贵州省六盘水市2023-2024学年高二上学期1月期末质量监测数学试题
1．（2024高二上·六盘水期末）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：因为集合，所以.
故答案为：D.
【分析】根据集合的交集运算求解即可.
2．（2024高二上·六盘水期末）在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数运算的几何意义
【解析】【解答】解：，即复数在复平面内对应的点为，位于第一象限.
故选：A.
【分析】根据复数的乘法运算计算，再结合复数的几何意义判断即可.
3．（2024高二上·六盘水期末）抛物线的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】抛物线的定义；抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：因为抛物线 ，所以焦点在轴上，由 ，可得 ，
所以抛物线的焦点坐标为 .
故答案为：D.
【分析】根据抛物线的定义结合已知条件计算即可.
4．（2024高二上·六盘水期末）若，则的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：因为，所以，
，当且仅当，即时等号成立，
故的最小值为 .
故答案为：B.
【分析】利用基本不等式直接求解即可.
5．（2024高二上·六盘水期末）已知曲线，则“”是“曲线是圆”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；二元二次方程表示圆的条件
【解析】【解答】解：曲线化为，
若曲线是圆，则，解得或，
所以“”是“曲线是圆”的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】根据圆的定义列出不等式求解判断即可.
6．（2024高二上·六盘水期末）人口增长问题是一个深受社会学家关注的问题，英国人口学家马尔萨斯发现“人口的自然增长率在一定时间内是一个常数，人口的变化率和当前人口数量成正比”，并给出了马尔萨斯人口模型，其中为年的人口数，为年的人口数，为常数．已知某地区2000年的人口数为100万，，用马尔萨斯人口模型预测该地区2055年的人口数（单位：万）约为（参考数据：）
A．200 B．300 C．400 D．500
【答案】B
【知识点】有理数指数幂的运算性质；指数式与对数式的互化
【解析】【解答】解：由题意可知：当，，则，
即，又因为，所以，
即.
所以用马尔萨斯人口模型预测该地区2055年的人口数约为300万人.
故答案为：B.
【分析】由题意得，将代入结合求解即可.
7．（2024高二上·六盘水期末）已知三棱锥的四个顶点均在同一球面上，，且三棱锥的体积最大值为，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】棱锥的结构特征；球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体；正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】解：设三棱锥外接球球心为，半径为，
在中，由余弦定理可得：，由于，所以，
设三角形外接圆半径为，外心为，
由正弦定理得，由三角形的面积为定值，
则当三棱锥体积最大时，到平面的距离最大，
设此时到平面的距离为，所以三棱锥的体积最大为，故，
由图可知，三棱锥体积最大时三点共线，且，
由球心性质可知，平面，
在中，，
则，即，解得.
则该球的表面积.
故答案为：C.
【分析】设三棱锥外接球球心为，半径为，利用三棱锥体积的最大值求得此时到平面的距离，利用勾股定理计算出外接球的半径，最后利用球的表面积公式求解即可.
8．（2024高二上·六盘水期末）已知，则正数的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】指数函数的图象与性质；对数函数的图象与性质；基本不等式
【解析】【解答】解：作出函数的图象（如图所示），易知，
又因为因为，所以
则，所以，
综上可知：.
故答案为：D.
【分析】数形结合，利用图像性质比较a，b的大小，再利用对数函数的性质结合基本不等式比较b，c大小，从而判断的大小即可，
9．（2024高二上·六盘水期末）下列说法正确的是（ ）
A．命题“”的否定为“”
B．若直线与平行，则
C．若向量，则在上的投影向量为
D．已知5位同学的数学成绩为：，则这组数据的第60百分位数为96
【答案】A,B,C
【知识点】命题的否定；两条直线平行的判定；平面向量的投影向量；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：A、命题“”的否定为“”，故A正确；
B、若直线与平行，则，解得，经检验满足题意，故B正确；
C、向量在上的投影向量为，故C正确；
D、5位同学的数学成绩为：，因为，所以这组数据的第60百分位数为第三个数据与第四个数据的平均值，即，故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】根据命题否定的定义即可判断A；由直线平行的充要条件计算，检验即可判断B；根据投影向量的计算公式即可判断C；由百分位数的定义计算即可判断D.
10．（2024高二上·六盘水期末）已知函数，将图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．在区间上有3个零点
C．直线是图象的一条对称轴
D．若对任意的恒成立，则
【答案】A,B
【知识点】函数恒成立问题；正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：A、由题意可得：，故A正确；
B、令，可得：，因为，所以或或，故B正确；
C、因为，所以直线不是函数图象的一条对称轴，故C错误；
D、因为对任意的恒成立，，所以对任意的恒成立.
当时，，所以，即，所以，故D错误.
故答案为：AB.
【分析】根据三角函数的图象平移变换求出的解析式，即可判断A；解方程求解即可判断B；根据正弦函数的对称性可判断C；对任意的恒成立，只需即可，求出的最大值即可判断D.
11．（2024高二上·六盘水期末）连续投掷一个质地均匀的正方体骰子两次，并记录每次骰子朝上的点数．记事件“第一次朝上的点数为奇数”，事件“两次朝上的点数之和不能被2整除”，则下列结论正确的是（ ）
A． B．事件与事件互斥
C． D．事件与事件相互独立
【答案】A,C,D
【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式；古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：连续投掷一个骰子两次， 每次骰子朝上的点数包含的基本事件共有36种情况：
A、因为事件包含18种情况，所以，故A正确；
B、事件和同时发生，例如：事件“第一次朝上的点数为3，第二次朝上的点数为2”，
所以事件和不是互斥事件，故B错误；
C、事件包含18种情况，事件也包含18种情况，其中第一次点数为奇数且点数和能被2整除，包括9种情况，
所以，故C正确；
D、由，，且，所以，即事件和相互独立，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据古典概型的概率计算公式，即可判断A；根据互斥事件的定义，举例说明，即可判断B；根据事件的关系，结合古典概型的概率计算即可判断C；根据独立事件的判定方法即可判断D.
12．（2024高二上·六盘水期末）下列物体中，能被整体放入底面直径和高均为1（单位：）的圆柱容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（ ）
A．直径为的球体
B．底面直径为，高为的圆柱体
C．底面直径为，高为的圆柱体
D．底面边长为，侧棱长为的正三棱锥
【答案】A,D
【知识点】棱锥的结构特征；旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征
【解析】【解答】解：A、因为球体的直径均小于圆柱底面直径和高，所以直径为的球体能被整体放入底面直径和高均为1的圆柱容器，故A符合；
B，C、如图所示：
画出底面直径和高均为1的圆柱容器以及高（或底面直径）为的圆柱体的轴截面，
点是边长为1的正方形的对角线的交点，点是高（或底面直径）为的圆柱体的底面圆心（或母线的中点），而，容易知道，所以，即，
解得，故C不符合；
又注意到虽然，
但是底面直径为的圆柱体的直径大于题中所给圆柱形的直径，即题中所给圆柱形直径不够“宽”，故B不符合；
D、如图所示，
先来看底面圆底面直径和高均为1（单位：）的圆柱容器的底面圆的内接正三角形的边长，
由正弦定理有，
设为另外一个底面的圆心，则由勾股定理有，
所以底面边长为，侧棱长为的正三棱锥能被整体放入底面直径和高均为1（单位：）的圆柱容器，故D符合.
故答案为：AD.
【分析】由，即可判断A符合；画出图形，求出，由此可以排除C，对于B，注意到底面直径为的圆柱体的直径大于题中所给圆柱形的直径，由此可以排除B；画出图形，求出比较大小即可判断D符合.
13．（2024高二上·六盘水期末）已知向量．若，则 ．
【答案】-2
【知识点】平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：因为，所以，解得.
故答案为：.
【分析】根据向量垂直的坐标表示直接计算即可.
14．（2024高二上·六盘水期末）已知，则 ．
【答案】1
【知识点】二倍角的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：.
故答案为：1.
【分析】利用正弦的二倍角公式、同角三角函数基本关系，将原式转化为关于齐次式，再代入求值即可.
15．（2024高二上·六盘水期末）已知等比数列的前项和为，数列的前项和为．若，则 ．
【答案】
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；等比数列的性质
【解析】【解答】解：设等比数列公比为，且，
数列的通项公式为，它是以为首项、为公比的等比数列，
所以，又因为，所以，
所以.
故答案为：.
【分析】由等比数列求和公式以及等比数列性质得，再结合已知条件求解即可.
16．（2024高二上·六盘水期末）已知双曲线的焦点为，若双曲线的渐近线上存在点，满足，则双曲线的离心率的取值范围为 ．
【答案】
【知识点】平面内点到直线的距离公式；轨迹方程；双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：易知，设点，因为，
所以，
化简整理可得，所以点在以为圆心，为半径的圆上，
又因为点在双曲线的渐近线上，所以渐近线与圆有公共点，即，解得，即，
所以双曲线离心率的取值范围是.
故答案为：
【分析】由题意可得点在以为圆心，为半径的圆上，再结合点在双曲线的渐近线上，推出渐近线和圆要有公共点，利用圆心到直线的距离小于等于半径，即可求得离心率的取值范围.
17．（2024高二上·六盘水期末）记为等差数列的前项和，已知．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
【答案】（1）解：设数列的公差为d，
因为，所以，解得，，
所以，即数列的通项公式 ；
（2）由（1）可得，又因为，所以
故
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的前n项和
【解析】【分析】（1）根据等差数列的通项公式以及等差的前n项和公式，列方程组，求解即可得数列的通项公式；
（2）由（1）可得，利用裂项求和求数列的前项和 即可.
18．（2024高二上·六盘水期末）在中，角的对边分别是，且．
（1）求；
（2）若的角平分线交于点，且，求的周长．
【答案】（1）解：在中，，
由正弦定理可化简得
所以可化简得
又在中，，得
，即
由，得
（2）解：由（1）得，又的角平分线交于点，且可得
即
即①
又在中，得
②
联立①②解得
所以的周长为
【知识点】解三角形；正弦定理；辅助角公式
【解析】【分析】（1）根据条件，利用正弦定理化边为角，得到，再利用辅助角公式，得到，即可求；
（2）根据条件，利用，得到，且有，联立解出，即可求出结果.
19．（2024高二上·六盘水期末）如图，在直四棱柱中，底面为菱形，为的中点．
（1）证明：直线平面；
（2）若，且，求二面角的余弦值．
【答案】（1）证明：如图，连接交于点，连接．
底面四边形为菱形，
为的中点
在中，为的中点，为的中点
又平面
平面
平面
（2）解：如图，因为在直四棱柱中，底面四边形为菱形，
，过作底面的垂线，建系如图设菱形的边长为2，
又
设平面的法向量为，则，即
解得
同理解得平面的法向量为
设二面角的平面角为，由图可得为锐角，则
所以二面角的余弦值为
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）由题意，根据中位线定理证明线线平行，再根据线面平行判定定理证明即可；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间法向量求解二面角即可.
20．（2024高二上·六盘水期末）六盘水红心猕猴桃因富含维生素及等多种矿物质和18种氮基酸，被誉为“维之王”．某收购商为了了解某种植基地的红心猕猴桃品质，从该基地随机摘下100个猕猴桃进行测重，其重量分布在区间内（单位：克），根据样本数据作出频率分布直方图如下图所示．
（1）用比例分配的分层随机抽样方法，从重量落在区间的猕猴桃中抽取5个，再从这5个猕猴桃中随机抽取2个，求这2个猕猴桃重量均不小于90克的概率；
（2）已知该基地大约还有6000个猕猴桃，该收购商准备收购这批猕猴桃，提出了以下两种收购方案：
方案一：所有猕猴桃均以20元每千克收购；
方案二：小于90克的猕猴桃以10元每千克收购，不小于90克的猕猴桃以30元每千克收购；
请你就这两种方案，通过计算为该猕猴桃基地选择最佳的出售方案．
（同一组中的数据用该组区间的中点值代表，视频率为概率）
【答案】（1）解：由频率分布直方图可得，落在的猕猴桃数量之比为，用比例分配的分层随机抽样方法，从重量落在区间，的猕猴桃中抽取5个，则在中抽2个，并编号为，在中抽3个，并编号为现从这5个猕猴桃中随机抽取2个，得到样本空间
设事件“抽取的2个猕猴桃重量均不小于90克”
则
所以
即这2个猕猴桃重量均不小于90克的概率
（2）解：根据频率分布直方图可得，选择方案一获得收入为
选择方案二获得利润为
因为，所以选择方案二
【知识点】分层抽样方法；频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图先求区间中猕猴桃数量的比，再利用分层抽样求区间抽取的猕猴桃个数，最后利用列举法，结合古典概型的概率公式求解即可；
（2）根据题意，分别求得两个方案的收入情况，从而得解.
21．（2024高二上·六盘水期末）已知函数．
（1）若是偶函数，求实数的值；
（2）当时，，若关于的方程在区间上恰有1个实数解，求的取值范围．
【答案】（1）解：依题意可得，函数为偶函数，则有
又
所以
即
解得
（2）解：当时，由易知在上为增函数，且
又因为，所以
因为在区间上恰有1个实数解，即在区间上恰有1个实数解，
令
在区间上恰有1个实数解，等价于在区间
上恰有1个实数解，即在区间上恰有1个实数解，
结合图形
易知在单调递减，在单调递增．在区间上的值域为
因为在区间上恰有1个实数解，所以或
解得或
所以或
【知识点】函数单调性的性质；奇函数与偶函数的性质；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）根据偶函数的定义，列等式求解，即可得实数的值；
（2）由函数在单调递增，且，将问题转化为在区间上恰有1个实数解，利用对数式的运算规则化简函数解析式，利用换元，由二次函数的性质求的取值范围即可．
22．（2024高二上·六盘水期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为．为椭圆上任意一点，且的最大值为3，最小值为1．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点的直线与椭圆交于两点（均异于），求直线与交点的轨迹方程．
【答案】（1）解：依题意可设椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，
又因为椭圆的左、右焦点分别为，且的最大值为3，最小值为1，
所以，
解得，又，解得，
所以椭圆的标准方程为.
（2）解：由（1）得椭圆的标准方程为，易知，
由题意得直线不与轴重合，可设直线的方程为，
，
联立直线与椭圆的方程消得，恒成立，
，
所以① ，
又直线②，
又直线③，
联立②③得，
将①式代入整理得，
解得，
又因为直线不与轴重合，所以直线与的交点轨迹方程为，且.
【知识点】与直线有关的动点轨迹方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由题意可得，根据椭圆求得 ，代入即可得椭圆的标准方程；
（2）由题意得直线不与轴重合，设直线的方程为，直线与椭圆方程联立，消元整理，利用韦达定理求出直线和直线参数方程，再联立整理即可求得直线与交点的轨迹方程．
1 / 1贵州省六盘水市2023-2024学年高二上学期1月期末质量监测数学试题
1．（2024高二上·六盘水期末）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高二上·六盘水期末）在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（2024高二上·六盘水期末）抛物线的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024高二上·六盘水期末）若，则的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．（2024高二上·六盘水期末）已知曲线，则“”是“曲线是圆”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．（2024高二上·六盘水期末）人口增长问题是一个深受社会学家关注的问题，英国人口学家马尔萨斯发现“人口的自然增长率在一定时间内是一个常数，人口的变化率和当前人口数量成正比”，并给出了马尔萨斯人口模型，其中为年的人口数，为年的人口数，为常数．已知某地区2000年的人口数为100万，，用马尔萨斯人口模型预测该地区2055年的人口数（单位：万）约为（参考数据：）
A．200 B．300 C．400 D．500
7．（2024高二上·六盘水期末）已知三棱锥的四个顶点均在同一球面上，，且三棱锥的体积最大值为，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高二上·六盘水期末）已知，则正数的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024高二上·六盘水期末）下列说法正确的是（ ）
A．命题“”的否定为“”
B．若直线与平行，则
C．若向量，则在上的投影向量为
D．已知5位同学的数学成绩为：，则这组数据的第60百分位数为96
10．（2024高二上·六盘水期末）已知函数，将图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．在区间上有3个零点
C．直线是图象的一条对称轴
D．若对任意的恒成立，则
11．（2024高二上·六盘水期末）连续投掷一个质地均匀的正方体骰子两次，并记录每次骰子朝上的点数．记事件“第一次朝上的点数为奇数”，事件“两次朝上的点数之和不能被2整除”，则下列结论正确的是（ ）
A． B．事件与事件互斥
C． D．事件与事件相互独立
12．（2024高二上·六盘水期末）下列物体中，能被整体放入底面直径和高均为1（单位：）的圆柱容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（ ）
A．直径为的球体
B．底面直径为，高为的圆柱体
C．底面直径为，高为的圆柱体
D．底面边长为，侧棱长为的正三棱锥
13．（2024高二上·六盘水期末）已知向量．若，则 ．
14．（2024高二上·六盘水期末）已知，则 ．
15．（2024高二上·六盘水期末）已知等比数列的前项和为，数列的前项和为．若，则 ．
16．（2024高二上·六盘水期末）已知双曲线的焦点为，若双曲线的渐近线上存在点，满足，则双曲线的离心率的取值范围为 ．
17．（2024高二上·六盘水期末）记为等差数列的前项和，已知．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
18．（2024高二上·六盘水期末）在中，角的对边分别是，且．
（1）求；
（2）若的角平分线交于点，且，求的周长．
19．（2024高二上·六盘水期末）如图，在直四棱柱中，底面为菱形，为的中点．
（1）证明：直线平面；
（2）若，且，求二面角的余弦值．
20．（2024高二上·六盘水期末）六盘水红心猕猴桃因富含维生素及等多种矿物质和18种氮基酸，被誉为“维之王”．某收购商为了了解某种植基地的红心猕猴桃品质，从该基地随机摘下100个猕猴桃进行测重，其重量分布在区间内（单位：克），根据样本数据作出频率分布直方图如下图所示．
（1）用比例分配的分层随机抽样方法，从重量落在区间的猕猴桃中抽取5个，再从这5个猕猴桃中随机抽取2个，求这2个猕猴桃重量均不小于90克的概率；
（2）已知该基地大约还有6000个猕猴桃，该收购商准备收购这批猕猴桃，提出了以下两种收购方案：
方案一：所有猕猴桃均以20元每千克收购；
方案二：小于90克的猕猴桃以10元每千克收购，不小于90克的猕猴桃以30元每千克收购；
请你就这两种方案，通过计算为该猕猴桃基地选择最佳的出售方案．
（同一组中的数据用该组区间的中点值代表，视频率为概率）
21．（2024高二上·六盘水期末）已知函数．
（1）若是偶函数，求实数的值；
（2）当时，，若关于的方程在区间上恰有1个实数解，求的取值范围．
22．（2024高二上·六盘水期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为．为椭圆上任意一点，且的最大值为3，最小值为1．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点的直线与椭圆交于两点（均异于），求直线与交点的轨迹方程．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：因为集合，所以.
故答案为：D.
【分析】根据集合的交集运算求解即可.
2．【答案】A
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数运算的几何意义
【解析】【解答】解：，即复数在复平面内对应的点为，位于第一象限.
故选：A.
【分析】根据复数的乘法运算计算，再结合复数的几何意义判断即可.
3．【答案】D
【知识点】抛物线的定义；抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：因为抛物线 ，所以焦点在轴上，由 ，可得 ，
所以抛物线的焦点坐标为 .
故答案为：D.
【分析】根据抛物线的定义结合已知条件计算即可.
4．【答案】B
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：因为，所以，
，当且仅当，即时等号成立，
故的最小值为 .
故答案为：B.
【分析】利用基本不等式直接求解即可.
5．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；二元二次方程表示圆的条件
【解析】【解答】解：曲线化为，
若曲线是圆，则，解得或，
所以“”是“曲线是圆”的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】根据圆的定义列出不等式求解判断即可.
6．【答案】B
【知识点】有理数指数幂的运算性质；指数式与对数式的互化
【解析】【解答】解：由题意可知：当，，则，
即，又因为，所以，
即.
所以用马尔萨斯人口模型预测该地区2055年的人口数约为300万人.
故答案为：B.
【分析】由题意得，将代入结合求解即可.
7．【答案】C
【知识点】棱锥的结构特征；球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体；正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】解：设三棱锥外接球球心为，半径为，
在中，由余弦定理可得：，由于，所以，
设三角形外接圆半径为，外心为，
由正弦定理得，由三角形的面积为定值，
则当三棱锥体积最大时，到平面的距离最大，
设此时到平面的距离为，所以三棱锥的体积最大为，故，
由图可知，三棱锥体积最大时三点共线，且，
由球心性质可知，平面，
在中，，
则，即，解得.
则该球的表面积.
故答案为：C.
【分析】设三棱锥外接球球心为，半径为，利用三棱锥体积的最大值求得此时到平面的距离，利用勾股定理计算出外接球的半径，最后利用球的表面积公式求解即可.
8．【答案】D
【知识点】指数函数的图象与性质；对数函数的图象与性质；基本不等式
【解析】【解答】解：作出函数的图象（如图所示），易知，
又因为因为，所以
则，所以，
综上可知：.
故答案为：D.
【分析】数形结合，利用图像性质比较a，b的大小，再利用对数函数的性质结合基本不等式比较b，c大小，从而判断的大小即可，
9．【答案】A,B,C
【知识点】命题的否定；两条直线平行的判定；平面向量的投影向量；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：A、命题“”的否定为“”，故A正确；
B、若直线与平行，则，解得，经检验满足题意，故B正确；
C、向量在上的投影向量为，故C正确；
D、5位同学的数学成绩为：，因为，所以这组数据的第60百分位数为第三个数据与第四个数据的平均值，即，故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】根据命题否定的定义即可判断A；由直线平行的充要条件计算，检验即可判断B；根据投影向量的计算公式即可判断C；由百分位数的定义计算即可判断D.
10．【答案】A,B
【知识点】函数恒成立问题；正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：A、由题意可得：，故A正确；
B、令，可得：，因为，所以或或，故B正确；
C、因为，所以直线不是函数图象的一条对称轴，故C错误；
D、因为对任意的恒成立，，所以对任意的恒成立.
当时，，所以，即，所以，故D错误.
故答案为：AB.
【分析】根据三角函数的图象平移变换求出的解析式，即可判断A；解方程求解即可判断B；根据正弦函数的对称性可判断C；对任意的恒成立，只需即可，求出的最大值即可判断D.
11．【答案】A,C,D
【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式；古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：连续投掷一个骰子两次， 每次骰子朝上的点数包含的基本事件共有36种情况：
A、因为事件包含18种情况，所以，故A正确；
B、事件和同时发生，例如：事件“第一次朝上的点数为3，第二次朝上的点数为2”，
所以事件和不是互斥事件，故B错误；
C、事件包含18种情况，事件也包含18种情况，其中第一次点数为奇数且点数和能被2整除，包括9种情况，
所以，故C正确；
D、由，，且，所以，即事件和相互独立，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据古典概型的概率计算公式，即可判断A；根据互斥事件的定义，举例说明，即可判断B；根据事件的关系，结合古典概型的概率计算即可判断C；根据独立事件的判定方法即可判断D.
12．【答案】A,D
【知识点】棱锥的结构特征；旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征
【解析】【解答】解：A、因为球体的直径均小于圆柱底面直径和高，所以直径为的球体能被整体放入底面直径和高均为1的圆柱容器，故A符合；
B，C、如图所示：
画出底面直径和高均为1的圆柱容器以及高（或底面直径）为的圆柱体的轴截面，
点是边长为1的正方形的对角线的交点，点是高（或底面直径）为的圆柱体的底面圆心（或母线的中点），而，容易知道，所以，即，
解得，故C不符合；
又注意到虽然，
但是底面直径为的圆柱体的直径大于题中所给圆柱形的直径，即题中所给圆柱形直径不够“宽”，故B不符合；
D、如图所示，
先来看底面圆底面直径和高均为1（单位：）的圆柱容器的底面圆的内接正三角形的边长，
由正弦定理有，
设为另外一个底面的圆心，则由勾股定理有，
所以底面边长为，侧棱长为的正三棱锥能被整体放入底面直径和高均为1（单位：）的圆柱容器，故D符合.
故答案为：AD.
【分析】由，即可判断A符合；画出图形，求出，由此可以排除C，对于B，注意到底面直径为的圆柱体的直径大于题中所给圆柱形的直径，由此可以排除B；画出图形，求出比较大小即可判断D符合.
13．【答案】-2
【知识点】平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：因为，所以，解得.
故答案为：.
【分析】根据向量垂直的坐标表示直接计算即可.
14．【答案】1
【知识点】二倍角的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：.
故答案为：1.
【分析】利用正弦的二倍角公式、同角三角函数基本关系，将原式转化为关于齐次式，再代入求值即可.
15．【答案】
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；等比数列的性质
【解析】【解答】解：设等比数列公比为，且，
数列的通项公式为，它是以为首项、为公比的等比数列，
所以，又因为，所以，
所以.
故答案为：.
【分析】由等比数列求和公式以及等比数列性质得，再结合已知条件求解即可.
16．【答案】
【知识点】平面内点到直线的距离公式；轨迹方程；双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：易知，设点，因为，
所以，
化简整理可得，所以点在以为圆心，为半径的圆上，
又因为点在双曲线的渐近线上，所以渐近线与圆有公共点，即，解得，即，
所以双曲线离心率的取值范围是.
故答案为：
【分析】由题意可得点在以为圆心，为半径的圆上，再结合点在双曲线的渐近线上，推出渐近线和圆要有公共点，利用圆心到直线的距离小于等于半径，即可求得离心率的取值范围.
17．【答案】（1）解：设数列的公差为d，
因为，所以，解得，，
所以，即数列的通项公式 ；
（2）由（1）可得，又因为，所以
故
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的前n项和
【解析】【分析】（1）根据等差数列的通项公式以及等差的前n项和公式，列方程组，求解即可得数列的通项公式；
（2）由（1）可得，利用裂项求和求数列的前项和 即可.
18．【答案】（1）解：在中，，
由正弦定理可化简得
所以可化简得
又在中，，得
，即
由，得
（2）解：由（1）得，又的角平分线交于点，且可得
即
即①
又在中，得
②
联立①②解得
所以的周长为
【知识点】解三角形；正弦定理；辅助角公式
【解析】【分析】（1）根据条件，利用正弦定理化边为角，得到，再利用辅助角公式，得到，即可求；
（2）根据条件，利用，得到，且有，联立解出，即可求出结果.
19．【答案】（1）证明：如图，连接交于点，连接．
底面四边形为菱形，
为的中点
在中，为的中点，为的中点
又平面
平面
平面
（2）解：如图，因为在直四棱柱中，底面四边形为菱形，
，过作底面的垂线，建系如图设菱形的边长为2，
又
设平面的法向量为，则，即
解得
同理解得平面的法向量为
设二面角的平面角为，由图可得为锐角，则
所以二面角的余弦值为
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）由题意，根据中位线定理证明线线平行，再根据线面平行判定定理证明即可；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间法向量求解二面角即可.
20．【答案】（1）解：由频率分布直方图可得，落在的猕猴桃数量之比为，用比例分配的分层随机抽样方法，从重量落在区间，的猕猴桃中抽取5个，则在中抽2个，并编号为，在中抽3个，并编号为现从这5个猕猴桃中随机抽取2个，得到样本空间
设事件“抽取的2个猕猴桃重量均不小于90克”
则
所以
即这2个猕猴桃重量均不小于90克的概率
（2）解：根据频率分布直方图可得，选择方案一获得收入为
选择方案二获得利润为
因为，所以选择方案二
【知识点】分层抽样方法；频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图先求区间中猕猴桃数量的比，再利用分层抽样求区间抽取的猕猴桃个数，最后利用列举法，结合古典概型的概率公式求解即可；
（2）根据题意，分别求得两个方案的收入情况，从而得解.
21．【答案】（1）解：依题意可得，函数为偶函数，则有
又
所以
即
解得
（2）解：当时，由易知在上为增函数，且
又因为，所以
因为在区间上恰有1个实数解，即在区间上恰有1个实数解，
令
在区间上恰有1个实数解，等价于在区间
上恰有1个实数解，即在区间上恰有1个实数解，
结合图形
易知在单调递减，在单调递增．在区间上的值域为
因为在区间上恰有1个实数解，所以或
解得或
所以或
【知识点】函数单调性的性质；奇函数与偶函数的性质；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）根据偶函数的定义，列等式求解，即可得实数的值；
（2）由函数在单调递增，且，将问题转化为在区间上恰有1个实数解，利用对数式的运算规则化简函数解析式，利用换元，由二次函数的性质求的取值范围即可．
22．【答案】（1）解：依题意可设椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，
又因为椭圆的左、右焦点分别为，且的最大值为3，最小值为1，
所以，
解得，又，解得，
所以椭圆的标准方程为.
（2）解：由（1）得椭圆的标准方程为，易知，
由题意得直线不与轴重合，可设直线的方程为，
，
联立直线与椭圆的方程消得，恒成立，
，
所以① ，
又直线②，
又直线③，
联立②③得，
将①式代入整理得，
解得，
又因为直线不与轴重合，所以直线与的交点轨迹方程为，且.
【知识点】与直线有关的动点轨迹方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由题意可得，根据椭圆求得 ，代入即可得椭圆的标准方程；
（2）由题意得直线不与轴重合，设直线的方程为，直线与椭圆方程联立，消元整理，利用韦达定理求出直线和直线参数方程，再联立整理即可求得直线与交点的轨迹方程．
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