第五章三角函数同步练习卷（含解析）-高一数学上学期人教A版2019

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第五章三角函数同步练习卷-高一数学上学期人教A版2019
一、单选题
1．已知角的终边上有一点的坐标是，则的值为（ ）
A．3 B．4 C． D．
2．将化为的形式是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知函数是偶函数，则的值为（ ）
A． B．1 C．1或 D．
4．已知函数的一个零点是，且在上单调，则（ ）
A． B． C． D．
5．若，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
6．下列函数中在上单调递增，周期为且为奇函数的是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知角的终边过点，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．在平面直角坐标系中，角α的始边为x的正半轴，终边经过点（1，-2），则下列式子正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．存在角θ∈（其终边与角α终边重合
10．已知函数，下列选项中正确的是（ ）
A．的最小值为
B．在上单调递增
C．的周期为
D．在上值域为
11．已知角的始边与轴的非负半轴重合，终边在直线上，则的值可能是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
12．计算 .
13．当，则函数的最小值为 .
14．定义，设函数，若函数在上单调递减，则实数的取值范围是 .
四、解答题
15．已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边经过点.
(1)求；
(2)求的值.
16．已知函数
(1)求函数的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；
(2)若，求的值．
17．已知函数，，其中为自然对数的底数.
(1)若，求；
(2)设函数，证明：在上有且仅有一个零点，且.
18．已知函数，其中.
(1)若函数在区间内有且仅有3个零点，求的取值范围；
(2)当时，若对任意实数，存在实数，使成立，求实数的取值范围.
19．已知函数在区间上单调递增，且直线和为函数的图象的两条对称轴．
(1)求的一个解析式；
(2)将的的象先向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，若对任意的，不等式恒成立，求实数p的取值范围．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A A B D A A D BCD AD
题号 11
答案 BD
1．D
【分析】根据三角函数的定义直接求解即可.
【详解】角的终边上有一点的坐标是，
，，，
.
故选：D．
2．A
【分析】由终边相同的角的概念求解即可.
【详解】.
故选：A.
3．A
【分析】根据余弦函数的奇偶性求出，再根据诱导公式即可得解.
【详解】因为函数是偶函数，
所以，解得，
则.
故选：A.
4．B
【分析】利用三角函数的零点和单调区间求解即可.
【详解】，
函数的一个零点是，故，,
所以，
在上单调，则，
故，解得，
且，故，
结合
故
故选：B
5．D
【分析】由知，由两角和的正弦公式展开并整理得到，再利用得到，由基本不等式得.
【详解】若，则，
所以，
所以，即，
，
若使得取得最大值，不妨设，
则，
当且仅当，即时取等号.
故选：D.
【点睛】方法点睛：三角函数中的凑角技巧
；
；
.
6．A
【分析】对于AB：整理可得，根据正弦函数性质分析判断；对于C：根据正切函数性质分析判断；对于D：整理可得，根据余弦函数性质分析判断.
【详解】对于选项A：因为，易知其为奇函数，其最小正周期，
若，则，且在内单调递减，
则在上单调递减，
所以在上单调递增，故A正确；
对于选项B：由选项A可知：在上单调递减，故B错误；
对于选项C：若，则，且在内单调递减，
所以在上单调递减，故C错误；
对于选项D：因为，
若，则，且在内单调递减，
所以在上单调递减，故D错误；
故选：A.
7．A
【分析】根据三角函数的定义及诱导公式求解.
【详解】因为角的终边过点，
所以，
所以.
故选：A
8．D
【分析】根据函数的图象及“五点法”作图求解即可.
【详解】根据图象可得，，解得，
所以，即，
将点代入的解析式，得，
则，解得，，又，
，所以.
故选：D.
9．BCD
【分析】根据终边上的点求出三角函数值进行计算，诱导公式，余弦函数在第二象限单调递减即可解决.
【详解】解：因为角终边经过点，
则,
对于 ：，故错误；
对于：，故正确；
对于：，故正确；
对于：由图像可得正确.
故选：BCD.
10．AD
【分析】运用正弦型函数的性质公式计算判断即可.
【详解】最小值为，A正确；
当时，，故在上不单调，故B错误；
周期为，C错误；
时，，当,即时，
取得最小值，最小值为，
当，即时，取得最大值，最大值为，
故值域为，D正确.
故选：AD.
11．BD
【分析】由三角函数定义得，再由同角三角函数的基本关系建立方程组求解正、余弦，代入式子化简可得.
【详解】由角的终边在直线，则，
联立解得或；
终边落在第一象限时，，此时，
则；
终边落在第三象限时，，此时，
则；
综上所述，的值为或.
故选：BD.
12．2
【分析】根据二倍角公式以及和差化积公式化简求解分母，再利用二倍角公式及两角和与差的余弦公式化简分子，求得结果.
【详解】分母
，
分子
，
所以原式.
故答案为：2.
13．2
【分析】通过令，换元，转换成二次函数求最值即可.
【详解】由
可得
令
因为，所以，
所以，
所以
当时，取得最小值2
故答案为：2
14．
【分析】先考虑的单调减区间，再根据在上单调递减可得满足的不等式组，从而可求其取值范围.
【详解】令，则，故的周期为，
又当时，，
的减区间为，，其中，
当，则，
故存在，使得
或，
故或（无解，舍），
而，故，故，
故实数的取值范围是.
故答案为：
15．(1)，，；
(2).
【分析】（1）根据三角函数的定义，即可求出结果；
（2）利用诱导公式对原式进行化简，代入，的值，即可求出结果.
【详解】（1）因为角的终边经过点，由三角函数的定义知
，
，
（2）由诱导公式，得
.
16．(1)最小正周期为；最大值为，最小值为
(2)
【分析】（1）利用三角恒等变换求出解析式，再求出最小正周期，运用单调性求出最值即可，（2）代入，运用同角三角函数关系，求出，再用两角差的余弦计算即可
【详解】（1）由题知：
所以函数的最小正周期为．
因为在上，，为增函数，同理在上，为减函数 ,又，
所以函数在区间上的最大值为，最小值为.
（2）由（1）可知，又因为，
所以，由，得，
从而．
所以
17．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）化简已知条件求得，利用诱导公式求的值即可；
（2）先求得的表达式，然后对进行分类讨论，结合零点存在性定理证得在上有且仅有一个零点，求得的表达式，然后利用函数的单调性证得不等式成立.
【详解】（1）由，则，
（2）由题意，得：.
①当时，，
在内单调递增，又，
由于，而，
，又，
由零点存在定理得在内有唯一零点，使得.
当时，，则，
，则在上无零点；
当时，，
，则在上无零点.
综上，在上有且仅有一个零点.
②由①得，且，
则，.
由函数的单调性得函数在上单调递增，
则，故.
【点睛】关键点点睛：已知三角函数值求三角函数值的问题，可以考虑利用诱导公式，三角恒等变换的公式来进行求解，判断函数零点的个数，除了零点存在性定理外，还需要结合函数的单调性来进行判断.
18．(1)
(2)
【分析】（1）借助三角恒等变换可将原函数化为正弦型函数，借助正弦型函数的性质可得，解出即可得；
（2）由题意结合正弦函数与指数函数的性质可得，参变分离后计算即可得解.
【详解】（1）由题意有：，
在内有且仅有3个零点，
方程在内恰有三个不相等的实数根，
即与直线在内恰有三个交点，
令，则，
则与直线在内恰有三个交点，
，解得，
故的取值范围为；
（2）当时，，
当时，，
，，
由题意，存在，使得，即成立，
，，
故实数的取值范围为.
19．(1)
(2).
【分析】（1）依题意可得两条对称轴之间的距离恰好为半个周期，由此求出，再根据“五点法”求出即可得到解析式；
（2）先根据变换规律确定，再转化成,即可.
【详解】（1）根据题意可知，，
取,则，
又根据"五点法"可得，
，
.
（2）将的图象向左平移个单位长度得到的图象,
再将各点的横坐标伸长为原来的2倍得到的图象，故.
对任意的，不等式恒成立.
即对任意的，
即恒成立.
当时，，
当时，不等式恒成立.
当时，，
令，
设，，则
.
令，其值域为，
，即.
综上，的取值范围是.
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