第二章对称图形-圆典例精讲与强化训练（含解析）

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第二章对称图形-圆典例精讲与强化训练-数学九年级上册苏科版
一、单选题
1．下列命题为真命题的是（　　）
A．三角形的外心是三条角平分线的交点
B．圆锥的三视图是两个等腰三角形和一个圆
C．“长度分别是的三根木条首尾相接，组成一个三角形”是必然事件
D．已知点在平面直角坐标系的第四象限，则的取值范围是：
2．已知圆锥的高为，母线长为，则其侧面展开图的面积为（ ）
A．60π B．70π C．80π D．90π
3．如图，为的直径，、为上的点，．若，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
4．如图，为的直径，C、D为上的点，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，是锐角三角形的外接圆，．垂足分别为D，E，F，连接．若，的周长为20，则的长为（　　）
A．8 B．4 C． D．3
6．如图，点为的内心，，，，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，四边形内接于，是的直径，若，则的度数是（ ）．
A． B． C． D．
8．如图，在中，，，．绕直角顶点A顺时针旋转得到 ，当点B的对应点D正好在线段上时，点C经过的路径长为（　　）

A． B． C． D．π
9．如图，点P是正六边形内部一个动点，，则点P到这个正六边形六条边的距离之和为（　　）．
A．18 B． C．9 D．
10．如图，在矩形中，，是边上一点，且．已知经过点，与边所在直线相切于点为锐角），与边所在直线交于另一点，且，当边或所在的直线与相切时，的长是（　　）
A．8 B．4 C．12 D．12或4
二、填空题
11．在正六边形中，若最长对角线长为4，最短对角线长为
12．弧长为，所在圆的半径是6，则弦所对的圆周角为 ．
13．传统服饰日益受到关注，如图1为明清时期女子主要裙式之一的马面裙，如图2，马面裙可以近似的看作扇环，其中的长为，裙长为，圆心角，则的长为 m．
14．如图，是的直径，是的切线，为切点，与交于点，连接．若，则的度数为 ．
15．如果从内一点P到上所有点的距离中，最大距离是6，最小距离是2，那么的半径长是 ．
16．如图，在中，若，则扇形（阴影部分）的面积是 ．（结果保留）
三、解答题
17．已知：如图中，直径弦于E，的半径为．，求的长．

18．如图，是的直径，点C在半径上，在上取点D，使，过点A作的切线交的延长线于点E．
(1)求证：；
(2)若，，求的半径．
19．已知：P为外一点，求作：经过点P的的切线．
作法：
①如图，连接，作线段的垂直平分线交于点A；
②以点A为圆心，的长为半径作圆，交于B，C两点；
③作直线，；
所以直线，就是所求作的切线．
根据尺规作图过程，
(1)使用直尺和圆规补全图形（保留作图痕迹）；
(2)如果切线，所夹的锐角为，点D为优弧上的一动点（点D不与B、C重合），求的度数．
20．如图，在中，，，点O为边中点，以点O为圆心的圆与相切于点D．
(1)求证：是的切线；
(2)若的半径为2，求图中阴影部分的面积．
21．如图，形如量角器的半圆的直径，形如三角板的中，，，半圆以的速度从左向右运动，在运动过程中，点、始终在直线上．设运动时间为，当时，半圆在的左侧，．
(1)当　　时，与所在直线第一次相切；点到直线的距离为 ；
(2)当为何值时，直线与半圆所在的圆相切；
(3)当的一边所在直线与圆相切时，若与有重叠部分，求重叠部分的面积．
22．如图，在中，，为边上的点，以为直径作，交于点．连接并延长交于点，连接，．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求阴影部分的面积．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A A A B B C C B D
1．C
【分析】本题考查了命题，选项根据三角形的外心的定义判断即可；选项根据圆锥的三视图判断即可；选项根据三角形的三边关系判断即可；选项根据第四象限的点的特点判断即可，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：．三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点，原命题是假命题，故本选项不符合题意；
．正立的圆锥的三视图是两个等腰三角形和一个圆（带圆心），原命题是假命题，故本选项不符合题意；
．“长度分别是的三根木条首尾相接，组成一个三角形”是必然事件，是真命题，故本选项符合题意；
．已知点在平面直角坐标系的第四象限，则的取值范围是：，原命题是假命题，故本选项不符合题意；
故选：．
2．A
【分析】先利用勾股定理计算出圆锥的底面圆的半径，然后根据公式计算圆锥的侧面展开图的面积即可；
本题考查了圆锥的计算，熟练掌握圆锥的侧面展开图面积公式是解题的关键．
【详解】解：圆锥的高为，母线长为
圆锥的底面圆的半径为，
圆锥的侧面展开图的面积

故选：A．
3．A
【分析】本题主要考查圆周角定理及圆心角、弧、弦的关系，利用其求得的度数为解题的关键．根据圆周角定理可得，及圆心角、弧、弦的关系易得，从而求得的度数．
【详解】解：如图，连接，，
，
，
，
，
，
，
故选：A
4．A
【分析】本题主要考查圆周角定理以及圆心角、弧、弦的关系等知识点，利用其求得的度数是解题的关键．
根据圆周角定理及圆心角、弧、弦的关系得，从而求得的度数，再利用圆周角定理即可求解即可．
【详解】解：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故选A．
5．B
【分析】本题主要考查了三角形中位线定理、垂径定理等知识点，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．
由垂径定理可得，根据三角形的中位线定理得到，进而完成解答．
【详解】解：∵，
∴，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴．
故选：B．
6．B
【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，角平分线的定义，解决本题的关键是掌握三角形的内心定义．
过点作的延长线于点，根据点为的内心，，可得，所以，利用含度角的直角三角形可得的长，进而可得的面积．
【详解】解：如图，过点作的延长线于点，
点为的内心，，
，
，
，
，，
，
的面积．
故选：B．
7．C
【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理等知识点，熟练运用圆内接四边形的性质、圆周角定理是解题的关键．
如图：连接，根据圆周角定理可得，结合直角三角形的性质求出，根据三角形内角和定理求出，再根据“圆内接四边形的对角互补”求解即可．
【详解】解：如图：连接，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形内接于，
∴，
∴．
故选：C．
8．C
【分析】本题考查了旋转的性质、等边三角形的性质和判定、含角的直角三角形的性质、弧长公式等知识点，能求出线段的长和的度数是解此题的关键．
解直角三角形求出，求出度数，从而求出度数，根据弧长公式求出即可．
【详解】解：∵在中，，，
∴，，
∴，
∵绕直角顶点A顺时针旋转得到 ，当点B的对应点D正好在线段上，
∴，，
∴是等边三角形，
∴
∴，
∴，
∴点C经过的路径长为：，
故选：C．
9．B
【分析】此题考查了正多边形的性质，根据正六边形的性质求出正六边形的“边心距”，再将问题转化为“边心距”的6倍即可．．
【详解】解：设正六边形的中心为O，连接，过点O作，垂足为T，
∵正六边形，
∴，
∵，
∴是正三角形，
∴，
∴，
过点P分别作正六边形的各条边的垂线，垂足分别为M、N、S、Q、G、H，
则点P到这个正六边形六条边的距离之和，
故选：B．
10．D
【分析】本题考查了切线的性质、矩形的性质、勾股定理和垂径定理等知识；作出辅助线，由勾股定理求出半径是解答本题的关键．连接，过点作，垂足为，可得，由，得：，求出或的长度，即可求得的长度．
【详解】解：当边所在的直线与相切时，如图1所示：连接，过点作，垂足为，
则，，
又，
，
设，则，
在中，根据勾股定理得：，
解得：，
，
设的半径为，由，
得：，
解得：，
，
，
又，
；
同理，当边所在的直线与相切时，连接，如图2所示：
，
．
又，
；
故选：D
11．
【分析】本题考查了正多边形和圆，根据正六边形的性质可得边长为，为较短对角线，，，所以可得，，再根据勾股定理即可求出的长，进而求出较短对角线的长．
【详解】解：如图，
六边形是正六边形，连接，作于点，
根据题意可知：为较短对角线，
∵六边形是正六边形，最长对角线长为4，
∴外接圆的直径为4，半径为2，
∴正六边形的边长为2，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
根据勾股定理，得，
∴．
故答案为：．
12．或
【分析】本题考查弧长公式、圆周角定理、圆内接四边形性质等知识，根据弧长公式，列方程求出圆心角，再由弦所对的圆周角有两种情况，分类求解即可得到答案，熟记弧长公式、圆周角定理、圆内接四边形性质是解决问题的关键．
【详解】解：弧长为，所在圆的半径是6，
，解得，这个是所对的圆心角，
弦所对的圆周角有两种情况，
由圆周角定理可得所对的圆周角为；再由圆内接四边形性质可得弦所对的另一个圆周角为，
综上所述：弦所对的圆周角为或，
故答案为：或．
13．
【分析】本题考查弧长的计算，关键是掌握弧长公式．由弧长公式：（弧长为，圆心角度数为，圆的半径为，即可计算．
【详解】解：圆心角，
的长，
米，
（米，
的长（米，
故答案为：
14．/度
【分析】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，三角形内角和定理，先由切线的性质得到，则由三角形内角和定理得到，则由圆周角定理可得．
【详解】解：∵是的切线，
∴，
∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
故答案为：．
15．4
【分析】本题考查的是点与圆的位置关系，根据点P在圆内，则最大距离与最小距离的和等于圆的直径，进而得出答案．
【详解】解：根据点P在内时，圆的直径是，所以半径是4．
故答案为：4．
16．
【分析】本题考查了扇形面积的计算和圆周角定理．根据圆周角定理由，得到，，然后根据扇形面积公式计算扇形的面积．
【详解】解：如图，
，
，
，
扇形的面积．
故答案为：．
17．
【分析】本题考查的是垂径定理和勾股定理，由已知条件求出，根据勾股定理求出， 再利用垂径定理即可求出的值．
【详解】解：∵的半径为．
∴，
∵，
∴，，
∴，
连接，
∴
∵直径弦，
∴．

18．(1)见解析
(2)5
【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，等腰三角形的性质，切线的性质，一元二次方程的实际应用，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识．
（1）根据圆周角定理可得，再根据切线的性质可得，根据等腰三角形的性质和对顶角相等可知，从而可知，证得；
（2）设，则，，，，根据勾股定理列出方程求解即可得出的值，从而求得的半径．
【详解】（1）证明：是的直径，
，即．
为的切线，
，
．
，
，
又，
，
．
（2）解：设，则．
，
，
，．
，
，
，
解得（舍去）或，
，
，即的半径为5．
19．(1)图见详解
(2)
【分析】本题考查作图一复杂作图，过圆外一点作切线，圆周角定理等知识.
（1）根据要求画出图形即可解决问题；
（2）根据切线的性质以及圆周角定理解决问题即可．
【详解】（1）解：如图所示直线，就是所求作的切线，
（2）解：∵，是的切线
∴，
∴，
∴
20．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，，过点O作于E，根据，点O为边中点，可得平分，根据角平分线的性质，得到，即证明为的半径，点在圆上，结合，根据切线的判定定理即可得证；
（2）先证明四边形是矩形，又，即证明四边形是正方形，由即可解答．
【详解】（1）证明：如图，连接，，过点O作于E．
，点O为边中点，
平分，
与相切于点D，
为的半径，且，
平分，，，
，
为的半径，点在圆上，
又，
是的切线．
（2）解：∵，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，
∴图中阴影部分的面积为．
【点睛】本题考查了切线的判定与性质，角平分线的性质，正方形的判定，不规则图形的面积，熟练掌握相关判定和性质是解题的关键．
21．(1)1，
(2)当t为4秒或16秒时，直线AB与半圆O所在的圆相切
(3)或
【分析】（1）求出路程的长，即可以求时间，作到的距离，利用直角三角形中角所对的直角边是斜边的一半可以得：；
（2）根据到的距离为，圆的半径为，所以与重合，即当点运动到点时，半圆与的边相切，秒；当点运动到点的右侧时，且，过作，交直线于，在中，求出的长度，进行求解即可；
（3）有两种情况：①当半圆与边相切于时，如图2，重叠部分的面积是半圆面积的一半；②当半圆与相切于时，如图4，连接，重叠部分的面积是扇形的面积的面积．
【详解】（1）解：，
，
，
，
，
当时，与所在直线第一次相切；
如图1，过作于，
中，
，，
，
故答案为：1，；
（2）如图2，过作于，
同理（1）得：，
当直线与半圆所在的圆相切时，
又圆心到的距离为6，半圆的半径为6，
且圆心又在直线上，
与重合，
即当点运动到点时，半圆与的边相切，
此时，点运动了，所求运动时间；
如图3，当点运动到点的右侧时，且，过作，交直线于，
在中，，则，
即与半圆所在的圆相切，此时点运动了，
所求运动时间，
综上所述，当为4秒或16秒时，直线与半圆所在的圆相切；
（3）有两种情况：
①当半圆与边相切于时，如图2，
重叠部分的面积；
②当半圆与相切于时，如图4，连接，
，
与重合，与重合，
，
，
，
过作于，
，
，
由勾股定理得：，
，
此时重叠部分的面积；
综上所述，重叠部分的面积为或．
【点睛】本题考查了切线的判定与性质，勾股定理，扇形面积的求解，含30度角的直角三角形的特征，分情况求解，准确作出辅助线是解答本题的关键．
22．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了切线的判定与性质，勾股定理，扇形面积的计算，解决本题的关键是掌握切线的判定．
（1）根据等腰三角形的性质和直角三角形两个锐角互余即可证明是的切线；
（2）根据，，利用勾股定理求出半径，进而可以求阴影部分的面积．
【详解】（1）证明：如图，连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
（2）解：过点E作，
，，
，
在中，根据勾股定理得：
，
，
，
，
的的中点，
，
是等边三角形，
，
，
阴影部分的面积扇形的面积等边三角形的面积．
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