第12章全等三角形章末检测卷（含解析）
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第12章全等三角形章末检测卷-数学八年级上册人教版
一、单选题
1．用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出的依据是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在与中，已知，添加一个条件，不能使的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（ ）
A．一锐角和斜边对应相等 B．两条直角边对应相等
C．斜边和一直角边对应相等 D．两个锐角对应相等
4．如图，中，、的角平分线、交于点P，延长、，，，则下列结论中错误的是（ ）
A．平分 B．
C． D．
5．如图，为八个全等的正六边形紧密排列在同一平面上的情形．在图中标示的各点组成的三角形中，能与全等的有（ ）个
A．0 B．1 C．2 D．3
6．如图所示框架，其中足够长，于点，点M从B出发向A运动，同时点N从B出发向Q运动，点M，N运动的速度之比为，当两点运动到某一瞬间同时停止，此时在射线上取点C，使与全等，则线段的长为（ ）
A．或 B． C．或14 D．
7．在和中，，下列条件中能判定的个数为（ ）
①，；
②，；
③，；
④，．
A．1 B．2 C．3 D．4
8．如图，在中，平分交于点 D，，垂足为点E，且，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．如图，已知，若，则 ．
10．如图，点F，C在上，，，，与相交于点G，若，则的度数为 ．
11．如图，已知D是上一点，，，，若，则的度数为 ．
12．如图．已知，，，点、分别在线段和射线上运动，且．若和全等，则的长度为 ．
13．如图，在中，于点D，于点E，与交于点H，，，则 ．
14．如图，在中，为中线，过点作，交的延长线于点，过点作于点，若，则 ．
15．如图，根据下列条件，能说明的是 （填写正确的序号）
①，；②，
③，；④，
16．如图，射线是的平分线，为射线上一点，于点，，若是射线上一点，，则阴影部分的面积为 ．
三、解答题
17．如图，点在线段上，，，．求证：．
18．如图，D是边上一点，交于点E，，．求证：
(1)；
(2)．
19．如图，是的中线，延长至点E，使，连接．
(1)证明；
(2)若，设，可得x的取值范围是________；
20．点D是中点，，，．
(1)猜想的关系，并证明：
(2)求证．
21．如图，中，点在边延长线上，，的平分线交于点，过点作，垂足为，且．
(1)求的度数；
(2)请判断是否平分，并说明理由；
(3)若，，且，求的面积．
22．如图1，在四边形中，，分别是上的点，且，试探究图中线段之间的数量关系．
(1)小亮同学认：如图1，延长到点，使，连接，先证明，再证明，可得出结论是什么？并给出理由．
(2)如图2，在四边形中，分别是上的点，，上述结论是否仍然成立？说明理由．
(3)如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以80海里/小时的速度前进1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达处，且两舰艇之间的夹角为，试求此时两舰艇之间的距离．
(4)如图4，已知在四边形中，，若点在的延长线上，点在的延长线上，仍然满足1中的结论，请直接写出与的数量关系并加以说明．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C D D C B C D D
1．C
【分析】本题考查基尺规作图-作一个角等于已知角、全等三角形的判定与性质，根据作图过程和全等三角形的判定“”证得，然后利用全等三角形的对应角相等可得结论．
【详解】解：根据作图痕迹，得，，，
∴，
∴，
故选：C．
2．D
【分析】本题考查添加一个条件使三角形全等．掌握三角形全等的判定定理是解题关键．由直角三角形全等的判定方法，逐项即可判断．
【详解】解：A、因为，，，
所以可由“”直接判定，故该选项不符合题意；
B、因为，，，
所以可由“”直接判定，故该选项不符合题意；
C、因为，，，
所以可由“” 直接判定，故该选项不符合题意；
D、和不是和的角，不能判定，故该选项符合题意．
故选D．
3．D
【分析】本题考查了全等三角形的判定，直角三角形全等的判定方法：，，，，，做题时要结合已知条件与全等的判定方法逐一验证．
【详解】解：A、正确．符合；
B、正确．符合；
C、正确．符合；
D、错误．要证两三角形全等必须有边的参与．
故选：D．
4．C
【分析】本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，过点作于D，根据角平分线的判定定理和性质定理判断A；证明，根据全等三角形的性质得出判 断B；根据三角形的外角性质判断C；根据全等三角形的性质判断D，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
【详解】解：A、过点作于，如图：
∵平分，平分，，，，
∴，，
∴，
∴点在的角平分线上，
∴平分， 故选项不符合题意；
B、，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴， 故选项不符合题意；
C、平分，平分，
∴，，
∴， 故选项符合题意；
D、，，
，，
，故选项不符合题意，
故选：C．
5．B
【分析】本题考查了全等三角形的判定的应用，主要考查学生的观察图形的能力和推理能力，注意：全等三角形的判定定理有：，，，．根据全等三角形的判定定理，，，结合图形进行判断即可．
【详解】解：根据图象可知和全等，理由如下：
∵根据图形可知，，，
∴，
即和全等，
其余顶点构成的三角形与不全等，
∴能与全等的三角形有1个，
故选：B．
6．C
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，解题的关键是分情况讨论．
设，则，使与全等，由可知，分两种情况：情况一：当时，列方程解得，可得；情况二：当时，列方程解得，可得．
【详解】解：∵点运动的速度之比为，
∴设，则，
∵与全等，
可分两种情况：
情况一：当时，
∵，
∴，
∴，
解得：，
；
情况二：当时，
∵，
，
解得：，
；
综上所述，或，
故选：C．
7．D
【分析】本题考查全等三角形的判定，根据全等三角形的判定定理逐个判断，即可作出选择，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
【详解】解：①，，加上，可利用证明；
②，，可利用证明；
③，，加上，可利用证明；
④，，加上，可利用证明．
所有正确的个数是4个，
故选：D．
8．D
【分析】本题主要考查了角平分线的性质、全等三角形的性质和判定等知识点，能求出和是解题的关键．
根据角平分线定义和性质得出，根据全等三角形的判定得出，根据全等三角形的性质得出，求出，再求出的周长即可解答．
【详解】解：∵、平分交于点 D，
∴，
在和中，
,
∴，
∴，
∵，
∴，
∵,
∴的周长为．
故选：D．
9．/80度
【分析】本题考查全等三角形的性质．根据“全等三角形的对应角相等”即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
故答案为：．
10．/75度
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，证明是解题的关键．先证明，然后利用即可证得得，然后根据三角形外角的性质即可求解．
【详解】证明：∵，
∴，即，
∵在和中，
，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
11．/50度
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．先求出，再利用“边边边”证明和全等，根据全等三角形对应角相等得到，，再证明，由，求出即可得到．
【详解】解：，，
，即，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
12．5或12/12或5
【分析】本题考查的是全等三角形的性质，全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等，注意分情况讨论思想的应用．分和两种情况，根据全等三角形的性质解答即可．
【详解】解：当时，，
当时，，
故答案为：5或12．
13．1
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质等知识，先利用等角的余角相等得到，证明，由全等三角形的性质得到，最后由线段的和差解得的长．
【详解】解：在中，，，
∴，
∵，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴；
∴，
∵，，
∴．
故答案为：1．
14．5
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用三角形全等证明边相等是常用的方法之一，要熟练掌握并灵活运用．
根据中线的定义可得，然后利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等即可求解．
【详解】解：∵是的中线，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
故答案为：5．
15．①②③
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键：全等三角形的判定定理有．
【详解】解：由，结合，可以利用证明，故①正确；
由，结合，可以利用证明，故②正确；
由，，结合，可以利用证明，故③正确；
由，，结合，不可以利用证明，故④错误；
∴正确的有①②③，
故答案为：①②③．
16．
【分析】本题主要考查角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等的性质是解题关键．如图，过点作于，根据角平分线的性质得出，利用三角形面积公式计算即可得答案．
【详解】解：如图，过点作于，
∵射线是的平分线，为射线上一点，于点，，
∴，
∵，
∴．
故答案为：
17．证明见解析
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形全等的判定方法，根据平行线的性质可得，再利用即可证明，掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
【详解】证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴．
18．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定，熟练掌握以上知识点并灵活运用是 的关键．
（1）利用证明即可；
（2）由全等三角形的性质可得，即可得证．
【详解】（1）证明：在和中，
，
∴；
（2）证明∵，
∴，
∴．
19．(1)证明见解析
(2)
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形三边关系的应用：
（1）由三角形中线的定义得到，再利用即可证明；
（2）由全等三角形的性质得到，再由三角形三边的关系可得，据此可得答案．
【详解】（1）证明：∵是的中线，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
20．(1)猜想：，证明见解析
(2)见解析
【分析】（1）由三角形内角和定理得到，根据对顶角相等得到，即可得出结论；
（2）延长至点O，使得，证明，推出，进而得到，，再证明，即可证明结论．
【详解】（1）猜想：，
证明：，，
；
（2）证明：如图，延长至点O，使得，
点D是中点，
，
，，
，
，，
，
，
，，
，
，
，，
，
，
，即．
【点睛】本题考查三角形内角和定理，三角形全等的判定与性质，平行线的判定与性质，正确作出辅助线构造三角形全等是解题的关键．
21．(1)
(2)平分，理由见解析
(3)的面积为9
【分析】本题主要考查角平分线的判定与性质，三角形的内角和定理，三角形的面积．
（1）由平角的定义可求解的度数，再利用三角形的内角和定理可求解，进而可求解；
（2）过点分别作于，与，根据角平分线的性质可证得，进而可证明结论；
（3）利用三角形的面积公式可求得的长，再利用三角形的面积公式计算可求解．
【详解】（1）解：，
，
，
，
，
，
；
（2）解：平分，理由如下：
过点分别作于，与，
平分，
，
，
平分，
，
，
平分；
（3）解：，，，
，
即，
解得，
，
．
22．(1)，理由见解析
(2)仍成立，理由见解析
(3)210海里
(4)，理由见解析
【分析】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形．解题时注意：同角的补角相等．
（1）延长到，使，连接，先证明，再证明，则可得到结论；
（2）延长到，使，连接，证明，再证明，则结论可求；
（3）连接，延长、交于点，利用已知条件得到：四边形中：，且，符合（2）具备的条件，则．
（4）在延长线上取一点，使得，连接，先判定，再判定，得出，最后根据，推导得到，即可得出结论．
【详解】（1）解：如图1，延长到点，使，连接，
在和中，
，
，
，，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
在和中，
，
，
，
，
；
（2）解：仍成立，理由如下：
如图2，延长到点，使，连接，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，，
．
，
，
．
在和中，
，
，
，
，
；
（3）解：连接，延长、交于点，如图3，
，，
，
，，
在四边形中：，且，
四边形符合（2）中的条件，
结论成立，
即（海里），
答：此时两舰艇之间的距离是210海里．
（4）解：结论：．
理由：如图4，在延长线上取一点，使得，连接，
，，
，即
在和中，
，
，
，，
∵点在的延长线上，点在的延长线上，仍然满足（1）中的结论，
即，
∴
在和中，
，
，
，
，
，
，
即，
．
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第12章全等三角形章末检测卷-数学八年级上册人教版
一、单选题
1．用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出的依据是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在与中，已知，添加一个条件，不能使的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（ ）
A．一锐角和斜边对应相等 B．两条直角边对应相等
C．斜边和一直角边对应相等 D．两个锐角对应相等
4．如图，中，、的角平分线、交于点P，延长、，，，则下列结论中错误的是（ ）
A．平分 B．
C． D．
5．如图，为八个全等的正六边形紧密排列在同一平面上的情形．在图中标示的各点组成的三角形中，能与全等的有（ ）个
A．0 B．1 C．2 D．3
6．如图所示框架，其中足够长，于点，点M从B出发向A运动，同时点N从B出发向Q运动，点M，N运动的速度之比为，当两点运动到某一瞬间同时停止，此时在射线上取点C，使与全等，则线段的长为（ ）
A．或 B． C．或14 D．
7．在和中，，下列条件中能判定的个数为（ ）
①，；
②，；
③，；
④，．
A．1 B．2 C．3 D．4
8．如图，在中，平分交于点 D，，垂足为点E，且，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．如图，已知，若，则 ．
10．如图，点F，C在上，，，，与相交于点G，若，则的度数为 ．
11．如图，已知D是上一点，，，，若，则的度数为 ．
12．如图．已知，，，点、分别在线段和射线上运动，且．若和全等，则的长度为 ．
13．如图，在中，于点D，于点E，与交于点H，，，则 ．
14．如图，在中，为中线，过点作，交的延长线于点，过点作于点，若，则 ．
15．如图，根据下列条件，能说明的是 （填写正确的序号）
①，；②，
③，；④，
16．如图，射线是的平分线，为射线上一点，于点，，若是射线上一点，，则阴影部分的面积为 ．
三、解答题
17．如图，点在线段上，，，．求证：．
18．如图，D是边上一点，交于点E，，．求证：
(1)；
(2)．
19．如图，是的中线，延长至点E，使，连接．
(1)证明；
(2)若，设，可得x的取值范围是________；
20．点D是中点，，，．
(1)猜想的关系，并证明：
(2)求证．
21．如图，中，点在边延长线上，，的平分线交于点，过点作，垂足为，且．
(1)求的度数；
(2)请判断是否平分，并说明理由；
(3)若，，且，求的面积．
22．如图1，在四边形中，，分别是上的点，且，试探究图中线段之间的数量关系．
(1)小亮同学认：如图1，延长到点，使，连接，先证明，再证明，可得出结论是什么？并给出理由．
(2)如图2，在四边形中，分别是上的点，，上述结论是否仍然成立？说明理由．
(3)如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以80海里/小时的速度前进1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达处，且两舰艇之间的夹角为，试求此时两舰艇之间的距离．
(4)如图4，已知在四边形中，，若点在的延长线上，点在的延长线上，仍然满足1中的结论，请直接写出与的数量关系并加以说明．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C D D C B C D D
1．C
【分析】本题考查基尺规作图-作一个角等于已知角、全等三角形的判定与性质，根据作图过程和全等三角形的判定“”证得，然后利用全等三角形的对应角相等可得结论．
【详解】解：根据作图痕迹，得，，，
∴，
∴，
故选：C．
2．D
【分析】本题考查添加一个条件使三角形全等．掌握三角形全等的判定定理是解题关键．由直角三角形全等的判定方法，逐项即可判断．
【详解】解：A、因为，，，
所以可由“”直接判定，故该选项不符合题意；
B、因为，，，
所以可由“”直接判定，故该选项不符合题意；
C、因为，，，
所以可由“” 直接判定，故该选项不符合题意；
D、和不是和的角，不能判定，故该选项符合题意．
故选D．
3．D
【分析】本题考查了全等三角形的判定，直角三角形全等的判定方法：，，，，，做题时要结合已知条件与全等的判定方法逐一验证．
【详解】解：A、正确．符合；
B、正确．符合；
C、正确．符合；
D、错误．要证两三角形全等必须有边的参与．
故选：D．
4．C
【分析】本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，过点作于D，根据角平分线的判定定理和性质定理判断A；证明，根据全等三角形的性质得出判 断B；根据三角形的外角性质判断C；根据全等三角形的性质判断D，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
【详解】解：A、过点作于，如图：
∵平分，平分，，，，
∴，，
∴，
∴点在的角平分线上，
∴平分， 故选项不符合题意；
B、，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴， 故选项不符合题意；
C、平分，平分，
∴，，
∴， 故选项符合题意；
D、，，
，，
，故选项不符合题意，
故选：C．
5．B
【分析】本题考查了全等三角形的判定的应用，主要考查学生的观察图形的能力和推理能力，注意：全等三角形的判定定理有：，，，．根据全等三角形的判定定理，，，结合图形进行判断即可．
【详解】解：根据图象可知和全等，理由如下：
∵根据图形可知，，，
∴，
即和全等，
其余顶点构成的三角形与不全等，
∴能与全等的三角形有1个，
故选：B．
6．C
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，解题的关键是分情况讨论．
设，则，使与全等，由可知，分两种情况：情况一：当时，列方程解得，可得；情况二：当时，列方程解得，可得．
【详解】解：∵点运动的速度之比为，
∴设，则，
∵与全等，
可分两种情况：
情况一：当时，
∵，
∴，
∴，
解得：，
；
情况二：当时，
∵，
，
解得：，
；
综上所述，或，
故选：C．
7．D
【分析】本题考查全等三角形的判定，根据全等三角形的判定定理逐个判断，即可作出选择，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
【详解】解：①，，加上，可利用证明；
②，，可利用证明；
③，，加上，可利用证明；
④，，加上，可利用证明．
所有正确的个数是4个，
故选：D．
8．D
【分析】本题主要考查了角平分线的性质、全等三角形的性质和判定等知识点，能求出和是解题的关键．
根据角平分线定义和性质得出，根据全等三角形的判定得出，根据全等三角形的性质得出，求出，再求出的周长即可解答．
【详解】解：∵、平分交于点 D，
∴，
在和中，
,
∴，
∴，
∵，
∴，
∵,
∴的周长为．
故选：D．
9．/80度
【分析】本题考查全等三角形的性质．根据“全等三角形的对应角相等”即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
故答案为：．
10．/75度
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，证明是解题的关键．先证明，然后利用即可证得得，然后根据三角形外角的性质即可求解．
【详解】证明：∵，
∴，即，
∵在和中，
，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
11．/50度
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．先求出，再利用“边边边”证明和全等，根据全等三角形对应角相等得到，，再证明，由，求出即可得到．
【详解】解：，，
，即，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
12．5或12/12或5
【分析】本题考查的是全等三角形的性质，全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等，注意分情况讨论思想的应用．分和两种情况，根据全等三角形的性质解答即可．
【详解】解：当时，，
当时，，
故答案为：5或12．
13．1
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质等知识，先利用等角的余角相等得到，证明，由全等三角形的性质得到，最后由线段的和差解得的长．
【详解】解：在中，，，
∴，
∵，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴；
∴，
∵，，
∴．
故答案为：1．
14．5
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用三角形全等证明边相等是常用的方法之一，要熟练掌握并灵活运用．
根据中线的定义可得，然后利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等即可求解．
【详解】解：∵是的中线，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
故答案为：5．
15．①②③
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键：全等三角形的判定定理有．
【详解】解：由，结合，可以利用证明，故①正确；
由，结合，可以利用证明，故②正确；
由，，结合，可以利用证明，故③正确；
由，，结合，不可以利用证明，故④错误；
∴正确的有①②③，
故答案为：①②③．
16．
【分析】本题主要考查角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等的性质是解题关键．如图，过点作于，根据角平分线的性质得出，利用三角形面积公式计算即可得答案．
【详解】解：如图，过点作于，
∵射线是的平分线，为射线上一点，于点，，
∴，
∵，
∴．
故答案为：
17．证明见解析
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形全等的判定方法，根据平行线的性质可得，再利用即可证明，掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
【详解】证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴．
18．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定，熟练掌握以上知识点并灵活运用是 的关键．
（1）利用证明即可；
（2）由全等三角形的性质可得，即可得证．
【详解】（1）证明：在和中，
，
∴；
（2）证明∵，
∴，
∴．
19．(1)证明见解析
(2)
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形三边关系的应用：
（1）由三角形中线的定义得到，再利用即可证明；
（2）由全等三角形的性质得到，再由三角形三边的关系可得，据此可得答案．
【详解】（1）证明：∵是的中线，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
20．(1)猜想：，证明见解析
(2)见解析
【分析】（1）由三角形内角和定理得到，根据对顶角相等得到，即可得出结论；
（2）延长至点O，使得，证明，推出，进而得到，，再证明，即可证明结论．
【详解】（1）猜想：，
证明：，，
；
（2）证明：如图，延长至点O，使得，
点D是中点，
，
，，
，
，，
，
，
，，
，
，
，，
，
，
，即．
【点睛】本题考查三角形内角和定理，三角形全等的判定与性质，平行线的判定与性质，正确作出辅助线构造三角形全等是解题的关键．
21．(1)
(2)平分，理由见解析
(3)的面积为9
【分析】本题主要考查角平分线的判定与性质，三角形的内角和定理，三角形的面积．
（1）由平角的定义可求解的度数，再利用三角形的内角和定理可求解，进而可求解；
（2）过点分别作于，与，根据角平分线的性质可证得，进而可证明结论；
（3）利用三角形的面积公式可求得的长，再利用三角形的面积公式计算可求解．
【详解】（1）解：，
，
，
，
，
，
；
（2）解：平分，理由如下：
过点分别作于，与，
平分，
，
，
平分，
，
，
平分；
（3）解：，，，
，
即，
解得，
，
．
22．(1)，理由见解析
(2)仍成立，理由见解析
(3)210海里
(4)，理由见解析
【分析】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形．解题时注意：同角的补角相等．
（1）延长到，使，连接，先证明，再证明，则可得到结论；
（2）延长到，使，连接，证明，再证明，则结论可求；
（3）连接，延长、交于点，利用已知条件得到：四边形中：，且，符合（2）具备的条件，则．
（4）在延长线上取一点，使得，连接，先判定，再判定，得出，最后根据，推导得到，即可得出结论．
【详解】（1）解：如图1，延长到点，使，连接，
在和中，
，
，
，，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
在和中，
，
，
，
，
；
（2）解：仍成立，理由如下：
如图2，延长到点，使，连接，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，，
．
，
，
．
在和中，
，
，
，
，
；
（3）解：连接，延长、交于点，如图3，
，，
，
，，
在四边形中：，且，
四边形符合（2）中的条件，
结论成立，
即（海里），
答：此时两舰艇之间的距离是210海里．
（4）解：结论：．
理由：如图4，在延长线上取一点，使得，连接，
，，
，即
在和中，
，
，
，，
∵点在的延长线上，点在的延长线上，仍然满足（1）中的结论，
即，
∴
在和中，
，
，
，
，
，
，
即，
．
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