第12章全等三角形章末复习（含解析）
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第12章全等三角形章末复习讲义-数学八年级上册人教版
一、单选题
1．工人师傅设计了如图所示的卡钳，点O为卡钳两柄交点，且有，如果圆形工件恰好通过卡钳，则此工件的外径必是之长了，其中的依据是全等三角形的判定条件（ ）
A． B． C． D．
2．如图，某同学不小心把一块三角形的玻璃打碎成三片，现在他要到玻璃店去配一块完全一样形状的玻璃．那么最省事的办法是带（ ）
A．带③去 B．带②去 C．带①去 D．带①②去
3．如图，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M、N的距离，如果，则只需测出其长度的线段是（ ）
A． B． C． D．
4．下列说法正确的是（ ）
A．全等三角形是指形状相同的两个三角形
B．全等三角形是指面积相等的两个三角形
C．有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等
D．如果两个三角形不全等，那么这两个三角形的面积一定不相等
5．如图，已知，欲证，还必须从下列选项中补选一个，则错误的选项是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，是的边上一点，交于点，，，若，，则的长为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
7．如图，的边，，O是三条角平分线的交点，若的面积为3，则的面积为（ ）
A．8 B． C．6 D．5
8．如图，点，分别在线段，上，且，与交于点，则从下列三个条件①，②，③中选一个能使成立的是（ ）
A．① B．①或② C．②或③ D．①或②或③
二、填空题
9．如图，在中，角平分线交于点，已知：，则 ．
10．如图，，点在线段上，若，，则的长为 ．
11．如图，在中，平分，于点E，且，，，则的面积是 ．
12．如图，，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件使得，你添加的条件是： ．
13．如图，在中，，．用尺规作图作出射线交于点，，则的面积为 ．
14．如图， 在中，，是角平分线，是边上的高， 延长与外角的平分线交于点．以下四个结论：①；②； ③，④．其中结论正确的个数是 ．
15．如图， 在长方形中，厘米，厘米，点E为中点，已知点P在线段上以2厘米/秒的速度由点A向点B运动，同时点Q在线段上由点C向点B运动，如果与恰好全等，那么点Q的运动速度是 厘米/秒．
16．如图1是某款雨伞的实物图，图2是该雨伞部分骨架示意图．测得，点，分别是，的三等分点，，那么的依据是 ；
三、解答题
17．如图，点是矩形的边上的一点，且．
(1)尺规作图：作的平分线，交于点．（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)连接，求证：．
18．如图，，是上两点，且，，点，，在同一直线上，且，求证：．
19．如图， ，，点D在边上，．求证：
20．如图，在中，，于点E，，交于点F，的延长线交于点G，求证：
(1)；
(2)平分．
21．证明：如果两个三角形有两条边和其中一边上的中线分别相等，那么这两个三角形全等．
请结合所学将如下证明过程补充完整：
已知：如图，与，，是的中线，是的中线，① ．
求证：
证明：∵是的中线，是的中线，
∴，
又∵，
∴②
在和中
∴
∴③
在和中
∴⑤
22．在中，，，点D在射线上运动，连接，将线段绕点A逆时针旋转90°，得到，连接．
(1)观察发现：当D在线段上时（不与点B重合），如图1所示，请你直接写出线段和的数量关系和位置关系是___________，___________；
(2)猜想论证：当D在线段的延长线上时，如图2所示，请你判断（1）中结论是否成立，并证明你的判断；
(3)拓展延伸：若，，请直接写出线段的长．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B A A C C C D D
1．B
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质．利用证明，利用全等三角形对应边相等，即可作答．
【详解】解：连接，如图所示：
∵，，
∴，
故，
故选：B．
2．A
【分析】本题考查全等三角形的判定，根据图形，第一块和第二块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这两块中的任一块均不能配一块与原来完全一样的；第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则根据全等三角形的判定，利用“”来配一块一样的玻璃．
【详解】解：③中含原三角形的两角及夹边，根据“”，能够唯一确定三角形．其它两个不行．
故选：A．
3．A
【分析】本题考查了全等三角形的应用．利用全等三角形对应边相等可知要想求得的长，只需求得其对应边的长，据此可以得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
则只需测出其长度的线段是，
故选：A．
4．C
【分析】本题主要考查了全等三角形的概念，全等三角形的判定．根据能够完全重合的两个三角形是全等三角形，全等三角形的判定定理，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：形状相同的两个三角形若其大小不相等就不是全等三角形，故选项A不符合题意；
面积相等的两个三角形形状不一定相同，不一定是全等三角形，故选项B不符合题意；
有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，故选项C符合题意；
如果两个三角形不全等，那么这两个三角形的面积也可能相等，故选项D不符合题意；
故选：C．
5．C
【分析】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，注意：全等三角形的判定定理有，．熟知这些判定定理是解题的关键．
全等三角形的判定定理有，根据定理逐个判断即可．
【详解】解：A、符合定理，即根据即可推出，故本选项不符合题意；
B．符合定理，即根据即可推出，故本选项不符合题意；
C、不符合全等三角形的判定定理，即不能推出，故本选项符合题意；
D、符合定理，即根据即可推出，故本选项不符合题意；
故选C．
6．C
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质；利用证明和全等，进而得出，即可求出的长．
【详解】解：，
．
，，
（）．
．
又，
，
故选：C．
7．D
【分析】此题主要考查角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．由角平分线的性质可得，点到，，的距离相等，则、、面积的比实际为，，三边的比．
【详解】点是三条角平分线的交点，
点到，的距离相等，
、面积的比：：．
的面积为，
的面积为．
故选：D．
8．D
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的性质和判定是解题的关键．
根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【详解】解：选①或②或③，
理由：当选①时：
∵，，，
∴，
∴；
当选②时，
∵，，，
∴，
∴；
当选③时，
过D、E分别作、的垂线交点G与点H．
在和中，
，，，
∴，
∴，，
在和中，
，，
∴，
∴，
∴，
即．
故选：D．
9．/
【分析】本题考查了三角形角平分线的性质，等面积法求高，掌握角平分线的性质定理是解题的关键．根据题意，作，根据角平分线的性质可得，根据三角形面积的计算方法可得，由此可得，由此即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作于点，作于点，过点作于点，
∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为： ．
10．2
【分析】本题考查了全等三角形的性质，线段的和差计算，掌握全等三角形的性质是解题的关键．
根据全等三角形的性质可得，再根据即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：2 ．
11．18
【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形面积公式；过点作于，根据角平分线的性质得，然后根据三角形面积公式计算即可．
【详解】解：过点作于，如图，
∵平分, ，
故答案为：18．
12．或或．（选择其一作答即可）
【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．根据题意要证明已有一个公共角和一对相等边，因此可以利用、、证明两三角形全等．
【详解】解：，
可以添加，此时满足；
可以添加，此时满足；
可以添加，此时满足；
故答案为：或或．（选择其一作答即可）
13．8
【分析】本题考查作图基本作图，角平分线的性质等知识，解题的关键是读懂图形信息，灵活运用所学知识解决问题．如图，过点作于点．利用角平分线的性质定理判断出，进而求解即可．
【详解】解：如图，过点作于点．
由作图可知平分，
，，
，
的面积．
故答案为：8．
14．3
【分析】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的角平分线与高的含义，三角形的外角的性质，灵活运用三角形的外角的性质解决问题是关键．由三角形的角平分线的含义可判断①，由三角形的高的含义可判断②，根据题意可知，，，，可判断③，由，，可得，从而可判断④，即可得答案．
【详解】解：是角平分线
，故①符合题意；
是边上的高，即
，故②符合题意；
是角平分线，平分
，
，
由②可知，
，故③不符合题意；
，
，故④符合题意；
故答案为：3．
15．2或
【分析】本题考查了全等三角形的性质，解一元一次方程的实际应用，解题的关键是掌握全等三角形对应边相等．
设运动时间为t秒，根据题意可得：，再进行分类讨论即可①当时， ②当时．
【详解】解：设运动时间为t秒，
根据题意可得：，
∵厘米，点E为中点，
∴厘米，
①当时，
，
解得：，
∴厘米，
∴厘米，
∴点Q的运动速度为（厘米/秒），
②当时，
，
解得：，
此时厘米，
∴点Q的运动速度为（厘米/秒），
故答案为：2或．
16．
【分析】本题考查全等三角形的应用，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理．
由点分别是的三等分点，，得出，根据三边对应相等，证明．
【详解】解：∵点分别是的三等分点，
，
，
，
在与中，
，
，
故答案为：．
17．(1)见解析
(2)见解析
【分析】题目主要考查角平分线的作法，全等三角形的判定和性质，熟练掌握角平分线的作法及全等三角形的判定和性质是解题关键．
（1）根据题意结合尺规作角平分线的方法作图即可；
（2）结合角平分线的定义可得，然后证明即可得到结论．
【详解】（1）解：如图，射线即为所作；
（2）证明：∵平分，
∴，
又∵，，
∴，
∴．
18．见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，先证明，即可得到，进而得到．
【详解】证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
，
∴．
19．见解析
【分析】先证明，则可得，然后根据即可证明．
本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
【详解】证明：∵和相交于点O，
∴．
在和中，
，
∴．
又∵，
∴，
∴．
在和中，
，
∴．
20．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定定理．
（1）由平行线的公理可得出，先证明，再证明，即可得结论；
（2）证明，得，然后根据角平分线的判定即可解决问题．
【详解】（1）证明：，
，
∵，
，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）证明：在和中，
，
，
∴．
平分．
21．①；②；③；④；⑤
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，先根据题意可得①处的条件为，再根据全等三角形的性质与判定定理结合已给推理过程证明即可．
【详解】解：由题意得，①处的条件为
证明：∵是的中线，是的中线，
∴，
又∵，
∴
在和中
∴
∴
在和中
∴
22．(1)，
(2)成立，证明见解析
(3)的长为：或；
【分析】（1）先证明，，再证明，再进一步可得答案；
（2）先证明，，再证明，再进一步可得答案；
（3）结合（1）（2）的结论可得答案．
【详解】（1）解：结论：，．理由如下：
理由：∵，，，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
∴；
（2）解：结论，成立，理由如下：
∵，，，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
∴；
（3）解：当在线段上时，结合（1）可得：
，
∵，
∴，
当在线段的延长线上时，结合（2）可得：
，
∵，
∴，
综上：的长为：或；
【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂直的定义，熟练的证明两个三角形全等是解本题的关键．
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第12章全等三角形章末复习讲义-数学八年级上册人教版
一、单选题
1．工人师傅设计了如图所示的卡钳，点O为卡钳两柄交点，且有，如果圆形工件恰好通过卡钳，则此工件的外径必是之长了，其中的依据是全等三角形的判定条件（ ）
A． B． C． D．
2．如图，某同学不小心把一块三角形的玻璃打碎成三片，现在他要到玻璃店去配一块完全一样形状的玻璃．那么最省事的办法是带（ ）
A．带③去 B．带②去 C．带①去 D．带①②去
3．如图，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M、N的距离，如果，则只需测出其长度的线段是（ ）
A． B． C． D．
4．下列说法正确的是（ ）
A．全等三角形是指形状相同的两个三角形
B．全等三角形是指面积相等的两个三角形
C．有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等
D．如果两个三角形不全等，那么这两个三角形的面积一定不相等
5．如图，已知，欲证，还必须从下列选项中补选一个，则错误的选项是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，是的边上一点，交于点，，，若，，则的长为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
7．如图，的边，，O是三条角平分线的交点，若的面积为3，则的面积为（ ）
A．8 B． C．6 D．5
8．如图，点，分别在线段，上，且，与交于点，则从下列三个条件①，②，③中选一个能使成立的是（ ）
A．① B．①或② C．②或③ D．①或②或③
二、填空题
9．如图，在中，角平分线交于点，已知：，则 ．
10．如图，，点在线段上，若，，则的长为 ．
11．如图，在中，平分，于点E，且，，，则的面积是 ．
12．如图，，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件使得，你添加的条件是： ．
13．如图，在中，，．用尺规作图作出射线交于点，，则的面积为 ．
14．如图， 在中，，是角平分线，是边上的高， 延长与外角的平分线交于点．以下四个结论：①；②； ③，④．其中结论正确的个数是 ．
15．如图， 在长方形中，厘米，厘米，点E为中点，已知点P在线段上以2厘米/秒的速度由点A向点B运动，同时点Q在线段上由点C向点B运动，如果与恰好全等，那么点Q的运动速度是 厘米/秒．
16．如图1是某款雨伞的实物图，图2是该雨伞部分骨架示意图．测得，点，分别是，的三等分点，，那么的依据是 ；
三、解答题
17．如图，点是矩形的边上的一点，且．
(1)尺规作图：作的平分线，交于点．（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)连接，求证：．
18．如图，，是上两点，且，，点，，在同一直线上，且，求证：．
19．如图， ，，点D在边上，．求证：
20．如图，在中，，于点E，，交于点F，的延长线交于点G，求证：
(1)；
(2)平分．
21．证明：如果两个三角形有两条边和其中一边上的中线分别相等，那么这两个三角形全等．
请结合所学将如下证明过程补充完整：
已知：如图，与，，是的中线，是的中线，① ．
求证：
证明：∵是的中线，是的中线，
∴，
又∵，
∴②
在和中
∴
∴③
在和中
∴⑤
22．在中，，，点D在射线上运动，连接，将线段绕点A逆时针旋转90°，得到，连接．
(1)观察发现：当D在线段上时（不与点B重合），如图1所示，请你直接写出线段和的数量关系和位置关系是___________，___________；
(2)猜想论证：当D在线段的延长线上时，如图2所示，请你判断（1）中结论是否成立，并证明你的判断；
(3)拓展延伸：若，，请直接写出线段的长．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B A A C C C D D
1．B
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质．利用证明，利用全等三角形对应边相等，即可作答．
【详解】解：连接，如图所示：
∵，，
∴，
故，
故选：B．
2．A
【分析】本题考查全等三角形的判定，根据图形，第一块和第二块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这两块中的任一块均不能配一块与原来完全一样的；第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则根据全等三角形的判定，利用“”来配一块一样的玻璃．
【详解】解：③中含原三角形的两角及夹边，根据“”，能够唯一确定三角形．其它两个不行．
故选：A．
3．A
【分析】本题考查了全等三角形的应用．利用全等三角形对应边相等可知要想求得的长，只需求得其对应边的长，据此可以得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
则只需测出其长度的线段是，
故选：A．
4．C
【分析】本题主要考查了全等三角形的概念，全等三角形的判定．根据能够完全重合的两个三角形是全等三角形，全等三角形的判定定理，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：形状相同的两个三角形若其大小不相等就不是全等三角形，故选项A不符合题意；
面积相等的两个三角形形状不一定相同，不一定是全等三角形，故选项B不符合题意；
有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，故选项C符合题意；
如果两个三角形不全等，那么这两个三角形的面积也可能相等，故选项D不符合题意；
故选：C．
5．C
【分析】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，注意：全等三角形的判定定理有，．熟知这些判定定理是解题的关键．
全等三角形的判定定理有，根据定理逐个判断即可．
【详解】解：A、符合定理，即根据即可推出，故本选项不符合题意；
B．符合定理，即根据即可推出，故本选项不符合题意；
C、不符合全等三角形的判定定理，即不能推出，故本选项符合题意；
D、符合定理，即根据即可推出，故本选项不符合题意；
故选C．
6．C
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质；利用证明和全等，进而得出，即可求出的长．
【详解】解：，
．
，，
（）．
．
又，
，
故选：C．
7．D
【分析】此题主要考查角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．由角平分线的性质可得，点到，，的距离相等，则、、面积的比实际为，，三边的比．
【详解】点是三条角平分线的交点，
点到，的距离相等，
、面积的比：：．
的面积为，
的面积为．
故选：D．
8．D
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的性质和判定是解题的关键．
根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【详解】解：选①或②或③，
理由：当选①时：
∵，，，
∴，
∴；
当选②时，
∵，，，
∴，
∴；
当选③时，
过D、E分别作、的垂线交点G与点H．
在和中，
，，，
∴，
∴，，
在和中，
，，
∴，
∴，
∴，
即．
故选：D．
9．/
【分析】本题考查了三角形角平分线的性质，等面积法求高，掌握角平分线的性质定理是解题的关键．根据题意，作，根据角平分线的性质可得，根据三角形面积的计算方法可得，由此可得，由此即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作于点，作于点，过点作于点，
∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为： ．
10．2
【分析】本题考查了全等三角形的性质，线段的和差计算，掌握全等三角形的性质是解题的关键．
根据全等三角形的性质可得，再根据即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：2 ．
11．18
【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形面积公式；过点作于，根据角平分线的性质得，然后根据三角形面积公式计算即可．
【详解】解：过点作于，如图，
∵平分, ，
故答案为：18．
12．或或．（选择其一作答即可）
【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．根据题意要证明已有一个公共角和一对相等边，因此可以利用、、证明两三角形全等．
【详解】解：，
可以添加，此时满足；
可以添加，此时满足；
可以添加，此时满足；
故答案为：或或．（选择其一作答即可）
13．8
【分析】本题考查作图基本作图，角平分线的性质等知识，解题的关键是读懂图形信息，灵活运用所学知识解决问题．如图，过点作于点．利用角平分线的性质定理判断出，进而求解即可．
【详解】解：如图，过点作于点．
由作图可知平分，
，，
，
的面积．
故答案为：8．
14．3
【分析】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的角平分线与高的含义，三角形的外角的性质，灵活运用三角形的外角的性质解决问题是关键．由三角形的角平分线的含义可判断①，由三角形的高的含义可判断②，根据题意可知，，，，可判断③，由，，可得，从而可判断④，即可得答案．
【详解】解：是角平分线
，故①符合题意；
是边上的高，即
，故②符合题意；
是角平分线，平分
，
，
由②可知，
，故③不符合题意；
，
，故④符合题意；
故答案为：3．
15．2或
【分析】本题考查了全等三角形的性质，解一元一次方程的实际应用，解题的关键是掌握全等三角形对应边相等．
设运动时间为t秒，根据题意可得：，再进行分类讨论即可①当时， ②当时．
【详解】解：设运动时间为t秒，
根据题意可得：，
∵厘米，点E为中点，
∴厘米，
①当时，
，
解得：，
∴厘米，
∴厘米，
∴点Q的运动速度为（厘米/秒），
②当时，
，
解得：，
此时厘米，
∴点Q的运动速度为（厘米/秒），
故答案为：2或．
16．
【分析】本题考查全等三角形的应用，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理．
由点分别是的三等分点，，得出，根据三边对应相等，证明．
【详解】解：∵点分别是的三等分点，
，
，
，
在与中，
，
，
故答案为：．
17．(1)见解析
(2)见解析
【分析】题目主要考查角平分线的作法，全等三角形的判定和性质，熟练掌握角平分线的作法及全等三角形的判定和性质是解题关键．
（1）根据题意结合尺规作角平分线的方法作图即可；
（2）结合角平分线的定义可得，然后证明即可得到结论．
【详解】（1）解：如图，射线即为所作；
（2）证明：∵平分，
∴，
又∵，，
∴，
∴．
18．见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，先证明，即可得到，进而得到．
【详解】证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
，
∴．
19．见解析
【分析】先证明，则可得，然后根据即可证明．
本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
【详解】证明：∵和相交于点O，
∴．
在和中，
，
∴．
又∵，
∴，
∴．
在和中，
，
∴．
20．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定定理．
（1）由平行线的公理可得出，先证明，再证明，即可得结论；
（2）证明，得，然后根据角平分线的判定即可解决问题．
【详解】（1）证明：，
，
∵，
，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）证明：在和中，
，
，
∴．
平分．
21．①；②；③；④；⑤
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，先根据题意可得①处的条件为，再根据全等三角形的性质与判定定理结合已给推理过程证明即可．
【详解】解：由题意得，①处的条件为
证明：∵是的中线，是的中线，
∴，
又∵，
∴
在和中
∴
∴
在和中
∴
22．(1)，
(2)成立，证明见解析
(3)的长为：或；
【分析】（1）先证明，，再证明，再进一步可得答案；
（2）先证明，，再证明，再进一步可得答案；
（3）结合（1）（2）的结论可得答案．
【详解】（1）解：结论：，．理由如下：
理由：∵，，，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
∴；
（2）解：结论，成立，理由如下：
∵，，，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
∴；
（3）解：当在线段上时，结合（1）可得：
，
∵，
∴，
当在线段的延长线上时，结合（2）可得：
，
∵，
∴，
综上：的长为：或；
【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂直的定义，熟练的证明两个三角形全等是解本题的关键．
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