集为．
18.解：因为的图象与的图象关于直线 对称，所以 ．
又因为 ，
所以，
令，则 ，
所以，
因此，．
证明：解法：当 时，且 ，此时 ；
当时，且，此时 ，
故综上．
解法：，令，在上恒成立，
故在上单调递增，即在上单调递增，
因此当时，；当，；
因此在上单调递减，在上单调递增，
故．
证明：不妨取曲线 上的一点 ，设在处的切线即是 在处的切线，
则 ，得 ，则 的坐标 ，
由于，所以，
则有，
综上可知，直线的斜率等于在处的切线斜率和在处的切线斜率，
所以直线既是曲线在点处的切线也是曲线的切线．
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