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初二数学模型小练-梯子模型+378模型+垂美四边形
一．初二数学提优专题 梯子模型（共7小题）
1．如图，一架2.5m长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯子的底部距墙底端0.7m，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4m，那么梯子的底部将平滑（ ）
A．0.9m B．1.5m C．0.5m D．0.8m
2．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米．则小巷的宽度为（ ）
A．0.7米 B．1.5米 C．2.2米 D．2.4米
3．如图，一根长10m的梯子AB斜靠在墙上，梯子的顶端A到地面的距离AO为8m，P为AB中点．
（1）当梯子的顶端A下滑1m时，求梯子底端B向外滑行的距离？
（2）请判断在木棍滑动的过程中，点P到点O的距离是否变化，若不变，则求出OP的长度，若变化，请说明理由；
（3）直接写出木棍滑动的过程中△AOB面积的最大值 ．
4．如图，有互相垂直的两面墙OM，ON，梯子AB＝6m，两端点A，B分别在两面墙上滑动（AB长度不变），P为AB的中点，柱子CD＝4m，底端C到墙角O的距离为6m．在此滑动过程中，点D到点P的距离的最小值为 m．
5．如图，∠MON＝90°，矩形ABCD在∠MON的内部，顶点A，B分别在射线OM，ON上，AB＝4，BC＝2，则点D到点O的最大距离是（ ）
A． B． C． D．
6．已知：如图∠MON＝90°，线段AB长为定值，点A，B分别在OM、ON上滑动，将AB绕点A逆时针旋转90°到AC，连接BC，取BC中点D，连接OD．（1）求证：OD平分∠MON；
（2）若AB＝8；
①当时，求OB的长．
②求OC的最大值．
7．已知∠MON＝α，点A，B分别在射线OM，ON上运动，AB＝6．
（1）如图①，若α＝90°，取AB中点D，点A，B运动时，点D也随之运动，点A，B，D的对应点分别为A′，B′，D′，连接OD，OD′．判断OD与OD′有什么数量关系？证明你的结论；
（2）如图②，若α＝60°，以AB为斜边在其右侧作等腰直角三角形ABC，求点O与点C的最大距离；
（3）如图③，若α＝45°，当点A，B运动到什么位置时，△AOB的面积最大？请说明理由，并求出△AOB面积的最大值．
二．课后练习（共8小题）
8．如图，一根长25m的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足底端7m，如果梯子的顶端下滑4m，那么梯足将向外滑动（ ）
A．7m B．8m C．9m D．15m
9．如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙AO上，测得AO＝4m，若梯子的顶端沿墙下滑1m，这时梯子的底端也下滑1m，则梯子AB的长度为（ ）
A．5m B．6m C．3m D．7m
10．如图，一架2.6m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为2.4m当梯子的顶端A沿墙向下滑的距离AC与梯子底端B向外移的距离BD相等时，AC的长是 m．
11．如图，“人字梯”放在水平的地面上，AB＝AC，当梯子的一边与地面所夹的锐角α为60°时，两梯角之间的距离BC的长为2m．周日亮亮帮助妈妈整理换季衣服，先使α为60°，后又调整α为45°，则梯子顶端A离地面的高度下降了 m．
12．如图，一架梯子AB斜靠在某个走廊竖直的左墙上，顶端在点A处，底端在水平地面的点B处．保持梯子底端B的位置不变，将梯子斜靠在竖直的右墙上，此时梯子的顶端在点E处．
（1）如图1，若顶端A距离地面的高度AC为2.4米，BC为0.7米．
①则梯子的长为 米；
②若顶端E距离地面的高度EF比AC少0.4米，求走廊的宽是多少米？
（2）如图2，G是线段AE上中点左侧一点，若BG＝2，AG GE，则梯子的长为 米．
13．如图，已知∠MON＝90°，长方形ABCD的顶点A，B在∠MON两边上运动，若AB＝4，CB＝2，则线段OD的最大值为（ ）
A． B． C．4 D．
14．如图，在直角坐标系中，一个Rt△ABC的斜边AB在两坐标轴上滑动，AB＝2，∠ABC＝30°，下面说法正确的个数是（ ）个．
①当B点与O点重合时，C点的坐标是（，）；
②滑动过程中，OC的最大值是2；
③滑动过程中，四边形OACB的面积的最大值是1；
④滑动过程中，AB的中点所走的路径是一条线段．
A．1 B．2 C．3 D．4
15．图中所示是一条宽为1.5m的直角走廊，现有一辆转动灵活的手推车，其矩形平板面ABCD的宽AB为1m，若要想顺利推过（不可竖起来或侧翻）直角走廊，平板车的长AD不能超过 m．
三．378和578模型（共3小题）
16．当两个三角形的边长分别为3，7，8和5，7，8时，则这两个三角形的面积之和是 ．
17．边长为5，7，8的三角形的最大角和最小角的和是（ ）
A．90° B．150° C．135° D．120°
18．我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积．用现代式子表示即为：①（其中a、b、c为三角形的三边长，s为面积）．
而另一个文明古国古希腊也有求三角形面积的海伦公式：
s②（其中p．）
（1）若已知三角形的三边长分别为5，7，8，试分别运用公式①和公式②，计算该三角形的面积s；
（2）你能否由公式①推导出公式②？请试试．
四．垂美四边形（共2小题）
19．如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由；
（2）性质探究：如图1，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD．试证明：AB2+CD2＝AD2+BC2；
（3）解决问题：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连结CE、BG、GE．已知AC＝2，AB＝3，求GE的长．
20．综合与实践
（1）【知识感知】如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形，在我们学过的：①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，能称为垂美四边形是 （只填序号）；
（2）【概念理解】如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由；
（3）【性质探究】如图1，垂美四边形ABCD的两对角线交于点O，试探究AB，CD，BC，AD之间有怎样的数量关系？写出你的猜想 ；
（4）【性质应用】如图3，分别以Rt△ABC的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE已知AC＝4，AB＝5，则GE长为 ．中小学教育资源及组卷应用平台
初二数学模型小练-梯子模型+378模型+垂美四边形
一．初二数学提优专题 梯子模型（共7小题）
1．如图，一架2.5m长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯子的底部距墙底端0.7m，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4m，那么梯子的底部将平滑（ ）
A．0.9m B．1.5m C．0.5m D．0.8m
【思路点拔】先根据梯子的顶端下滑了0.4米求出A′C的长，再根据勾股定理求出B′C的长，进而可得出结论．
【解答】解：∵梯子的顶端下滑了0.4米，
∴A′C＝2m，
∵在Rt△A′B′C中，A′B′＝2.5m，A′C＝2m，
∴B′C1.5m，
∴BB′＝B′C﹣BC＝1.5﹣0.7＝0.8m．
故选：D．
2．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米．则小巷的宽度为（ ）
A．0.7米 B．1.5米 C．2.2米 D．2.4米
【思路点拔】先根据题意求得∠ACB，∠ACB的度数，再求得CB，AC，DE的长，从而利用勾股定理求得AB的长；然后再利用勾股定理求得BD的长，进而利用线段的和差关系，求得CD即可．
【解答】解：如图，∠ACB＝∠ACB＝90°，CB＝0.7m，AC＝2.5m，DE＝2m．
在Rt△ABC中，AB2.5（m）．
∵AB＝BE，
∴BE＝2.5（m），
∴BD1.5（m），
∴CD＝CB+BD＝0.7+1.5＝2.2（m），即小巷的宽度为2.2米．
故选：C．
3．如图，一根长10m的梯子AB斜靠在墙上，梯子的顶端A到地面的距离AO为8m，P为AB中点．
（1）当梯子的顶端A下滑1m时，求梯子底端B向外滑行的距离？
（2）请判断在木棍滑动的过程中，点P到点O的距离是否变化，若不变，则求出OP的长度，若变化，请说明理由；
（3）直接写出木棍滑动的过程中△AOB面积的最大值 25m2 ．
【思路点拔】（1）由勾股定理求出BC及B'C的长，则可得出答案；
（2）根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半得出OPAB，即可得出答案；
（3）当△AOB的斜边上的高h等于中线OP时，△AOB的面积最大．
【解答】解：（1）∵Rt△ABC中，AC＝8m，AB＝10m，
∴BC6m，
∵Rt△A'B'C中，A'C＝8﹣1＝7m，A'B'＝10m，
∴B'C（m），
∴BB′＝B'C﹣BC＝（6）m．
（2）在木棍滑动的过程中，点P到点O的距离不变，OP是5m．
理由：在木棍滑动的过程中，AB的长是不变的，
∵P为AB中点，AB＝10m，
∴OPAB＝5m；
（3）如图，h为AB上的高，
若h与OP不相等，则总有h＜OP，故根据三角形面积公式，有h与OP相等时△AOB的面积最大，此时，
S△AOBAB h10×5＝25（m2）．
∴△AOB的最大面积为25m2．
故答案为：25m2．
4．如图，有互相垂直的两面墙OM，ON，梯子AB＝6m，两端点A，B分别在两面墙上滑动（AB长度不变），P为AB的中点，柱子CD＝4m，底端C到墙角O的距离为6m．在此滑动过程中，点D到点P的距离的最小值为 （23） m．
【思路点拔】利用直角三角形的性质得出OPAB＝3，得到点P的轨迹为以O为圆心，3m为半径的圆弧，连接OD交⊙O于P，则P到D的距离最小．根据勾股定理可求得OD，即可求出DP．
【解答】解：∵木棍的中点为P，△AOB为直角三角形，
∴OPAB＝3m，即点P到点O的距离为3m，
∴点P的轨迹为以O为圆心，3m为半径的弧上，如图，
连接OD交⊙O于P，则D到P的距离最小．
在弧上任取一点P′，连接OP′，DP′，
∵OP′+DP′＞OD＝OP+DP，OP＝OP′，
∴DP′＞DP，
∴DP为最小值，
在Rt△OCD中，OC＝6，CD＝4，
∴OD2，
∴PD＝OD﹣OP＝（23）（m），
故答案为：（23）．
5．如图，∠MON＝90°，矩形ABCD在∠MON的内部，顶点A，B分别在射线OM，ON上，AB＝4，BC＝2，则点D到点O的最大距离是（ ）
A． B． C． D．
【思路点拔】取AB中点E，连接OE、DE、OD，求出OE和DE值，利用三角形三边关系分析出当O、E、D三点共线时，OD最大为OE+DE．
【解答】解：如图，取AB中点E，连接OE、DE、OD，
∵∠MON＝90°，
∴OEAB＝2．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，AD＝BC＝2，
∵点E是AB的中点，
∴AEAB＝2，
在Rt△DAE中，DE2，
在△ODE中，根据三角形三边关系可知DE+OE＞OD，
∴当O、E、D三点共线时，OD最大为OE+DE＝22．
故选：A．
6．已知：如图∠MON＝90°，线段AB长为定值，点A，B分别在OM、ON上滑动，将AB绕点A逆时针旋转90°到AC，连接BC，取BC中点D，连接OD．（1）求证：OD平分∠MON；
（2）若AB＝8；
①当时，求OB的长．
②求OC的最大值．
【思路点拔】（1）连接AD，过点D作DE⊥OM于E，DF⊥ON于F，证明△DBF≌△DAE，由全等三角形的性质可得DE＝DF，由角平分线的判定定理即可证明OD平分∠MON；
（2）①首先根据等腰直角三角形的性质可得，进而可得，结合，易得OF＝DF＝5，然后利用勾股定理可得，即可获得答案；②取AB中点Q，连接OQ，CQ，OC，分别求得OQ，CQ的值，当O、Q、C三点共线时，OC取最大值，即可获得答案．
【解答】（1）证明：如图，连接AD，过点D作DE⊥OM于E，DF⊥ON于F，
则∠DEA＝∠DFB＝DFO＝90°，
∵AB绕点A旋转90°得到AC，
∴△BAC为等腰直角三角形，
∵D为BC中点，
∴DA＝DB且DA⊥DB，即∠ADB＝90°，
∵∠EDF＝360°﹣∠DEA﹣∠MON﹣∠DFO＝90°，
∴∠EDA+∠ADF＝∠ADF+∠FDB＝90°，
∴∠EDA＝∠FDB，
在△DBF和△DAE中，
，
∴△DBF≌△DAE（AAS），
∴DE＝DF，
∴OD平分∠MON；
（2）解：①∵AB＝8，
∴，
∵D为BC中点，
∴，
∵，
∵OD平分∠MON，
∴，
∵DF⊥ON，
∴∠ODF＝90°﹣∠DOF＝45°＝∠DOF，
∴OF＝DF，即△ODF为等腰直角三角形，
∴，
∴在Rt△DBF中，，
∴；
②取AB中点Q，连接OQ，CQ，OC，
∵∠MON＝90°，
∴，
，
∴OC≤OQ+CQ，
当O、Q、C三点共线时，OC取最大值，
此时．
7．已知∠MON＝α，点A，B分别在射线OM，ON上运动，AB＝6．
（1）如图①，若α＝90°，取AB中点D，点A，B运动时，点D也随之运动，点A，B，D的对应点分别为A′，B′，D′，连接OD，OD′．判断OD与OD′有什么数量关系？证明你的结论；
（2）如图②，若α＝60°，以AB为斜边在其右侧作等腰直角三角形ABC，求点O与点C的最大距离；
（3）如图③，若α＝45°，当点A，B运动到什么位置时，△AOB的面积最大？请说明理由，并求出△AOB面积的最大值．
【思路点拔】（1）根据“直角三角形斜边中线等于斜边一半”可得OD，OD′，进而得出结论；
（2）作△AOB的外接圆I，连接CI并延长，分别交⊙I于O′和D，当O运动到O′时，OC最大，求出CD和等边三角形AO′B上的高O′D，进而求得结果；
（3）作等腰直角三角形AIB，以I为圆心，AI为半径作⊙I，取AB的中点C，连接CI并延长交⊙I于O，此时△AOB的面积最大，进一步求得结果．
【解答】解：（1）OD＝OD′，理由如下：
在Rt△AOB中，点D是AB的中点，
∴OD，
同理可得：OD′，
∵AB＝A′B′，
∴OD＝OD′；
（2）如图1，
作△AOB的外接圆I，连接CI并延长，分别交⊙I于O′，交AB于D，
当O运动到O′时，OC最大，
此时△AOB是等边三角形，
∴BO′＝AB＝6，
OC最大＝CO′＝CD+DO′BO′＝3+3；
（3）如图2，
作等腰直角三角形AIB，以I为圆心，AI为半径作⊙I，
∴AI3，∠AOB，
则点O在⊙I上，取AB的中点C，连接CI并延长交⊙I于O，
此时△AOB的面积最大，此时OA＝OB，
∵OC＝CI+OIAB+33+3，
∴S△AOB最大9+9，
∴当OA＝OB时，△AOB的最大面积是9+9．
二．课后练习（共8小题）
8．如图，一根长25m的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足底端7m，如果梯子的顶端下滑4m，那么梯足将向外滑动（ ）
A．7m B．8m C．9m D．15m
【思路点拔】利用勾股定理进行解答．先求出下滑后梯子底端距离墙角的距离，再计算梯子底端滑动的距离．
【解答】解：梯子顶端距离墙角地距离为24m，
顶端下滑后梯子底端距离墙角的距离为15m，
15m﹣7m＝8m．
故选：B．
9．如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙AO上，测得AO＝4m，若梯子的顶端沿墙下滑1m，这时梯子的底端也下滑1m，则梯子AB的长度为（ ）
A．5m B．6m C．3m D．7m
【思路点拔】设BO＝x m，利用勾股定理用x表示出AB和CD的长，进而求出x的值，然后由勾股定理求出AB的长度．
【解答】解：设BO＝x m，
由题意得：AC＝1m，BD＝1m，AO＝4m，
在Rt△AOB中，根据勾股定理得：AB2＝AO2+OB2＝42+x2，
在Rt△COD中，根据勾股定理得：CD2＝CO2+OD2＝（4﹣1）2+（x+1）2，
∴42+x2＝（4﹣1）2+（x+1）2，
解得：x＝3，
∴AB5（m），
即梯子AB的长为5m，
故选：A．
10．如图，一架2.6m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为2.4m当梯子的顶端A沿墙向下滑的距离AC与梯子底端B向外移的距离BD相等时，AC的长是 1.4 m．
【思路点拔】先根据勾股定理求出OB的长，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：∵∠O＝90°，AB＝2.6，OA＝2.4，
∴OB1，
设AC＝BD＝x，
∴OC＝2.4﹣x，OD＝1+x，
∴CD2＝OC2+OD2，
∴2.62＝（2.4﹣x）2+（1+x）2，
解得：x＝1.4，
∴AC＝1.4．
故答案为：1.4．
11．如图，“人字梯”放在水平的地面上，AB＝AC，当梯子的一边与地面所夹的锐角α为60°时，两梯角之间的距离BC的长为2m．周日亮亮帮助妈妈整理换季衣服，先使α为60°，后又调整α为45°，则梯子顶端A离地面的高度下降了 （） m．
【思路点拔】根据题意画出图形，进而利用锐角三角函数关系得出答案．
【解答】解：如图1所示：
过点A作AD⊥BC于点D，
由题意可得：∠B＝∠C＝60°，
则△ABC是等边三角形，
故BC＝AB＝AC＝2m，
则AD＝2sin60°m，
如图2所示：
过点A作AE⊥BC于点E，
由题意可得：∠B＝∠C＝60°，
则△ABC是等腰直角三角形，AC＝AB，
则AEBCm，
故梯子顶端离地面的高度AD下降了（）m．
故答案为：（）．
12．如图，一架梯子AB斜靠在某个走廊竖直的左墙上，顶端在点A处，底端在水平地面的点B处．保持梯子底端B的位置不变，将梯子斜靠在竖直的右墙上，此时梯子的顶端在点E处．
（1）如图1，若顶端A距离地面的高度AC为2.4米，BC为0.7米．
①则梯子的长为 2.5 米；
②若顶端E距离地面的高度EF比AC少0.4米，求走廊的宽是多少米？
（2）如图2，G是线段AE上中点左侧一点，若BG＝2，AG GE，则梯子的长为 （1） 米．
【思路点拔】（1）①在Rt△ABC中，根据勾股定理求解；
②在Rt△BEF中，根据勾股定理求出BF，走廊的宽CF＝BC+BF即可求解；
（2）设AE的中点为H，连结BH，设AG＝x米，得到GE米，在Rt△ABH和Rt△BGH中，分别求出BH2，列出方程求解即可得出答案．
【解答】解：（1）①在Rt△ABC中，
AB
＝2.5（米），
故答案为：2.5；
②∵梯子的长度不变，
∴BE＝AB＝2.5，
∵顶端E距离地面的高度EF比AC少0.4米，
∴EF＝2.4﹣0.4＝2，
在Rt△BEF中，
BF
＝1.5，
∴CF＝BC+BF＝0.7+1.5＝2.2（米），
答：走廊的宽是2.2米；
（2）如图，设AE的中点为H，连接BH，
设AG＝x米，
∵AG GE，
∴GE米，
设梯子的长为y米，
∵AB＝BE，AE的中点为H
∴BH⊥AE，
在Rt△ABH中，BH2＝AB2﹣AH2＝y2﹣（）2，
在Rt△BGH中，BH2＝BG2﹣GH2＝22﹣（x）2，
∴y2﹣（）2＝22﹣（x）2，
化简得：y2＝4+2，
∴y1．
∴梯子的长为（1）米，
故答案为：（1）．
13．如图，已知∠MON＝90°，长方形ABCD的顶点A，B在∠MON两边上运动，若AB＝4，CB＝2，则线段OD的最大值为（ ）
A． B． C．4 D．
【思路点拔】取AB的中点E，连接OE、DE、OD，根据三角形的任意两边之和大于第三边可知当O、D、E三点共线时，点D到点O的距离最大，再根据勾股定理列式求出DE的长，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出OE的长，两者相加即可得解．
【解答】解：如图，取AB的中点E，连接OE、DE、OD，
∵OD＜OE+DE，
∴当O、D、E三点共线时，点D到点O的距离最大，
此时，∵AB＝4，点E是AB的中点，
∴OE＝AEAB＝2，
在Rt△ADE中，DE2，
∴OD的最大值＝22．
故选：A．
14．如图，在直角坐标系中，一个Rt△ABC的斜边AB在两坐标轴上滑动，AB＝2，∠ABC＝30°，下面说法正确的个数是（ ）个．
①当B点与O点重合时，C点的坐标是（，）；
②滑动过程中，OC的最大值是2；
③滑动过程中，四边形OACB的面积的最大值是1；
④滑动过程中，AB的中点所走的路径是一条线段．
A．1 B．2 C．3 D．4
【思路点拔】根据解直角三角形的运用、四点共圆的性质、三角形的内角和定理、三角形的面积公式以及二次函数的性质逐项分析即可．
【解答】解：由解直角三角形知①正确；
取AB的中点D，（如图1）连OD、CD，则CO≤DC+OD（当O、D、C三点共线时取等号），此时OC＝AB＝2，知②正确；
（另外也可以这样考虑，如图2，∠AOB＝∠ACB＝90°，则∠AOB+∠ACB＝180°，O、A、C、B四点共圆，OC为⊙D的弦，OC≤AB＝2，当OC为⊙D的直径时，OC最大是2，也得结论②正确；
由于△ABC的面积是1（定值），当△AOB面积最大时，四边形的面积最大，当△AOB是等腰直角三角形时，面积最大是1，所以滑动过程中，四边形OACB的面积的最大值是1；故结论③正确；
（另一种是二次函数，设OA＝x，则OB，S△AOBx1（等号仅当x时取得），所四边形OACB最大面积是1，故③正确）
取AB的中点D，如图4，由于OD的长度始终是AB的一半，为1，且D为动点，O为定点，动点D到定点O的距离等于定长1的点轨迹是一个圆（弧），故④错，（如图5红色是AB的中点的轨迹，说明：除中点D和端点A、B外，其它点的轨迹是椭圆，那是高中的知识，设P（x，y）是AB上的一点，∠DAC＝θ，且AP＝a，则，解得：1（0＜a＜2，0＜x＜2，0＜y＜2），仅当a＝1时即AB的中点轨迹是圆的一部分．）
故选：C．
15．图中所示是一条宽为1.5m的直角走廊，现有一辆转动灵活的手推车，其矩形平板面ABCD的宽AB为1m，若要想顺利推过（不可竖起来或侧翻）直角走廊，平板车的长AD不能超过 （） m．
【思路点拔】如图，先设平板手推车的长度不能超过x米，则得出x为最大值时，平板手推车所形成的三角形CBE为等腰直角三角形．连接EF，与BC交于点G，利用△CBE为等腰直角三角形即可求得平板手推车的长度不能超过多少米．
【解答】解：设平板手推车的长度不能超过x米，
则x为最大值，且此时平板手推车所形成的三角形CBE为等腰直角三角形．
连接EF，与BC交于点G．
∵直角走廊的宽为1.5m，
∴EFm，
∴GE＝EF﹣FG＝（1）m．
又∵△CBE为等腰直角三角形，
∴AD＝BC＝2CG＝2GE＝（32）m．
故答案为：（32）．
三．378和578模型（共3小题）
16．当两个三角形的边长分别为3，7，8和5，7，8时，则这两个三角形的面积之和是 16 ．
【思路点拔】根据海伦公式分别求出两个三角形的面积，再相加即可．
【解答】解：当三角形的边长为：3，7，8时，P，
∴S
；
当三角形的边长为：5，7，8时，P，
∴S
，
则两个三角形的面积之和为：．
故答案为：．
17．边长为5，7，8的三角形的最大角和最小角的和是（ ）
A．90° B．150° C．135° D．120°
【思路点拔】过点A作AD⊥BC于D，设CD＝x，则BD＝BC﹣CD＝5﹣x，由勾股定理得72﹣（5﹣x）2＝82﹣x2，得出CD＝4，则CDAC，再证∠CAD＝30°，则∠C＝60°，然后由三角形内角和定理即可求解．
【解答】解：如图，△ABC中，AB＝7，AC＝8，BC＝5，
过点A作AD⊥BC于D，
设CD＝x，
则BD＝BC﹣CD＝5﹣x，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD2＝AB2﹣BD2，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：AD2＝AC2﹣CD2，
∴AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，
即：72﹣（5﹣x）2＝82﹣x2，
解得：x＝4，
∴CD＝4，
∴CDAC，
∴∠CAD＝30°，
∴∠C＝90°﹣30°＝60°，
∴∠BAC+∠ABC＝180°﹣60°＝120°，
故选：D．
18．我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积．用现代式子表示即为：①（其中a、b、c为三角形的三边长，s为面积）．
而另一个文明古国古希腊也有求三角形面积的海伦公式：
s②（其中p．）
（1）若已知三角形的三边长分别为5，7，8，试分别运用公式①和公式②，计算该三角形的面积s；
（2）你能否由公式①推导出公式②？请试试．
【思路点拔】（1）代入计算即可；
（2）需要在括号内都乘以4，括号外再乘，保持等式不变，构成完全平方公式，再进行计算．
【解答】解：（1）s，
；
p（5+7+8）＝10，
又s；
（2）（）
，
（c+a﹣b）（c﹣a+b）（a+b+c）（a+b﹣c），
（2p﹣2a）（2p﹣2b） 2p （2p﹣2c），
＝p（p﹣a）（p﹣b）（p﹣c），
∴．
（说明：若在整个推导过程中，始终带根号运算当然也正确）
四．垂美四边形（共2小题）
19．如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由；
（2）性质探究：如图1，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD．试证明：AB2+CD2＝AD2+BC2；
（3）解决问题：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连结CE、BG、GE．已知AC＝2，AB＝3，求GE的长．
【思路点拔】（1）连接AC、BD，根据垂直平分线的判定定理证明即可；
（2）根据垂直的定义和勾股定理解答即可；
（3）连接CG、BE，证△GAB≌△CAE（SAS），得∠ABG＝∠AEC，再证四边形CGEB是垂直四边形，然后由垂直四边形的性质、勾股定理、结合（2）的结论计算即可．
【解答】解：（1）四边形ABCD是垂直四边形．理由如下：
如图2，连接AC、BD，
∵AB＝AD，
∴点A在线段BD的垂直平分线上，
∵CB＝CD，
∴点C在线段BD的垂直平分线上，
∴直线AC是线段BD的垂直平分线，
∴AC⊥BD，
即四边形ABCD是垂直四边形；
（2）AB2+CD2＝AD2+BC2，理由如下：
∵AC⊥BD，
∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，
由勾股定理得，AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，
AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，
∴AB2+CD2＝AD2+BC2；
（3）如图3，连接CG、BE，
∵正方形ACFG和正方形ABDE，
∴AG＝AC＝2，AB＝AE＝3，∠CAG＝∠BAE＝90°，
∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，
即∠GAB＝∠CAE，
∴△GAB≌△CAE（SAS），
∴∠ABG＝∠AEC，
∵∠AEC+∠AME＝90°，
∴∠ABG+∠AME＝90°，
∵∠AME＝∠BMN，
∴∠ABG+∠BMN＝90°，
∴∠BNM＝90°，
∴CE⊥BG，
∴四边形CGEB是垂直四边形，
由（2）得，CG2+BE2＝CB2+GE2，
∵AC＝2，AB＝3，
∴BC，
∵CG2，BE3，
∴GE2＝CG2+BE2﹣BC2＝（2）2+（3）2﹣（）2＝21，
∴GE．
20．综合与实践
（1）【知识感知】如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形，在我们学过的：①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，能称为垂美四边形是 ③④ （只填序号）；
（2）【概念理解】如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由；
（3）【性质探究】如图1，垂美四边形ABCD的两对角线交于点O，试探究AB，CD，BC，AD之间有怎样的数量关系？写出你的猜想 AD2+BC2＝AB2+CD2 ；
（4）【性质应用】如图3，分别以Rt△ABC的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE已知AC＝4，AB＝5，则GE长为 ．
【思路点拔】（1）根据各几何图形的性质即可求解；
（2）连接AC，BD，由题意得点A在线段BD的垂直平分线上，点C在线段BD的垂直平分线上，据此即可求解；
（3）根据AD2＝AO2+DO2，BC2＝BO2+CO2，AB2＝AO2+BO2，CD2＝CO2+DO2即可求解；
（4）连接BE、CG，设AB与CE交于点M，证△CAE≌△GAB得∠ABG＝∠AEC，可得CE⊥BG，结合（3）的结论即可求解．
【解答】解：（1）∵菱形和正方形的对角线均互相垂直，
∴菱形和正方形是垂美四边形，
故答案为：③④
（2）四边形ABCD是垂美四边形，理由如下：
连接AC，BD，如图所示：
∵AB＝AD，CB＝CD
∴点A在线段BD的垂直平分线上，点C在线段BD的垂直平分线上，
∴直线AC是线段BD的垂直平分线，
∴AC⊥BD
即：四边形ABCD是垂美四边形；
（3）∵AD2＝AO2+DO2，BC2＝BO2+CO2，AB2＝AO2+BO2，CD2＝CO2+DO2，
∴AD2+BC2＝AO2+BO2+CO2+DO2＝AB2+CD2，
故答案为：AD2+BC2＝AB2+CD2；
（4）如图3，连接BE、CG，设AB与CE交于点M，
由题意得：AB＝AE，AG＝AC，∠BAE＝∠GAC＝90°，
∴∠BAE+∠CAB＝∠GAC+∠CAB，
即：∠CAE＝∠GAB，
∴△CAE≌△GAB（SAS），
∴∠ABG＝∠AEC，
∵∠AEC+∠AME＝90°，∠AME＝∠CMB，
∴∠ABG+∠CMB＝90°，
∴CE⊥BG，
由（3）可得：GE2+BC2＝CG2+BE2，
∵AC＝AG＝4，AB＝AE＝5，
∴，
∴GE2+9＝32+50，
∴．
故答案为：．
