江苏省南通市如皋市十四校联考2024-2025学年高三上学期教学质量调研（二）数学试题（含解析）
文档属性
| 名称 | 江苏省南通市如皋市十四校联考2024-2025学年高三上学期教学质量调研（二）数学试题（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.1MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-11-08 12:20:10 | ||
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文档简介
江苏省南通市如皋市十四校联考2024-2025学年高三上学期教学质量调研（二）数学试题
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上）
1.某运动员在一次训练中共射击6次，射击成绩（单位：环）如下：6，7，7，9，9，10.则下列说法正确的是（ ）
A、成绩的极差为-4 B．成绩的第50百分位数等于成绩的平均数
C．成绩的中位数为7和9 D．若增加一个成绩8，则成绩的方差不变
2.已知集合，若，则实数取值范围为（ ）
A. B. C. D.
3.抛掷质地均匀的骰子两次，得到的点数分别为m，n.设平面向量，则向量不能作为平面内的一组基底的概率为（ ）
A. B. C. D.
4.若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
5.已知x，y为正实数，则可成为“”的充要条件的是（ ）
A. B. C. D.
6.位于如皋市定慧寺内的观音塔，是一座仿明清古塔建筑，具有七层、八角彩绘的外观．观音塔除去塔尖部分可近似视为一个正四棱台，现有一个除去塔尖的观音塔模型，塔底宽20cm，塔顶宽10cm，侧面面积为，据此计算该观音塔模型体积为（ ）．
A.31500 B.30000 C.10500 D.10000
7.已知动点在拋物线上，定点.圆上两个动点A，B满足，则的最小值为（ ）
A.7 B.6 C.5 D.4
8.已知函数的定义域为，对内的任意两个不相等的数，都有且.若实数m，n满足，则的最小值为（ ）
A. B. C.20 D.19
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上）
9.下列函数中，在区间上单调递减的函数是（ ）
A. B. C. D.
10.随机事件A，B满足，则下列说法正确的是（ ）
A.事件与互斥 B.事件与相互独立 C. D.
11.在平面直角坐标系xOy中，椭圆的左、右焦点分别为，经过点的直线与椭圆交于A，B两点（其中点A在轴上方），连接.现将平面沿轴向上折叠，使得面面，则下列说法正确的是（ ）
A.当直线的倾斜角为时，
B.当直线的倾斜角为时，三棱锥的外接球的表面积为
C.三棱锥的体积最大值为 D.当折叠后的周长为时，直线的斜率为
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共计15分.请把答案填写在答题卡相应位置上）
12.已知为虚数单位，复数满足，则______.
13.某工厂生产的产品的长度l（单位：cm）服从正态分布，按长度l分为5级：为一级，为二级，为三级，为四级，为废品.将一级与二级产品称为优品.对该工厂生产的产品进行随机抽查，每次抽取1个，则抽到优品的概率______（精确到0.1）.若抽出的是优品，则抽查终止，否则继续抽查直到抽到优品，则抽查次数不超过两次的概率为______.
附：，
14.在平面直角坐标系xOy中，椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上且的平行线OQ与的角平分线交于，则椭圆的离心率为______.
四、解答题（本大题共5小题，共计77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分13分）
在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点在边AC上且，.
（1）求证：；
（2）若，求的最大值.
16.（本小题满分15分）
为调查某地区学生在高中学习中错题订正整理情况与考试成绩的关系．首先对该地区所有高中学生错题订正整理情况进行分值评价，给出得分；再组织考试.从这些学生中随机抽取20名学生的错题订正整理情况得分和对应的考试成绩作为样本，得到样本数据，其中和分别表示第个样本错题订正整理情况得分和对应的考试成绩，计算得.
（1）求样本的相关系数（精确到0.01），并推断考试成绩和错题订正整理情况得分的相关程度；
（2）已知20个样本中有8个样本的考试成绩低于样本平均数.利用频率估计概率，从该地区所有高中学生中随机抽取4个学生的错题订正整理情况得分和对应的考试成绩，记抽到考试成绩低于的个数为X，求随机变量X的分布列.
附：相关系数.
17.（本小题满分15分）
在三棱锥中，是边长为2的正三角形，P，M分别为线段AD，CD的中点，，平面平面BCD.
（1）求证：；
（2）若AC与平面BCP所成角的余弦值为，求二面角的余弦值.
18.（本小题满分17分）
已知函数的导函数为，且.
（1）求函数在点处的切线方程；
（2）若对于任意的恒成立，求实数的取值范围.
19.（本小题满分17分）
已知双曲线过点，其渐近线方程为.圆过点，与轴交于E，F.记直线EA与双曲线的另一个交点为，直线FA与双曲线的另一个交点为.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）求证：直线AE和直线AF斜率之积为定值；
（3）判断直线PQ与圆的位置关系，并说明理由.
2024-2025学年度高三年级第一学期教学质量调研（二）
数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.【答案】B
【解析】，极差为错．
第50百分位数，平均数B对.
2.【答案】A
【解析】，则，
或，则，选A.
3.【答案】A
【解析】不能作为基底，则，即，选A.
4.【答案】C
【解析】，选C.
5.【答案】D
【解析】错．
，В错.
，C错，选D.
6.【答案】C
【解析】每个侧面面积，侧面的高，则
侧棱长，正四棱台的高，
选C.
7.【答案】D
【解析】，则为AB中点，，则
（其中为到准线的距离），选D.
8.【答案】B
【解析】，令和原式比较
都有在上单调递增
，选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.【答案】AC
【解析】在单调递减，A对.
在单调递增，B错．
在单调递减，C对.
在单调递增，单调递减，D错，选AC.
10.【答案】ABC
【解析】与一定互斥，A对
独立，B对.
对.
错
11.【答案】ABD
【解析】方法一：对于A，当倾斜角为时，方程为
此时位于椭圆短轴的一个端点，，
又平面平面平面正确.
（图中绿色为平面折叠后的面）
对于B，当1倾斜角为时，为等边三角形，边长为2，
外接圆半径外接圆半径
三棱锥外接球半径为，
B正确.
对于C，设直线AB方程为
平面面
错.
对于D，如图建系，翻折前原先，
翻折后，
由
①
②，
联立①②
正确，选ABD.
方法二：当的倾斜角为时，，此时，
又面面面对.
外接圆圆心到距离，
外接圆半径，
，圆心到距离
外接球半径B对.
令，则
到距离
，C错.
对于D，同法一
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.【答案】
【解析】.
13.【答案】0.2；0.36
【解析】优品满足
（第一空）
（第二空）
14.【答案】
【解析】延长OQ与交于，则为中点，
而QPN为等腰三角形，，即
又
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.【解析】方法一：
由正弦定理：得
.
（2），又
所以BD为的角平分线，
设
则
又在中，由余弦定理得，
即：，当且仅当时“=”号成立，
.
方法二：（1）
即.
（2）设，
在中，①，
在中，②，
由①②得，，下同法一
方法三：（2），
两边同时平方得
即，所以，
所以，下同法一.
16.【解析】
（1），
接近考试成绩和错题订正整理情况得分高度相关.
（2）考试成绩低于样本平均数的概率记为，
则
x 0 1 2 3 4
p
17.【解析】
（1）证明：取BD中点，连接AQ
为正三角形，，
为BD中点，，
面ABD，面面BCD，面面
上面BCD，又面，
面ABD
又面
（2）方法一：由（1）可知面ABD，建立空间直角坐标系如图，
，
设，则，记平面BCP的一个法向量为
令，则
与平面BCP所成角余弦值为正弦值为.
或
又.
设面BPM的一个法向量为
设面BMD的一个法向量为
取
由图可知二面角的平面为锐角，二面角的余弦值为.
方法二：由（1）面BCD
过作，则，以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，
设
所以，
设平面BCP的法向量为
，令得
与平面BCP所成角余弦值为，
与平面BCP所成角正弦值为.
，或
又
因为平面BDM的法向量
设平面BMP的法向量为
，令得
，下同法一
方法三：由（1）可知面ABD得，
所以面ACD，面面ACD，
与平面BCP所成角为，设，
，又为AD的中点，
在中，，
或，又.
过作交BD于，过作于，连接PF，
为二面角的平面角.
因为，所以.
由图可知二面角的平面角为锐角，二面角的余弦值为.
18.【解析】
方法一：（1）
，切点在处的切线方程为
（2）
①当时，左边右边，不等式显然成立.
②当时，
令
当时，在上单调递减
③当时，
令，当时，单调递减；
当时，单调递增.
综上：的取值范围为.
方法二：（1），
令，则
，即：.
（2）令
恒成立，在上递增.
①若，即对
在单调递减，
与矛盾，无解，舍去.
②若，即，
在上递增
故.
③若即：时，
使得，即：
即：
，故
综上．
方法三：（2）①当时，恒成立；
②当时，；
③当时，，
令
所以在上单调递减，上单调递增，所以.
19.【解析】
（1）由题意知，双曲线的标准方程为.
（2）方法一：设，其中，而
方法二：设，
则
则
代入点得：
（3）方法一：由（2）知，
将双曲线平移至，即，此时平移至
此时P，Q分别平移至，
设直线方程为代入：双曲线
直线恒过定点恒过定点，
显然在圆内，恒与圆相交.
方法二：，
，同理：
恒过点，由（2）圆
即：，代入得
点在圆内，与圆相交.
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上）
1.某运动员在一次训练中共射击6次，射击成绩（单位：环）如下：6，7，7，9，9，10.则下列说法正确的是（ ）
A、成绩的极差为-4 B．成绩的第50百分位数等于成绩的平均数
C．成绩的中位数为7和9 D．若增加一个成绩8，则成绩的方差不变
2.已知集合，若，则实数取值范围为（ ）
A. B. C. D.
3.抛掷质地均匀的骰子两次，得到的点数分别为m，n.设平面向量，则向量不能作为平面内的一组基底的概率为（ ）
A. B. C. D.
4.若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
5.已知x，y为正实数，则可成为“”的充要条件的是（ ）
A. B. C. D.
6.位于如皋市定慧寺内的观音塔，是一座仿明清古塔建筑，具有七层、八角彩绘的外观．观音塔除去塔尖部分可近似视为一个正四棱台，现有一个除去塔尖的观音塔模型，塔底宽20cm，塔顶宽10cm，侧面面积为，据此计算该观音塔模型体积为（ ）．
A.31500 B.30000 C.10500 D.10000
7.已知动点在拋物线上，定点.圆上两个动点A，B满足，则的最小值为（ ）
A.7 B.6 C.5 D.4
8.已知函数的定义域为，对内的任意两个不相等的数，都有且.若实数m，n满足，则的最小值为（ ）
A. B. C.20 D.19
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上）
9.下列函数中，在区间上单调递减的函数是（ ）
A. B. C. D.
10.随机事件A，B满足，则下列说法正确的是（ ）
A.事件与互斥 B.事件与相互独立 C. D.
11.在平面直角坐标系xOy中，椭圆的左、右焦点分别为，经过点的直线与椭圆交于A，B两点（其中点A在轴上方），连接.现将平面沿轴向上折叠，使得面面，则下列说法正确的是（ ）
A.当直线的倾斜角为时，
B.当直线的倾斜角为时，三棱锥的外接球的表面积为
C.三棱锥的体积最大值为 D.当折叠后的周长为时，直线的斜率为
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共计15分.请把答案填写在答题卡相应位置上）
12.已知为虚数单位，复数满足，则______.
13.某工厂生产的产品的长度l（单位：cm）服从正态分布，按长度l分为5级：为一级，为二级，为三级，为四级，为废品.将一级与二级产品称为优品.对该工厂生产的产品进行随机抽查，每次抽取1个，则抽到优品的概率______（精确到0.1）.若抽出的是优品，则抽查终止，否则继续抽查直到抽到优品，则抽查次数不超过两次的概率为______.
附：，
14.在平面直角坐标系xOy中，椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上且的平行线OQ与的角平分线交于，则椭圆的离心率为______.
四、解答题（本大题共5小题，共计77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分13分）
在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点在边AC上且，.
（1）求证：；
（2）若，求的最大值.
16.（本小题满分15分）
为调查某地区学生在高中学习中错题订正整理情况与考试成绩的关系．首先对该地区所有高中学生错题订正整理情况进行分值评价，给出得分；再组织考试.从这些学生中随机抽取20名学生的错题订正整理情况得分和对应的考试成绩作为样本，得到样本数据，其中和分别表示第个样本错题订正整理情况得分和对应的考试成绩，计算得.
（1）求样本的相关系数（精确到0.01），并推断考试成绩和错题订正整理情况得分的相关程度；
（2）已知20个样本中有8个样本的考试成绩低于样本平均数.利用频率估计概率，从该地区所有高中学生中随机抽取4个学生的错题订正整理情况得分和对应的考试成绩，记抽到考试成绩低于的个数为X，求随机变量X的分布列.
附：相关系数.
17.（本小题满分15分）
在三棱锥中，是边长为2的正三角形，P，M分别为线段AD，CD的中点，，平面平面BCD.
（1）求证：；
（2）若AC与平面BCP所成角的余弦值为，求二面角的余弦值.
18.（本小题满分17分）
已知函数的导函数为，且.
（1）求函数在点处的切线方程；
（2）若对于任意的恒成立，求实数的取值范围.
19.（本小题满分17分）
已知双曲线过点，其渐近线方程为.圆过点，与轴交于E，F.记直线EA与双曲线的另一个交点为，直线FA与双曲线的另一个交点为.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）求证：直线AE和直线AF斜率之积为定值；
（3）判断直线PQ与圆的位置关系，并说明理由.
2024-2025学年度高三年级第一学期教学质量调研（二）
数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.【答案】B
【解析】，极差为错．
第50百分位数，平均数B对.
2.【答案】A
【解析】，则，
或，则，选A.
3.【答案】A
【解析】不能作为基底，则，即，选A.
4.【答案】C
【解析】，选C.
5.【答案】D
【解析】错．
，В错.
，C错，选D.
6.【答案】C
【解析】每个侧面面积，侧面的高，则
侧棱长，正四棱台的高，
选C.
7.【答案】D
【解析】，则为AB中点，，则
（其中为到准线的距离），选D.
8.【答案】B
【解析】，令和原式比较
都有在上单调递增
，选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.【答案】AC
【解析】在单调递减，A对.
在单调递增，B错．
在单调递减，C对.
在单调递增，单调递减，D错，选AC.
10.【答案】ABC
【解析】与一定互斥，A对
独立，B对.
对.
错
11.【答案】ABD
【解析】方法一：对于A，当倾斜角为时，方程为
此时位于椭圆短轴的一个端点，，
又平面平面平面正确.
（图中绿色为平面折叠后的面）
对于B，当1倾斜角为时，为等边三角形，边长为2，
外接圆半径外接圆半径
三棱锥外接球半径为，
B正确.
对于C，设直线AB方程为
平面面
错.
对于D，如图建系，翻折前原先，
翻折后，
由
①
②，
联立①②
正确，选ABD.
方法二：当的倾斜角为时，，此时，
又面面面对.
外接圆圆心到距离，
外接圆半径，
，圆心到距离
外接球半径B对.
令，则
到距离
，C错.
对于D，同法一
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.【答案】
【解析】.
13.【答案】0.2；0.36
【解析】优品满足
（第一空）
（第二空）
14.【答案】
【解析】延长OQ与交于，则为中点，
而QPN为等腰三角形，，即
又
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.【解析】方法一：
由正弦定理：得
.
（2），又
所以BD为的角平分线，
设
则
又在中，由余弦定理得，
即：，当且仅当时“=”号成立，
.
方法二：（1）
即.
（2）设，
在中，①，
在中，②，
由①②得，，下同法一
方法三：（2），
两边同时平方得
即，所以，
所以，下同法一.
16.【解析】
（1），
接近考试成绩和错题订正整理情况得分高度相关.
（2）考试成绩低于样本平均数的概率记为，
则
x 0 1 2 3 4
p
17.【解析】
（1）证明：取BD中点，连接AQ
为正三角形，，
为BD中点，，
面ABD，面面BCD，面面
上面BCD，又面，
面ABD
又面
（2）方法一：由（1）可知面ABD，建立空间直角坐标系如图，
，
设，则，记平面BCP的一个法向量为
令，则
与平面BCP所成角余弦值为正弦值为.
或
又.
设面BPM的一个法向量为
设面BMD的一个法向量为
取
由图可知二面角的平面为锐角，二面角的余弦值为.
方法二：由（1）面BCD
过作，则，以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，
设
所以，
设平面BCP的法向量为
，令得
与平面BCP所成角余弦值为，
与平面BCP所成角正弦值为.
，或
又
因为平面BDM的法向量
设平面BMP的法向量为
，令得
，下同法一
方法三：由（1）可知面ABD得，
所以面ACD，面面ACD，
与平面BCP所成角为，设，
，又为AD的中点，
在中，，
或，又.
过作交BD于，过作于，连接PF，
为二面角的平面角.
因为，所以.
由图可知二面角的平面角为锐角，二面角的余弦值为.
18.【解析】
方法一：（1）
，切点在处的切线方程为
（2）
①当时，左边右边，不等式显然成立.
②当时，
令
当时，在上单调递减
③当时，
令，当时，单调递减；
当时，单调递增.
综上：的取值范围为.
方法二：（1），
令，则
，即：.
（2）令
恒成立，在上递增.
①若，即对
在单调递减，
与矛盾，无解，舍去.
②若，即，
在上递增
故.
③若即：时，
使得，即：
即：
，故
综上．
方法三：（2）①当时，恒成立；
②当时，；
③当时，，
令
所以在上单调递减，上单调递增，所以.
19.【解析】
（1）由题意知，双曲线的标准方程为.
（2）方法一：设，其中，而
方法二：设，
则
则
代入点得：
（3）方法一：由（2）知，
将双曲线平移至，即，此时平移至
此时P，Q分别平移至，
设直线方程为代入：双曲线
直线恒过定点恒过定点，
显然在圆内，恒与圆相交.
方法二：，
，同理：
恒过点，由（2）圆
即：，代入得
点在圆内，与圆相交.