第二十一章一元二次方程典型例题与易错题精练（含解析）

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第二十一章一元二次方程典型例题与易错题精练-数学九年级上册人教版
一、单选题
1．下列方程一定是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．若方程的一个根大于1，另一根小于1，则的值（ ）
A．不大于1 B．大于1 C．小于1 D．不小于1
3．若一元二次方程没有实数根，则m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
4．已知、是方程的两个实数根，则的值是（ ）
A．2017 B．2018 C．2022 D．2024
5．如图，菱形中，为对角线，以点C为圆心，长为半径画弧，交于点E，连接，若，则长为（ ）
A． B． C． D．
6．一元二次方程的一次项系数是（ ）
A．2 B． C．5 D．4
7．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是157，设每个支干长出的小分支数目为x，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法．以方程为例加以说明．数学家赵爽在其所著的《勾股圆方注》中记载的方法是：如图，将四个长为，宽为的长方形纸片拼成一个大正方形，则大正方形的边长是，面积是四个矩形的面积与中间小正方形的面积之和，即，据此易得．小明用此方法解关于的方程，其中构造出同样的图形，已知小正方形的面积为，则的值为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
9．将一元二次方程配方为的形式为 ．
10．若m是一元二次方程的一个根，则代数式的值为 ．
11．某学习小组同学在元旦互相赠贺年卡一张，全组共赠贺年卡张，设这个小组共有同学个．根据题中的条件，列出关于的方程为： ．
12．已知方程的两个根分别为，，则的值为 ．
13．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 ．
14．如图，某市公园计划在一块长为，宽为的长方形绿地中修建三条等宽的小道，设每条小道的宽度为，若剩余绿地的面积为，则可列方程： ．
15．如图，直线与轴、轴分别交于、两点，、（）的长分别是一元二次方程的两个实数根，为直线上的动点，连接，若点的坐标为，则的值为 ，的最小值为 ．
16．根据物理学规律，如果把一物体从地面以的速度竖直上抛，那么经过x秒物体离地面的高度（单位：）约为．根据上述规律，则物体经过 秒落回地面．
三、解答题
17．解方程：
(1)（配方法解）．
(2)（公式法解）．
(3)．
(4)．
18．已知关于的方程
(1)求证：无论取何值，原方程总有两个不相等的实数根．
(2)若方程的一个根是1，求的值及方程的另一个根 ．
19．用长为24m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10m），围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，设为．
(1)如果要围成面积为的花圃，的长度是多少？
(2)能围成面积为的花圃吗？请说明理由．
20．某景区宾馆有50间房供游客居住，原定价每间房每天250元．国庆节来临之际，该景区酒店计划调整价格以吸引游客．
(1)若经过两次涨价后，每间房的费用增至360元，求两次增长的平均增长率．
(2)据经验，当每间房每天定价为200元时，宾馆会住满；定价每增加10元时，就会空闲一间房（物价部门规定，此类宾馆的入住费用不得超过原定价的1.5倍）．如果有游客居住，宾馆需对居住的每间房每天支出20元的成本费用，除此之外无其他成本费用．当房价定为多少元时，宾馆当天的利润为10120元？
21．阅读材料．材料：若一元二次方程的两个根为，，则，．
(1)材料理解：一元二次方程的两个根为，，则________，________．
(2)类比探究：已知实数，满足，，且，求的值．
(3)思维拓展：已知实数，分别满足，，且，求的值．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A B D A B B A C
1．A
【分析】本题考查了一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．根据一元二次方程的定义即可解答．
【详解】解：方程含有两个未知数，不是一元二次方程，故选项B不符合题意；
方程和方程都不是整式方程，都不是一元二次方程，故选项C、D不符合题意；
符合题意一元二次方程的定义，是一元二次方程，故选项A符合题意；
故选：A．
2．B
【分析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，由题意可设的两个根分别为，结合题意设，，，，可得，再进一步解得可得答案．
【详解】解：设的两个根分别为，
结合题意设，，，，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
3．D
【分析】本题主要考查根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根与判别式间的关系是解题的关键．
由方程无实数根即，从而得出关于m的不等式，解之可得．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程无实数根，
，
解得：．
故选：D．
4．A
【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，一元二次方程根与系数的关系，掌握以上知识是解题的关键．根据一元二次方程的解得出，根据一元二次方程根与系数的关系得出，代入代数式即可求解．
【详解】解：∵、是方程的两个实数根，
，
．
∵、是方程的两个实数根，
，
．
故选：．
5．B
【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，解一元二次方程等知识．连接交于点O，由菱形的性质可得出，，，设，根据题意则，，利用勾股定理可得出，代入求值即可得出答案．
【详解】解：连接交于点O，
∵四边形是菱形，
∴，，，
设，
根据题意则，，
在中，，
在中，，
∴，
即
解得∶ (负值舍去)，
∴，即，
故选∶B．
6．B
【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：是常数且特别要注意的条件，这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项.其中分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．方程整理为一般形式，找出一次项系数即可．
【详解】解：方程整理为，
所以，一次项系数为，
故选：B
7．A
【分析】本题主要考查一元二次方程的应用．根据题意主干，支干和小分支的总数是157，列出方程即可．
【详解】解：每个支干长出x个小分支，根据题意得：
，
故选：A．
8．C
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，仿照题干，正确理解一元二次方程的几何解法是解题关键．参照已知方法，将四个长为，宽为的长方形纸片拼成一个大正方形，求出大正方形的边长为10，得到，再根据小正方形的边长为，小正方形的边长的面积是4，求出，即可得到的值．
【详解】解：由题意可知，将四个长为，宽为的长方形纸片拼成一个大正方形，则大正方形的边长是，面积是四个矩形的面积与中间小正方形的面积之和，
∵，小正方形的面积为，
∴大正方形的面积为，
∴大正方形的边长为，
∴，
∴，
∵小正方形的边长为，即，
∵，
即，
故，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
9．
【分析】本题考查的是利用配方法解方程，掌握配方法的步骤是解本题的关键，先把方程化为，再进一步解答即可．
【详解】解：
故答案为：．
10．
【分析】本题考查一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解．将代入方程即可求解．
【详解】解：将代入方程得：，
∴，
∴，
故答案为：
11．
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设这个小组共有同学个，根据题意得即可，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【详解】解：设这个小组共有同学个，
根据题意得：，
故答案为：．
12．7
【分析】本题主要考查了根与系数的关系，对于，则有，掌握根与系数的关系是解答本题的关键．
根据根与系数的关系得，，然后再整体代入即可解答．
【详解】解：根据根与系数的关系得，
所以．
故答案为：7．
13．/
【分析】本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．由方程有两个不等的实数根结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出结论．
【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
．
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，每条小道的宽度为，根据剩余绿地的面积为，列出方程求解即可得．
【详解】解：每条小道的宽度为，
根据题意得，．
故答案为：．
15．
【分析】本题考查了一元二次方程的解，因式分解法解一元二次方程，坐标与图形，垂线段最短；根据题意将代入方程，求得的值，进而求得的坐标，勾股定理求得的长，根据垂线段最短，等面积法，即可求解．
【详解】解：∵、（）的长分别是一元二次方程的两个实数根，点的坐标为，
∴是一元二次方程的解，
∴，
解得：，
∴原方程为，
即，
解得：，
∴，
∴，
在中，，
当时，最小，此时，
故答案为：．
16．
【分析】本题主要考查了一元二次方程的时间应用，根据落回地面时，物体的高度为0列出方程求解即k．
【详解】解：当时，解得（舍去）或，
∴物体经过秒落回底面，
故答案为：．
17．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法，关键是熟练掌握因式分解法、公式法、配方法解一元二次方程的步骤．
（1）利用配方法解方程即可；
（2）利用公式法解方程即可；
（3）利用因式分解法解方程即可；
（4）利用因式分解法解方程即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
，
方程有两个不相等的实数根，
，
；
（3）解：
或
；
（4）解：
或
．
18．(1)见解析
(2)，方程的另一个根为
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）根据根的判别式的符号来判定该方程的根的情况；
（2）设方程的另外一个根为，利用根与系数的关系列出关于和的二元一次方程组，解之即可得到答案．
【详解】（1）证明：
无论取何值，原方程总有两个不相等的实数根.
（2）解：设方程的另外一个根为，则
解得：，
故的值为，方程的另一个根为．
19．(1)5
(2)不能，见解析
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，函数解析式的综合运用，根据已知条件列出函数解析式是解题的关键，要注意题中自变量的取值范围．
（1）将面积用函数解析式表达出来，进而代数求值；
（2）根据判别式来判断根的情况，得到答案．
【详解】（1）解：由题可知，花圃的宽为，则为米，则，
当时，，
解得，
，
，故舍去，
．
故若要围成面积为的花圃，则的长是米；
（2）解：不能．
假设能围成面积为的花圃，，
，
，
故方程无实数根，所以不能围成面积为的花圃．
20．(1)
(2)240
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意，找到等量关系是解题的关键．
（1）设两次增长的平均增长率为，由题意得，，解方程并检验；
（2）设每个房间房价增加元，由题意得，，解方程并检验．
【详解】（1）解：设两次增长的平均增长率为，
由题意得，，
解得：或（舍），
∴增长率为，
答：两次增长的平均增长率为；
（2）解：设每个房间房价增加元，
由题意得，，
解得：或，
当时，，
故不符合题意，舍，
∴每个房间房价增加40元，
∴房价定为（元），
答：当房价定为240元时，宾馆当天的利润为10120元．
21．(1)；
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程解的定义，分式的求值：
（1）根据根与系数的关系求解即可；
（2）由题意得出，可看作方程的两个根，据此知，，再根据进行代值计算即可；
（3）先求出，进而得到可以看做是关于x的一元二次方程的两个实数根，则由根与系数的关系和方程解的定义得到，，，即，再根据进行求解即可．
【详解】（1）解：∵一元二次方程的两个根为，，
∴，，
故答案为：；；
（2）解：∵，，且，
∴，可看作方程的两个根，
∴，，
∴
；
（3）解：当时，，
∴，
∴，即，
∵，且，
∴可以看做是关于x的一元二次方程的两个实数根，
∴，，，
∴
∴
．
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