2024年秋季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校期中联考
高三数学试卷
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.
【答案】B
2.
【答案】C
3.
【答案】A
4.
【答案】B
5.
【答案】D
6.
【答案】B
7.
【答案】B
8.
【答案】C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9.
【答案】BCD
10.
【答案】ABD
11.
【答案】AC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.
【答案】2
13.
【答案】
14.
【答案】
四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）设出等差数列的公差，由给定条件列出方程求出，利用等差数列前项和公式求解即可.
（2）由（1）的结论求出，利用裂项相消法求和即得.
【小问1详解】
设等差数列的公差为，则，
由，得，即，解得，
所以，.
【小问2详解】
由（1）知，，又，则
因此，
所以.
16.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，结合正三角形面积可得，再利用余弦定理及三角形面积公式计算即得.
（2）由（1）中信息，利用正弦定理求得即可.
【小问1详解】
在中，依题意，，，，
则，即，
由余弦定理得，整理得，，由，
得，则，
所以的面积.
【小问2详解】
由正弦定理，得，
则，所以.
17.
【答案】（1）；
（2）或.
【解析】
【分析】（1）利用三角函数的定义求出，进而求出，利用正弦函数的性质求出范围.
（2）利用（1）的信息，求出，利用换元法，结合闭区间上二次函数最值求解即得.
【小问1详解】
由三角函数定义，得，，
，
由，得，则，
因此，的取值范围是.
【小问2详解】
由（1）及已知，得，，
令
，，
①当时，在上单调递减，，则；
②当时，在上单调递增，在上单调递减，
，不符合题意；
③当时，在单调递增，，则，
所以或.
18.
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）求出函数的导数，由求出并验证即可得解.
（2）由（1）求出在上的最小值，再按分类，并借助导数讨论值即可求解.
【小问1详解】
函数的定义域为R，求导得，
依题意，，解得或，
当时，，当或时，，当时，，
因此为函数的极小值点，符合题意，则；
当时，，当或时，，当时，，
因此为函数的极大值点，不符合题意，
所以.
【小问2详解】
由（1）知，函数在上单调递增，在上单调递减，因此，
①当时，对，，使得，
因此，符合题意，则；
②当时，，取，对，有，不符合题意；
③当时，函数，求导得，
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增，则，
若对，，使得，只需，即，解得，
所以的取值范围为.
19.
【答案】（1）①集合不具有性质，集合具有性质，理由见解析；②集合具有性质，理由见解析；
（2）存在，最大值为4.
【解析】
【分析】（1）①写出中的所有元素，利用定义判断即可；②求出等比数列的通项，证明该数列任意两项的和不等，由此求出中的元素个数即可判断.
（2）根据新定义得在集合中，，得到，由此分类讨论，可确定n的取值，可得答案.
【小问1详解】
①集合不具有性质，集合具有性质：
，中元素个数不具有性质；
，中元素个数具有性质.
②若集合具有性质，设，
假设当时有成立，则有，
等式左边为偶数，右边为奇数，显然不成立，则不成立，
因此中元素个数，所以集合具有性质.
【小问2详解】
不妨设，
则在集合中，，
又中的所有元素能构成等差数列，设公差为，
则，
即，于是，
当时，是集合A中互不相同的4项，
从而中元素个数小于，与集合A具有性质矛盾，
当时，，即成等差数列，且公差也为，
则中的元素从小到大的前三项为，且第四项只能是或，
（i）若第四项为，则，从而，
于是，中元素个数小于，与集合A具有性质矛盾；
（ii）若第四项为，则，有，
而，即，于是，
因此中元素个数小于，与集合A具有性质矛盾，则，
取，，则集合A具有性质，
所以集合A中的元素个数存在最大值，最大值为4.2024 年秋季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校期中联考
高三数学试卷
考试时间：2024 年 11 月 4 日下午 15：00-17：00 试卷满分：150 分
一、选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的）
A 0,1, 2,3 B x log x 1
1. 已知集合 ， 2 ，则 A B （）
A 0,1, 2 B. 1, 2 C. 0,1 D. 1
1 1
2. 已知cos ， cos cos ，则 tan tan （）
2 3
1 1
A. 2 B. 2 C. D.
2 2
1 1
3. 设a,b R ，则“ b 0 ”是“a ”的（）
a b
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
x 1
1
4. 已知函数 f x x5 ，那么在下列区间中含有函数 f x 零点的是（）
4
1 1 1 1
A. 0, B. , C. ,1 D. 1, 4
5 5 4 4
5. 在VABC 中，点D， E 分别为 AB ， AC 边上的中点，点F 满足DF 2FE，则BF （）
1 1 1 2 1 1 1
A. BA BC B. BA BC C. BA BC D. BA BC
2 6 3 3 3 2 3
6. 古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础，根据刘徽
的《重差》测量一个球体建筑的高度，已知点A 是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上B,C 两
点与点A 在同一条直线上，且在点A 的同侧，若在B,C 处分别测量球体建筑物的最大仰角为60o 和 20 ，
且 BC 100 m
，则该球体建筑物的高度约为（） cos10 0.985
A. 45.25m B. 50.76m C. 56.74m D. 58.60m
π 1
7. 已知函数 f x sin πx ，当 x 0,20 时，把 f x 的图象与直线 y 的所有交点的横坐标限
6 2
依次记为a1,a2 ,a3 , ,an ，记它们的和为 Sn ，则 Sn （）
1160 580 560 280
A. B. C. D.
3 3 3 3
8. 已知定义在R 上的函数 f x 在区间 0, 2 上单调递减，且满足 f 4 x f x 2 f 2 ，函数
y f x 2 的对称中心为 4,0 ，则下述结论正确的是（）（注： ln3 1.099）
7
A f 2024 0 B. f 1 f 0
2
1
C f 3 f 2log2 48 D. f 4sin1 f ln
9
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6 分，部分选对得部分分，有选错的得 0 分.
9. 设四个复数 z 3 i，z2 i 1 3i1 ，z3 2 6i，z4 a 3i a 0 在复平面 xOy 内的对应点Z1 、
Z2 、 Z3、Z4 在同一个圆上，则下述结论正确的是（）
A. z1 与 z2 互为共轭复数 B. 点Z3在第二象限
z 3 1
C. 复数 的虚部是- D. OZ OZ
z2 5
1 4
10. 已知两个正数a，b 满足a b 2，则下述结论正确的是（）
1 4
A. a 1 b 1 B. 2a 2b 4 C. lga lg D. b 1
b a2
x, x 0
11. 已知函数 f (x) ，若不等式 f (x 1) f (x)3 对任意 x R 都成立，则实数a 的值可以
ax x, x 0
为（）
32 16
A. B. C. 2 D. 1
27 27
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
π π π
12. 已知函数 f x sin x sin x 0 的最小正周期是 ，则 的值为______.
6 3 2
r r
13. 已知两个单位向量a ，b 满足 a b 1，则向量2a b 和a 的夹角为______.
14. 设数列 an 的前n 项和为 Sn ，若 a an 是以 为首项，公差为 1 的等差数列，并且存在实数 t ，使得数
列{ Sn t}也成等差数列，则实数a的取值范围是______.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证
明过程或演算步骤.
15. 记 Sn 是等差数列 an 的前n 项和，a1 2，且a2 2， a3 4 ，a4 6 成等比数列.
（1）求an 和 Sn ；
（2）若bnSn 2 ，求数列 bn 的前 20 项和T20 .
16. 记VABC 内角A ， B ，C 的对边分别为a ，b ，c，分别以a ，b ，c为边长的三个正三角形的面
1
积依次为 S1 ， S2 ， S3 ，已知 S S S 3 ，sinB . 1 2 3
3
（1）求VABC 的面积；
2
（2）若sinAsinC ，求b
3
17. 已知角 的始边与 x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆O交于点 1, 1 ，将射线OA按逆时针方向旋
π
转 后于单位圆O交于点 2, 2 ， f x1 x2 ， g x1 x2 .
2
π
（1）若 [0, ]，求 f 的取值范围；
2
m2 15
（2）在（1）的条件下，当函数F g mf 的最大值是 时，求m 的值.
2 2
1
18. 已知 x 2为函数 f (x) x(x c)
2 极小值点.
e
（1）求c的值；
kx
（2）设函数 g(x) ，若对 x1 (0, )的， x R ，使得 f (x ) g(xx 2 1 2 ) 0，求 k 的取值范围. e
19. 已知正实数构成的集合 A a1,a2 , ,an n 2,n N
n n 1
（1）若定义 A A ai a j ai ,a j A ，当集合 A A中的元素恰有 个数时，称集合A 具有性
2
质 P .
①当 A 1,2,3 ， B 1, 2, 4 时，判断集合A ， B 是否具有性质 P ，并说明理由；
②设集合 A a1,a2 , ,an ，其中数列 an 为等比数列，a1 0且公比为 2，判断集合A 是否具有性质 P
并说明理由.
（2）若定义 A A ai a j ai ,a j A,且i j
n n 1
，当集合 A A中的元素恰有 个数时，称集合A
2
具有性质 .设集合A 具有性质 且 A A中的所有元素能构成等差数列.问：集合A 中的元素个数是否存
在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由.
