第四章指数函数与对数函数练习卷（含解析）-高一数学上学期人教A版2019

中小学教育资源及组卷应用平台
第四章指数函数与对数函数练习卷-高一数学上学期人教A版2019
一、单选题
1．已知，则大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
2．函数的零点所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
3．函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
4．下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
5．函数是定义在R上的奇函数，满足，当时，有，则（ ）
A．0 B．1 C． D．
6．，若实数，满足，则为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．已知函数在上单调递减，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到了真正的智慧场馆、绿色场馆，并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水、雨水过滤系统，已知过滤过程中废水的污染物数量与时间（小时）的关系为（为最初污染物数量，且）.如果前4个小时消除了的污染物，那么污染物消除至最初的还需要（ ）
A．3.8小时 B．4小时 C．4.4小时 D．5小时
二、多选题
9．已知函数，设，则（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
10．下列各式正确的是（ ）
A．设，则
B．已知，则
C．若
D．，则
11．下列说法错误的是（ ）
A．的零点为，；
B．“，都是偶数”是“是4的倍数”的既不充分也不必要条件；
C．已知正实数，满足，则的最小值为；
D．的最小值为．
三、填空题
12．二次函数在时有零点，则实数的取值范围是 .
13．函数的单调递增区间为 .
14．塑料袋给我们生活带来了方便，但塑料在自然界可停留长达年之久，给环境带来了很大的危害，国家发改委、生态环境部等部门联合印度《关于礼实推进型科技染物理工作的通知》明确指出，年月日起，禁用不可降解的塑料袋、塑料餐具及一次性塑料吸管等，某品牌塑料袋经自然降解后残留量与时间年之间的关系为，其中为初始量，为光解系数.已知该品牌塑料袋年后残留量为初始量的.该品牌塑料袋大约需要经过 ．年，其残留量为初始量的（参考数据：，）
四、解答题
15．计算下列各式
(1)
(2)
16．已知函数是偶函数.
(1)求的值；
(2)设函数，其中.若函数与的图象有且只有一个交点，求的取值范围.
17．如图所示，为宣传某运动会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸上设计大小相等的左右两个矩形宣传栏，宣传栏的面积之和为，为了美观，要求海报上四周空白的宽度均为，两个宣传栏之间的空隙的宽度为，设海报纸的长和宽分别为.
(1)求关于的函数表达式；
(2)为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸是最少？
18．已知函数是定义在上的奇函数.
(1)求的值，并证明：在上单调递增；
(2)求不等式的解集；
(3)若在区间上的最小值为，求的值.
19．某实验室采用药熏消毒法进行消毒，如图，实验室内每立方米空气中的药物含量（毫克）与药熏时间x（小时）的函数关系式为（为常数）；当药熏过程结束，药物即释放完毕，实验室内每立方米空气中的药物含量（毫克）达到最大值.此后，实验室内每立方米空气中的药物含量（毫克）与时间（小时）的关系如图所示，经过5小时，实验室内药物含量为0.

(1)从药熏开始，求每立方米空气中的药物含量（毫克）与时间（小时）之间的函数关系式；
(2)据测定，当空气中每立方米的药物含量不低于1毫克时，才能达到最佳消毒效果，那么一次药熏最佳消毒效果有几小时
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A D D C A C B ABC BD
题号 11
答案 ACD
1．D
【分析】运用指数函数和对数函数的单调性，借助中间值比较即可.
【详解】根据对数函数单调性，知，
根据指数函数单调性，知，
所以.
故选：D
2．A
【分析】根据题意可得的单调性，结合零点存在性定理分析判断.
【详解】由题意可知：在内单调递增，可知在内单调递增，
且，
可知函数有且仅有一个零点，零点所在的区间是.
故选：A.
3．D
【分析】根据偶次根式被开方数非负，分母不为0，对数真数正数构造不等式组求解即可.
【详解】由题意得：得定义域为.
故选：D.
4．D
【分析】采用排除法.先判断函数的奇偶性，排除AB，再分析函数的单调性，排除C，可得问题答案.
【详解】是奇函数，既不是奇函数也不是偶函数，排除AB；
C，D中函数都是偶函数，时，是减函数，排除C．
只有D，满足题意．
故选：D．
5．C
【分析】先结合已知及奇函数性质求得函数的周期为6，然后利用周期性代入对数函数求解即可.
【详解】由题意，函数是R上的奇函数，所以，所以，
又，所以，
所以，因此函数为周期函数，周期，
所以.
故选：C
6．A
【分析】先利用定义判断出函数是奇函数，且为增函数，由奇函数的定义可求出的值.
【详解】对任意，，函数的定义域为，
，则函数为奇函数，
当时，由于函数为增函数，
所以，函数在上为增函数，
由于该函数为奇函数，则函数在上也为增函数，
所以，函数在上为增函数，由，得，
可得出，故A正确.
故选：A.
7．C
【分析】根据对数函数定义可知对任意的恒成立，解得且；再根据复合函数单调性结合对数函数以及二次函数单调性分析求解.
【详解】因为在上单调递减，
则对任意的恒成立，可得且；
且开口向下，对称轴，
当时，则对称轴，可知在内单调递减，
且在定义域内单调递减，所以在上单调递增，不合题意；
当时，因为在定义域内单调递增，可知在内单调递减，
则，解得；
综上所述：的取值范围是.
故选：C.
8．B
【分析】由题意可得，再令，解出可得，即可得解.
【详解】由题意可知，即有，
令，则有，解得，
，故还需要4小时才能消除至最初的.
故选：B.
9．ABC
【分析】作出函数的图象，当时由于可得可判断A，结合基本不等式可判断B；数形结合，结合函数的单调性可判断CD.
【详解】作出函数的图象，如图示：
对于A，当时，由于，可知，
则，则，即，A正确；
对于B，由于，则，
即，则，B正确；
对于D，当时，，
若，由于，在单调递增，则；
若，则，所以当时，必有，故D错误；
对于C，当时，，
如下图：
存在，使成立，故C正确.
故选：ABC
【点睛】关键点点睛：解题的关键点是作出函数的图象数形结合求解.
10．BD
【分析】利用根式与分数指数幂的运算计算可判断A；由分数指数的运算性质计算可判断B；利用完全平方公式计算可判断C；利用对数的换底公式与对数运算公式计算可判断D.
【详解】对于A，因为，所以，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，由，两边平方得，两边再平方可得，故C错误；
对于D，，故D正确.
故选：BD.
11．ACD
【分析】A 选项通过零点的概念判断，不正确；B充分性和必要性的定义判断；C选项运用基本不等式“1”的代换求最小值，不正确； D选项没有注意不满足取到最小值的条件，不正确.
【详解】A选项，函数的零点指使函数值为0的自变量的取值，而不是点，A不正确；
B选项，若，则不是4的倍数，若，是4的倍数，则不都是偶数，
即“，都是偶数”是“是4的倍数”的既不充分也不必要条件，B正确；
C选项，因为所以，可得即得，
，
当且仅当，即时，等号成立，
则的最小值为，C不正确；
D选项，，
而无解，即等号不成立，
因此，的最小值不为，故D错误
故选：ACD.
12．
【分析】根据函数零点的概念可得零点，再根据零点范围可得不等式，解不等式即可.
【详解】由函数为二次函数，则，即，
令，解得，，
又函数在时有零点，
所以，
解得，即，
故答案为：.
13．
【分析】根据对数型函数的定义域，结合对数型函数的单调性的性质进行求解即可.
【详解】由，或，
二次函数的对称轴为，
因为函数是正实数集上的增函数，
所以当函数单调递增时，则有，
所以函数的单调递增区间为，
故答案为：
14．
【分析】根据可得，代入，根据指对互化和对数运算法则直接求解即可.
【详解】由题意知：当时，，；
当时，，
，
.
故答案为：.
15．(1)89
(2)
【分析】（1）利用指数运算性质，即可解出；
（2）利用对数运算性质和分数指数幂及分母有理化的运算，即可解出．
【详解】（1）.
（2）.
16．(1)
(2)
【分析】（1）利用偶函数的定义求解即可；
（2）设转化为方程在上只有一个解，分类讨论即可.
【详解】（1）函数是偶函数，
故，
即，，故.
（2），故，
若函数与的图象有且只有一个交点，
即在上只有一个解，故，
即，即，
设
故只有一个解，即，
当时，，则，不符合，故舍去；
当时，函数的对称轴为，
故在单调递减，且，故方程在无解；
当时，函数的对称轴为，且，，
故方程 在上有唯一解，符合题意，
综上所述，的取值范围是.
17．(1)
(2)海报长42，宽24时，用纸量最少，最少用纸量为.
【分析】（1）由实际问题得出长和宽，建立函数的表达式即可；
（2）由（1）知，然后由基本不等式求解最小值，及取得等号的条件即可.
【详解】（1）由题知，两个矩形宣传栏的长为，宽为，
，
整理得.
（2）由（1）知，即，
由基本不等式可得，
令，则，解得（舍去）或.
，当且仅当即时等号成立，
海报长42，宽24时，用纸量最少，最少用纸量为.
18．(1)
(2)或；
(3)或．
【分析】（1）由奇函数性质得，解出；由单调性的定义即可求解，
（2）由函数单调性、奇偶性可把不等式转化为具体不等式，解出即可；
（3），令，可化为关于的二次函数，分情况讨论其最小值，令最小值为，解出即可；
【详解】（1）是定义域为上的奇函数，
，，，，
此时，
经检验，符合题意；
函数的定义域为，在上任取，，且，
函数在上单调递增，
（2）由（1）可知，且在上单调递增的奇函数，
由可得，
，即，
或，
不等式的解集为或；
（3），
．
令，，，
，
当时，当时，，则（舍去）；
当时，当时，，解得，符合要求，
综上可知或．
19．(1)
(2)3小时
【分析】（1）根据图象过点求出，当，设，根据点在函数图象上求出可得答案；
（2）令，解不等式可得答案.
【详解】（1）依题意，当时，
可设，图象过点，所以，解得，
当，设，
则有，
所以；
（2）令，解得，令，解得，，
所以一次药熏最佳消毒效果有3小时.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)