第21章一元二次方程章末复习（含解析）

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第21章一元二次方程章末复习讲义-数学九年级上册人教版
一、单选题
1．下列方程：①； ②；③；④；⑤，是一元二次方程的是（ ）
A．①② B．①②⑤ C．①③④ D．①④⑤
2．方程的根是（ ）
A． B． C． D．
3．方程和方程的所有实数根之积为（ ）
A． B． C．2 D．4
4．关于的方程两根分别为，，则方程的两根为（ ）
A．， B．，8 C．， D．，
5．已知是一元二次方程的一个根，则的值为（ ）
A．2022 B．2019 C．2020 D．2021
6．把方程化成一元二次方程的一般形式后，它的一次项系数是（ ）．
A． B．1 C．2 D．
7．已知，实数是关于x的方程的两个根，若，则k的值为（ ）
A．1 B． C． D．
8．为贯彻落实省教育厅提出的乡村学校“绿色点亮生活，健康护佑生命”的主题实践活动，某校计划用一面足够长的墙为一边，其余各边用总长为的围栏建成如图所示的生态种植园（中间用围栏隔开）．由于场地限制，垂直于墙的一边，长度不能超过（围栏宽忽略不计）．若生态种植园的面积为，则生态种植园垂直于墙的边长为（ ）
A． B．或 C． D．或
二、填空题
9．代数式的最大值为 ．
10．国庆节老同学聚会，每两个人都握一次手，所有人共握手78次，则参加聚会的有 人．
11．设、是一元二次方程的两根，则 ．
12．已知关于x的方程有且仅有两个不相等的实根．则实数a的取值范围为 ．
13．三角形两边的长分别是4和6，第三边的长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的周长是 ．
14．若，且，则 ．
15．某商场将进货价为55元的某种服装以75元售出，平均每天可售30件，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现：每件降价1元，则每天可多售5件，如果每天要盈利800元，每件应降价 元．
16．如图，在中，，，，点从点出发沿边向以的速度移动，点从点出发沿向点以的速度移动，当其中一个点到达终点时两个点同时停止运动，当的面积是？，长为多少 ．
三、解答题
17．解方程：
(1)；
(2)
18．已知关于的一元二次方程有两个实数根，求的取值范围．
19．先化简再求值：已知是方程的解，求代数式的值．
20．有一种葡萄：从树上摘下后不保鲜最多只能存放一周，如果放在冷藏室，可以延长保鲜时间，但每天仍有一定数量的葡萄变质，假设保鲜期内的重量基本保持不变，现有一位个体户，按市场价收购了这种葡萄200千克放在冷藏室内，此时市场价为每千克2元，据测算，此后每千克鲜葡萄的市场价格每天可以上涨0.2元，平均每天还有1千克葡萄变质丢弃．
(1)设5天后每千克鲜葡萄的市场价为P元，则________；
(2)如果该个体户将这批葡萄一次性出售后销售金额为760元，为了尽快回收资金，那么他应存放多少天后再一次性售出？
21．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程有两个实数根为，，且，求m的值．
22．阅读材料：
材料1：法国数学家弗朗索瓦 韦达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，提出一元二次方程（，）的两根，有如下的关系（韦达定理）：，；
材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值．
解：一元二次方程的两个实数根分别为，，
，，则．
材料3：如果实数、满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，然后将、看作是此方程的两个不相等实数根去解决相关问题．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
（1）材料理解：
一元二次方程的两个根为，，则______，______，______．
（2）类比应用：已知实数、满足，，且，求的值．
（3）思维拓展：已知，是一元二次方程的两个实数根．直接写出使的值为整数的实数的整数值．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D C B A D A B C
1．D
【分析】本题考查一元二次方程的定义：只含一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，据此逐个判断即可求解．
【详解】解：①是一元二次方程；
②含两个未知数，不是一元二次方程；
③不是整式方程，不是一元二次方程；
④是一元二次方程；
⑤是一元二次方程，
故是一元二次方程的是①④⑤，
故选：D．
2．C
【分析】本题考查了解一元二次方程，利用直接开平方法求解即可，掌握直接开平方法解一元二次方程是解题的关键．
【详解】解：
故选：．
3．B
【分析】先判断方程的根的情况，再利用根与系数关系定理解答即可．
本题考查了根的判别式，根与系数关系定理，熟练掌握判别式和定理是解题的关键．
【详解】解：∵方程，，
∴，
∴该方程没有实数根，
∵方程，，
∴，
∴有两个不相等的实数根．
设方程的两个实数根分别是，，
∴，
故选：B．
4．A
【分析】本题考查了一元二次方程的解，由关于的方程两根分别为，，则方程的两根为或，然后解方程即可，正确理解能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解是解题的关键．
【详解】∵关于的方程两根分别为，，
∴方程的两根为或，
解得，，
故选：A．
5．D
【分析】本题考查了一元二次方程的解，利用一元二次方程解的定义得到，然后把变形为，再利用整体代入的方法计算，熟练掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解是解此题的关键．
【详解】解：∵是一元二次方程的一个根，
∴，
∴，
∴
故选：D．
6．A
【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般式，一元二次方程的一般式为（其中a、b、c是常数且），其中叫做二次项系数，叫做一次项系数，c叫做常数项，据此把原方程化为一般式即可得到答案．
【详解】解：把化为一般式得，
∴把方程化成一元二次方程的一般形式后，它的一次项系数是，
故选：A．
7．B
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此得到，再由得到，据此可得答案．
【详解】解：是关于x的一元二次方程的两个根，
．
，
，
∴
，
解得，
经检验，是原分式方程的解，
故选：B．
8．C
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设生态种植园垂直于墙的边长为，则平行于墙的边长为，根据“生态种植园的面积为”列出一元二次方程，解方程即可得出答案，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键．
【详解】解：设生态种植园垂直于墙的边长为，则平行于墙的边长为，
由题意得：，
整理得：，
解得：，，
∵由于场地限制，垂直于墙的一边，长度不能超过，
∴，
∴生态种植园垂直于墙的边长为，
故选：C．
9．
【分析】本题考查了配方法的应用；完全平方公式，利用完全平方公式配方后判断即可．
【详解】，
∵，
∴，
∴当时，代数式的最大值为，
故答案为：．
10．13
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意准确找出等量关系是解答本题的关键．设参加聚会的人数是x人，根据题意列方程解答即可．
【详解】设有x个人参加聚会，
根据题意可得：，
所以，
解得，（不合题意舍去），
所以参加聚会的人数是有13人．
故答案为：13．
11．
【分析】本题主要考查了根与系数的关系，一元二次方程的根与系数的关系为：，利用根与系数的关系得到，然后将其代入所求的代数式计算即可．|
【详解】解：∵、是一元二次方程的两根，
∴，
∴，
故答案为：
12．或
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先把已给条件式利用完全平方公式得到，令，则，可解得或，当时，解得或，此时方程已经有两个解，那么要么是无解，要么与时的解相同，据此讨论求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
令，则，
∴，
解得或，
当时，则，解得或，此时方程已经有两个解，
∴要么是无解，要么与时的解相同，
当无解时，则无解，
∴，
当与时的解相同时，则，即；
综上所述，或．
故答案为：或．
13．
【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，三角形三边关系的应用等知识．熟练掌握因式分解法解一元二次方程，三角形三边关系的应用是解题的关键．
因式分解法解一元二次方程，然后根据三角形三边关系，确定第三边的长，最后求周长即可．
【详解】解：，
，
∴或，
解得，或，
由构成三角形的三边关系可知，第三边的长为6，
∴，
∴该三角形的周长是，
故答案为：．
14．/
【分析】根据观察方程组的系数特点，可把方程组转化成的形式，其中，是其两个不等的实数根，利用根与系数的关系，得到结果．
本题考查了解方程组，一元二次方程根与系数关系的应用．关键是观察方程组的系数特点，得到，是方程的两个根，得到结果．
【详解】解：，
∴，
∴，
，
，是方程的两个根，
，
．
故答案为：．
15．10
【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设每件降价元则每件的盈利为元，每天可出售件，由总利润每件的盈利日销量，进而列出方程，求出结果要结合尽快减少库存，即可得解．
【详解】解：设每件降价元，则每件的销售利润为元，每天可售出件，
根据题意得：，
解得：，．
要尽快减少库存，
．
故每件应降价10元．
故答案为：10．
16．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用、勾股定理，设运动时间为秒，由题意得：，，则，根据题意列出一元二次方程，解方程得出，，再由勾股定理计算即可得出答案．
【详解】解：设运动时间为秒，
∵（秒），
∴，
如图，连接，
，
由题意得：，，
∴，
∵的面积是，，
∴，即，
解得：，
∴，，
∴，
故答案为：．
17．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了解一元二次方程：
（1）把方程左边利用平方差公式分解因式，再解方程即可；
（2）先把常数项移到方程右边，再给方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，最后解方程即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴或，
解得；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得．
18．
【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．根据根的判别式，得出，解不等式即可．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根，
∴，
即，
解得：．
19．，当时，原式
【分析】本题考查分式的化简求值，解一元二次方程．由分式的通分、乘除法法则、结合提公因式、平方差公式进行化简分式，并计算即可，最后解一元二次方程，求得的值，代入求解即可．
【详解】解：
，
∵是方程的解，
或，
当时，原式没有意义；
当时，原式．
20．(1)3
(2)10天
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，根据金额、售价、质量之间的关系列出方程是解题的关键．
（1）市场价等于原价与5天上涨的价格之和，由此可解；
（2）根据销售金额等于x天后的市场价可售葡萄的总质量列方程求解即可．
【详解】（1）解：由题意知，，
故答案为：3；
（2）解：设应存放x天后再一次性售出，
由题意得，
整理，得，
解得，，
要尽快回收资金，
，
即他应存放10天后再一次性售出．
21．(1)证明过程见解答部分
(2)
【分析】本题主要考查根与系数的关系、根的判别式，解题的关键是掌握，是方程的两根时，，．
（1）根据根的判别式得出，据此可得答案；
（2）根据根与系数的关系得出，，代入得出关于的方程，解之可得答案．
【详解】（1）证明：
，
无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：由根与系数的关系，得，，
由，得，
解得．
22．（1），，；（2）；（3）实数的整数值为或或
【分析】（1）利用一元二次方程根与系数的关系，即可求解；
（2）利用一元二次方程根与系数的关系，可得，从而得到，再由，即可求解；
（3）由根的判别式求得，再利用根与系数的关系求得，得到，据此求解即可．
【详解】解：（1）一元二次方程的两个根为，，
，，
；
故答案为：，，；
（2）由题知，和可看成方程的两个实数根，
，．
，
，
．
所以．
故的值为．
（3）根据题意得且，解得，
，，
∴，
∴，
为整数，为整数，
，
解得，
又，
的整数值为或或．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数关系，根的判别式以及利用根与系数关系求代数式的值，根据代数式的结构特征恒等变形为已知代数式的形式是解决问题的关键．
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