第21章《一元二次方程》单元章末检测卷（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
第21章一元二次方程章末检测卷-数学九年级上册人教版
一、单选题
1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．一元二次方程的根的情况是（ ）
A．一个实数根 B．两个相等的实数根
C．两个不相等的实数根 D．没有实数根
3．如图是某同学求代数式的值的情况，根据表格可知方程的根是（ ）
… 0 1 2 …
… 0 6 14 …
A． B．
C．或 D．或
4．把方程化成一般形式，则的值分别是（ ）
A． B． C． D．
5．已知是一元二次方程的一个解，则的值是（ ）
A．5 B． C．1 D．
6．若、是方程的两个实数根，则的值是（ ）
A． B． C．0 D．1
7．一个直角三角形的一条直角边长是4，另一直角边的长是一元二次方程的根，则该三角形的面积是（ ）
A． B．4或 C．8或 D．4
8．某件羽绒服原价360元，店长需要清空库存，对该件羽绒服进行了连续两次降价，现在售价为200元．设平均每次降价的百分率为，则下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．方程的解是 ．
10．当m 时，方程是关于x的一元二次方程．
11．若关于x的方程有一个根为，则 ．
12．如果是两个不相等的实数，且满足 ，那么代数式 ．
13．关于x的一元二次方程有两个根，且满足，则m的值为 ．
14．某款汽车价格由2023年8月份39万元/辆下降到10月份的万元/辆，若月平均降价的百分率为x，则可列方程为 ．
15．已知线段，点C是上的一点，且，那么 ．
16．一个直角三角形的两条直角边长分别是方程的两根，则该直角三角形的面积是
三、解答题
17．解方程：
(1)；
(2)．
18．十堰市公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归” ．某商店统计了某品牌头盔的销售量，七月份售出375个，九月份售出540个，且从七月份到九月份月增长率相同．求该品牌头盔销售量的月增长率．
19．为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，则原方程化为，解此方程得，．当时，，∴．当时，，∴．∴原方程的解为，，，．以上方法叫做换元法解方程，达到了降次的目的，体现了转化思想．
用上述方法解下列方程：
(1)；
(2)．
20．某书店销售一本科普读物，进价为每本16元，若按每本30元销售，平均每月能卖出200本．经市场调研发现，在不亏本的情况下，为减少库存，若每本售价每降低1元，则平均每月可多卖出20本，设每本科普读物的售价降低x元．
(1)嘉嘉说：“既然是薄利多销，平均每月的销售量肯定能达到500本，可列出方程：．”
请判断嘉嘉的说法是否正确，并说明理由；
(2)该书店期望销售此科普读物平均每月的销售利润达到2860元，王经理说：“在原售价每本30元的基础上降价3元，销售利润即可达到期望目标．”李经理说：“不用降那么多，在原售价每本30元的基础上降价1元即可达到期望目标．”
①判断王经理、李经理二人的说法是否正确，并利用方程思想说明理由；
②试分析指出采纳谁的意见更合适．
21．如图，要用篱笆（虚线部分）围成一个矩形苗圃，其中两边靠的墙都是9米长，中间用平行于的篱笆隔开，已知篱笆的总长度为18米．
(1)设的长为x（m），则 m；
(2)当x为何值时，所围矩形苗圃的面积为
22．如图，在中，，，．点D从点C出发沿方向以的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以的速度向点B匀速运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设点D，B运动的时间是，过点D作于点F，连接．
(1)用含t的代数式表示 ， ．
(2)是否存在某一时刻t，使点F在线段的中垂线上 若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由．是是
(3)当t为 时，为直角三角形．（直接写答案）
(4)是否存在某一时刻t，使的面积是面积的，若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C D C A D A B
1．B
【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此求解即可．
【详解】解：A、不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意；
B、是一元二次方程，符合题意；
C、是一元二次方程，不符合题意；
D、未知数的最高次不是2，不是一元二次方程，不符合题意；
故选：B．
2．C
【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．先把一元二次方程化为一般式，然后利用根的判别式求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴根的判别式，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：．
3．D
【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．能使成立的x的值即为所求．
【详解】解：由表格知，当或时，成立，即该方程的根是或．
故选：D．
4．C
【分析】本题考查了一元二方程的一般形式，方程整理为一般形式，找出常数项即可，掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．
【详解】解：，
方程整理得：，
∴，，，
故选：C．
5．A
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解．将代入原方程，求出解即可．
【详解】解：根据题意，将代入，
得，
解得，
故选：A．
6．D
【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
先由根与系数的关系得出，，代入即可求解．
【详解】∵是方程的两个根，
∴，，
∴，
故选D．
7．A
【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，注意计算的准确性即可．
【详解】解：解方程得：（舍），
∴该直角三角形的另一条直角边长是，
故该三角形的面积
故选：A
8．B
【分析】本题主要考查一元二次方程的应用．设平均每次的降价率为x，则经过两次降价后的价格是，根据关键语句“连续两次降价后为200元”可得答案．
【详解】解：由题意得：．
故选：B．
9．
【分析】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，先移项，然后直接开平方法解一元二次方程即可求解．
【详解】解：
∴
解得：，
故答案为：．
10．
【分析】本题考查一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义，得到，进而求解即可．
【详解】解：由题意，得：，
解得：或（舍去）；
故答案为：
11．
【分析】本题主要考查了方程的解的定义，就是能使方程的左右两边相等的未知数的值．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．关于的方程的一个根是，把代入原方程即得的值．
【详解】解：根据题意关于的方程的一个根是，
把代入方程得到，
解得．
故答案为．
12．
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据题意得到代入求解即可．
【详解】
是两个不相等的实数
是的两个不相等的实数根
根据根与系数的关系，可得：
故答案为：．
13．
【分析】本题考查一元二次方程根于系数的关系，根据，列式结合求解即可得到答案；
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个根，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∴，
解得：，，
当时，，，故不符合题意舍去，
当时，，，符合题意，
故答案为：．
14．
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设月平均降价的百分率为x，则9月份的销售量为万辆，10月份的销售量为万辆，据此列出方程即可．
【详解】解：由题意得，，
故答案为：．
15．
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设，则，根据题意可得方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴，
故答案为：．
16．
【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系．设的两根分别为，再利用根与系数的关系与面积公式求解即可．
【详解】解：设的两根分别为，
∴，，
∵为两条直角边时，
∴，
故答案为．
17．(1)
(2)
【分析】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键，解一元二次方程的方法有直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法等．
（1）先配方，再直接开平方求出方程的解即可；
（2）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【详解】（1）解：，
配方得：，
，
，
；
（2），
，
，
，
或，
．
18．
【分析】本题考查一元二次方程解决实际问题，设该品牌头盔销售量的月增长率为x，则八月份头盔的销售量为个，九月份的销售量为个，根据“九月份售出540个”即可列出方程，求解即可．
【详解】解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据题意，得
，
解得：，（不合题意，舍去）
答：该品牌头盔销售量的月增长率为．
19．(1)，
(2)，，，
【分析】本题考查换元法解一元二次方程：
（1）设，将原方程变形为，利用因式分解法解方程求出y值，进而即可求解；
（2）设，将原方程变形为，求出y值，进而利用直接开平方法解方程即可．
【详解】（1）解：设，则原方程化为，
解此方程得，，
当时，，解得；
当时，，解得；
∴原方程的解为，．
（2）解：设，则原方程化为，
解此方程得，，
当时，，解得；
当时，，解得；
∴原方程的解为，，，．
20．(1)嘉嘉的说法不正确，理由见解析；
(2)①两人的说法都正确，理由见解析；②采取王经理的意见，理由见解析．
【分析】本题考查了一元一次方程中的销售问题， 一元二次方程的应用，掌握利润、售价、进价之间的关系是解题的关键．
（1）根据已知的方程可求出具体降价金额， 从而可求出售价， 将售价与进价比较即可求解；
（2）①根据题意列出方程，整理得到，求解即可得出结论；
②从增加销售量可以减少库存，可得结论．
【详解】（1）解：嘉嘉的说法不正确，理由如下：
，
解得：，
元，
∵15元16元，
∴亏本，
∴小宇的说法不正确．
（2）解：①两人的说法都正确，理由如下：
依题意得：，
整理得：，
解得：，，
∴降价元或元都能达到期望目标，
∴两人的说法都正确；
②由于增加销售量可以减少库存，
∴应采取王经理的意见．
21．(1)
(2)当或时，所围矩形苗圃的面积为
【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，根据面积公式得出方程是解题的关键．
（1）设一边的长为，则另一边用总长减去，的长即可，
（2）根据长方形面积公式可得出关于的方程，解方程即可得．
【详解】（1）解：设矩形苗圃的一边的长为，则，
故答案为：
（2）根据题意，得：，；
解得：或，
答：当或时，所围矩形苗圃的面积为．
22．(1)，
(2)
(3)
(4)或
【分析】本题考查含30度角的直角三角形的性质、勾股定理、线段垂直平分线的性质、解一元二次方程等，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质是解答的关键．
（1）直接利用路程、时间、速度的关系和含30度角的直角三角形的性质求解即可；
（2）根据线段垂直平分线的性质得，再根据含30度角的直角三角形的性质得到，进而利用勾股定理求得和t值即可；
（3）由题意，当时，为直角三角形．根据含30度角的直角三角形的性质分别求得，，进而求得即可；
（4）先根据勾股定理求得，，，进而得到，然后解方程求解即可．
【详解】（1）解：由题意，，则；
∵，，
∴，
故答案为：，；
（2）解：存在某一时刻t，存在点F在线段的中垂线上，如图，
则，，
∴，
由得，
∴，
在中，由得，
解得（负值已舍去）；
（3）解：当时，为直角三角形．如图，
在中，，，
在，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（4）解：如图1，∵，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
整理，得，，满足，
故满足条件的t值为或．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)