第21章一元二次方程易错精讲与针对性训练（含解析）

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第21章一元二次方程易错精讲与针对性训练-数学九年级上册人教版
一、单选题
1．下列方程中是关于的一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．解方程最适当的方法是（ ）
A．直接开平方法 B．配方法 C．公式法 D．因式分解法
3．方程的解为（ ）
A． B． C．， D．，
4．若一元二次方程没有实数根，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5．用配方法解方程时，原方程应变形为（ ）
A． B． C． D．
6．已知m，n是方程的两根，则代数式的值是（ ）
A． B．12 C．3 D．0
7．关于一元二次方程的根的情况，下列判断正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．有且只有一个实数根 D．没有实数根
8．如图，某小区计划在一块长为，宽为的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为．若设道路的宽为，则下面所列方程正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
9．若m，n是一元二次方程的两个根，则 ．
10．已知x为实数，且满足，那么的值为 ．
11．元旦将至，若2班的一个小组有x人，他们每两人之间互送贺卡一张，已知全组共送贺卡72张，则可列方程为 ．
12．若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是 ．
13．定义：如果和均是一元二次方程的根，则这个一元二次方程为对称方程，已知是对称方程，则 ．
14．设是一元二次方程的两个根，且，则 ， ．
15．若是一元二次方程一个解，则代数式的值是 ．
16．据欧几里得的《原本》记载，形如的方程的图解法是：画，使，，，再在斜边上截取，则该方程的一个正根是线段的长．当，时，的长为 ．
三、解答题
17．已知方程的两个根为，，在不求解，的值的情况下，求下列代数式的值：
(1)；
(2)；
(3)．
18．已知一元二次方程有两个根分别为，．
(1)求的取值范围；
(2)若原方程的两个根，满足，求的值．
19．一个小球以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球停止滚动．
(1)小球的滚动速度平均每秒减少______米，滚动______米后停止．
(2)小球滚动约用了多少秒？（结果保留小数点后一位，）（提示：匀变速直线运动中，每个时间段内的平均速度（初速度与末速度的算术平均数）与路程，时间的关系为）
20．2024年巴黎奥运会顺利闭幕，吉祥物“弗里热”深受奥运迷的喜爱，一商场以20元的进价进一批“弗里热”纪念品，以30元每个的价格售出，每周可以卖出500个，经过市场调查发现，价格每涨10元，就少卖100个．
(1)若商场计划一周的利润达到8000元，并且更大优惠让利消费者，售价应定为多少钱？
(2)商场改变销售策略，在不改变（1）的销售价格基础上，销售量稳步提升，两周后销售量达到了个，求这两周的平均增长率．
21．如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动．与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动，点P、Q分别从点A，B同时出发，当点Q移动到点C时，两点停止移动，设移动时间为：．
(1)填空：______，______；（用含t的代数式表示）
(2)是否存在t的值，使得的面积为？若存在请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
(3)连接，是否存在t的值．使得的面积等于，若存在请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
(4)是否存在t的值，使得的面积与四边形的面积之比等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D D C A C B A A
1．D
【分析】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．由一元二次方程的概念对四个选项进行验证，可得正确答案．
【详解】解：A、当时，即该方程的二次项系数是0时，不是一元二次方程，故本选项错误；
B、由，得，不符合一元二次方程的定义，故本选项错误；
C、是分式方程，不是整式方程，；
D、符合一元二次方程的概念，故本选项正确．
故选：D．
2．D
【分析】本题主要考查解一元二次方程，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
将方程等号左边提公因式后，变形为，即为因式分解法求解．
【详解】解：方程可化为，
因此因式分解法最为合适．
故选：D．
3．C
【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等．
利用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】
或
∴，．
故选：C．
4．A
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此求解即可．
【详解】解：∵一元二次方程没有实数根，
∴，
∴，
故选：A．
5．C
【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．配方法的一般步骤：①把常数项移到等号的右边；②把二次项的系数化为1；③等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
【详解】解：由原方程移项，得，
方程的两边同时加上一次项系数的一半的平方，得，
即，
故选：C．
6．B
【分析】利用一元二次方程的解及根与系数的关系，即可得出，，再将其代入，计算即可．本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程的解的定义是解决本题的关键．
【详解】解：，是关于的方程的两根，
，，．
．
故选：B
7．A
【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，能够熟练计算判别式的值并能根据判别式的值判断根的情况是解题关键．计算判别式的值，再确定根的情况即可．
【详解】解：∵，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选A．
8．A
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是利用平移把不规则的图形变为规则图形，进而列出方程．六块矩形空地正好能拼成一个矩形，设道路的宽为，根据草坪的面积是，即可列出方程．
【详解】解：设道路的宽为，
根据题意得：，
故选：A．
9．
【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，代数式求值．利用一元二次方程根和系数的关系：两根之和等于，两根之积等于，先求出和的值，再整体代入到代数式计算即可求解．
【详解】解：∵若m、n是一元二次方程的两个根，
∴，，
∴，
故答案为：．
10．
【分析】本题考查解一元二次方程及二次三项式的最值，根据多项式配方得到取值范围，解一元二次方程即可得到答案
【详解】解：设，
∵，
∴，
原方程变形得：，
解得：，（不符合题意舍去），
故答案为：．
11．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，能够读懂题意列出方程是解题关键．
这个小组有x个人，则每个人送出张贺卡，再根据全组共送贺卡72张建立方程即可．
【详解】解：这个小组有x个人，则每个人送出张贺卡，
又∵全组共送贺卡72张
∴可列出方程
故答案为： ．
12．且
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据方程根的情况可以判定其根的判别式的取值范围，进而可以得到关于k的不等式，解不等式，同时还应注意二次项系数不能为．
【详解】解：∵一元二次方程有实数根，
∴，
解得：且，
故答案为：且．
13．1
【分析】本题考查了一元二次方程的解，解二元一次方程组．由题意得到，解得的值，再代入计算即可求解．
【详解】解：∵是对称方程，
∴，
解得，
∴，
故答案为：1．
14． 4 3
【分析】本题考查了根与系数的关系，由根与系数的关系得到，，代入，即可求出m的值．
【详解】解：∵是一元二次方程的两个根，
∵，，
∵，
∴，
解得，
故答案为：，．
15．2
【分析】本题考查了一元二次方程的解、分式的加减法、分式的化简求值等知识点，理解一元二次方程的解的定义是解题的关键．
根据已知易得即，则，然后代入式子中计算即可．
【详解】解：∵是一元二次方程一个解，
∴，即，
∴
∴．
故答案为：2．
16．
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，把，代入原方程，然后解方程即可得到答案．
【详解】解：把，代入中得：，
解得或，
∵该方程的一个正根是线段的长，
∴，
故答案为：．
17．(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，分式的求值，二次根式的化简求值等等：
（1）根据根与系数的关系得到，再根据进行求解即可；
（2）根据，结合（1）所求进行求解即可；
（3）先由一元二次方程解的定义得到，再把整体代入所求式子中推出，据此代值计算即可．
【详解】（1）解：∵方程的两个根为，，
∴，
∴；
（2）解：由（1）得，
∴
∴
；
（3）解：∵方程的两个根为，，
∴，
∴，
∴
，
．
18．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式、一元二次方程的根与系数的关系、解一元二次方程、利用完全平方公式进行运算等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键．
（1）根据题意可知，据此可得关于的一元一次不等式，求解即可获得答案；
（2）根据一元二次方程的根与系数的关系可得，，再利用完全平方公式可得，将整理并代入可得关于的一元二次方程，求解即可获得答案．
【详解】（1）解：∵一元二次方程有两个根，
∴，
解得；
（2）对于一元二次方程，
可有，，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，，
由（1）可知，，
∴的值为．
19．(1)，；
(2)．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，重点在于求出平均每秒小球的运动减少的速度，而平均每秒小球的运动减少的速度（初始速度 末速度）时间．
（1）从滚动到停下平均每秒速度减少值为：速度变化小球运动速度变化的时间；
（2）利用等量关系：速度时间路程，时间为，根据题意列出方程：求解即可．
【详解】（1）解：从滚动到停下平均每秒速度减少值为：速度变化小球运动速度变化的时间，
即（/），
∴小球的滚动速度平均每秒减少/，
∴小球的瞬时速度为，
∴小球滚动距离，
当时，，
∴小球滚动米后停止；
故答案为：，；
（2）解：设小球滚动到用了，
，
整理，得，
解得（舍），．
答：小球滚动到约用了．
20．(1)售价应定为每个元．
(2)这两周的平均增长率为．
【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，确定相等关系是解本题的关键；
（1）设售价应定为每个元，则每个利润为元，销量为个，再利用总利润为元，再建立方程解题即可；
（2）由（1）得：当售价为每个元时，销量为个，设这两周的平均增长率为，再结合增长率的含义建立方程求解即可．
【详解】（1）解：设售价应定为每个元，则
，
整理得：，
解得：，；
∵更大优惠让利消费者，
∴不符合题意，
∴商场计划一周的利润达到8000元，并且更大优惠让利消费者，售价应定为每个元．
（2）解：由（1）得：当售价为每个元时，销量为（个），
设这两周的平均增长率为，则
，
解得：，（不符合题意舍去），
∴这两周的平均增长率为．
21．(1)，
(2)
(3)
(4)
【分析】此题考查了一元二次方程的应用、列代数式等知识．
（1）根据题意列出代数式即可；
（2）根据的面积为列方程并解方程即可；
（3）根据的面积等于列方程并解方程即可；
（4）分别求出的面积和四边形的面积，的面积与四边形的面积之比等于，据此列出方程，解方程即可．
【详解】（1）解：∵，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动．与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动，
∴，，
故答案为：，
（2）∵点P、Q分别从点A，B同时出发，当点Q移动到点C时，两点停止移动，且，
∴，
由题意可得，，
解得（不合题意，舍去）
∴当时，的面积为；
（3）由题意可得，，，，
∵的面积等于，
∴，
解得（不合题意，舍去）
∴，
∴当时，的面积等于；
（4）由题意可得，的面积，
四边形的面积，
∵的面积与四边形的面积之比等于，
∴，
整理得，
解得（不合题意，舍去）
∴当时，的面积与四边形的面积之比等于．
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