天津市河北区2024-2025学年高三上学期期中质量检测数学试卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 天津市河北区2024-2025学年高三上学期期中质量检测数学试卷（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 677.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-11-08 12:11:00 | ||
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文档简介
河北区2024-2025学年度高三年级第一学期期中质量检测
数学
本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.第卷1至3页，第Ⅱ卷4至8页.
第I卷（选择题共45分）
注意本项：
1.答第I卷前，考生务必将自已的姓名 准考号 科目涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码.
2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答在试卷上的无效.
3.本卷共9小题，每小题5分，共45分.
参考公式：
如果事件互斥，那么 如果事件相互独立，那么 圆柱的侧面积公式 圆锥的侧面积公式 其中表示底面圆的半径表示母线的长
一 选择题：在每年小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设全集，则（ ）
A. B. C. D.
2.设，则“”是“直线与直线平行”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.函数在上的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
4.某校调查了400名学生每周的自习时间（单位：小时），发现他们的自习时间都在区间内，将所得的数据分成5组：，制成了如图所示的频率分布直方图，则自习时间在区间内的人数为（ ）
A.240 B.180 C.96 D.80
5.设，则（ ）
A. B.
C. D.
6.如图，圆锥的底面直径和高均是4，过的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则剩下几何体的表面积为（ ）
A. B. C. D.
7.已知双曲线的右焦点为，过点作垂直于轴的直线分别是与双曲线及其渐近线在第一象限内的交点.若线段的中点，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
8.函数的图象关于点对称，则的增区间是（ ）
A. B.
C. D.
9.已知函数，若函数恰有5个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.请将答案写在答题纸上.
10.复数（为虚数单位）在复平面内对应点的坐标是__________.
11.二项式的展开式中的常数项为__________.
12.以直线夹在两坐标轴间的线段为直径的圆的方程为__________.
13.将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，则函数在区间上的值域__________.
14.为了组建一支志愿者队伍，要从3名男志愿者和3名女志愿者中随机抽取3人聘为志愿者队的队长，则在“抽取的3人中至少有一名男志愿者”的前提下“抽取的3人中全是男志愿者”的概率是__________.；若表示抽取的3人中女志愿者的人数，则__________.
15.已知中，点分别是的重心和外心，且，则边的长为__________.
三 解答题：本大题共5小题，共5分 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16.（本小题满分14分）
在中，内角所对的边分别为，已知，的面积为.
（1）求角的大小：
（2）求的值：
（3）求的值.
17.（本小题满分15分）
如图，在直三棱柱中，，分别为的中点.
（1）求证：平面：
（2）求平面与平面的夹角的余弦值：
（3）求点到平面的距离.
18.（本小题满分15分）
己知椭圆的左 右焦点分别为，且，过点作两条直线，直线与椭圆交于两点，的周长为.
（1）求椭圆的方程；
（2）若的面积为，求的方程：
（3）若与椭圆交于两点，且的斜率是的斜率的2倍，求的最大值.
19.（本小题满分15分）
已知函数在处取得极小值.
（1）求的值；
（2）求函数在点处的切线方瑆；
（3）若恒成立，求实数的取值范围.
20.（本小题满分16分）
已知函数，其中为自然对数的底数.
（1）当时，求的单调区间：
（2）若方程有两个不同的根，
①求的取值范围：
②证明：.
河北区2024-2025学年度高三年级第一学期期中质量检测
数学答案
一 选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
答案 C A B A B C C D A
二 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
10.； 11.； 12.；
13.； 14. ； 15..
三 解答题：本大题共5小题，共75分.
16.（本小题满分14分）
（1）因为，由正弦定理得，，
又，所以，所以，
又，所以，
又，所以，所以，
所以.
（2）因为，所以，
又因为，所以，解得，所以，
由余弦定理得，，所以.
（3）
因为且，所以
所以
17.（本小题满分15分）
【详解】（1）如图，以为原点，所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系则.
设平面的法向量为，
则取
所以所以
又因为平面所以平面
（2）设平面的法向量为
则取
设平面与平面的夹角为
则
所以平面与平面的夹角的余弦值为
（3）
设点到平面的距离为
所以点到平面的距离为
18.（本小题满分15分）
【详解】
（1）设椭圆的半焦距为，由题意知，所以，
的周长为，所以，
所以，故椭圆的方程为.
（2）由题意知的斜率不为0，设，
联立，得，
所以.
所以，
由，
解得，
所以的方程为或.
（3）由（2）可知，
因为的斜率是的斜率的2倍，所以，得.
所以
当且仅当时，等号成立，
所以的最大值为.
19.（本小题满分15分）
【详解】
（1）由，可得，
由，解得，此时，
时，单调递减
时，单调递增
故是函数的极小值点，符合题意，所以.
（2）
在点处的切线方程为即
（3）由恒成立，
则恒成立，
令，则，
当时，，当时，，
所以当时，恒成立，所以在上单调递增，
所以，所以，
所以实数的取值范围为.
20.（本小题满分16分）
【详解】
（1）由题意得，则，
由，解得
1
+ 0 -
增 极大值 减
所以，的单调递增区间为，单调递减区间为
（2）①由，得，
设，由（1）知的单调递增区间为，单调递减区间为，
的极大值为
又当时且当时
所以当时，方程有两个不同的根，即方程有两个不同的根，故的取值范围是.
②不妨设，则，且.
设，
则
所以在区间内单调递增，又，
所以，即.
又，所以，
又在区间内单调递减.
所以，即，
又，所以，得证.
数学
本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.第卷1至3页，第Ⅱ卷4至8页.
第I卷（选择题共45分）
注意本项：
1.答第I卷前，考生务必将自已的姓名 准考号 科目涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码.
2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答在试卷上的无效.
3.本卷共9小题，每小题5分，共45分.
参考公式：
如果事件互斥，那么 如果事件相互独立，那么 圆柱的侧面积公式 圆锥的侧面积公式 其中表示底面圆的半径表示母线的长
一 选择题：在每年小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设全集，则（ ）
A. B. C. D.
2.设，则“”是“直线与直线平行”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.函数在上的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
4.某校调查了400名学生每周的自习时间（单位：小时），发现他们的自习时间都在区间内，将所得的数据分成5组：，制成了如图所示的频率分布直方图，则自习时间在区间内的人数为（ ）
A.240 B.180 C.96 D.80
5.设，则（ ）
A. B.
C. D.
6.如图，圆锥的底面直径和高均是4，过的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则剩下几何体的表面积为（ ）
A. B. C. D.
7.已知双曲线的右焦点为，过点作垂直于轴的直线分别是与双曲线及其渐近线在第一象限内的交点.若线段的中点，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
8.函数的图象关于点对称，则的增区间是（ ）
A. B.
C. D.
9.已知函数，若函数恰有5个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.请将答案写在答题纸上.
10.复数（为虚数单位）在复平面内对应点的坐标是__________.
11.二项式的展开式中的常数项为__________.
12.以直线夹在两坐标轴间的线段为直径的圆的方程为__________.
13.将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，则函数在区间上的值域__________.
14.为了组建一支志愿者队伍，要从3名男志愿者和3名女志愿者中随机抽取3人聘为志愿者队的队长，则在“抽取的3人中至少有一名男志愿者”的前提下“抽取的3人中全是男志愿者”的概率是__________.；若表示抽取的3人中女志愿者的人数，则__________.
15.已知中，点分别是的重心和外心，且，则边的长为__________.
三 解答题：本大题共5小题，共5分 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16.（本小题满分14分）
在中，内角所对的边分别为，已知，的面积为.
（1）求角的大小：
（2）求的值：
（3）求的值.
17.（本小题满分15分）
如图，在直三棱柱中，，分别为的中点.
（1）求证：平面：
（2）求平面与平面的夹角的余弦值：
（3）求点到平面的距离.
18.（本小题满分15分）
己知椭圆的左 右焦点分别为，且，过点作两条直线，直线与椭圆交于两点，的周长为.
（1）求椭圆的方程；
（2）若的面积为，求的方程：
（3）若与椭圆交于两点，且的斜率是的斜率的2倍，求的最大值.
19.（本小题满分15分）
已知函数在处取得极小值.
（1）求的值；
（2）求函数在点处的切线方瑆；
（3）若恒成立，求实数的取值范围.
20.（本小题满分16分）
已知函数，其中为自然对数的底数.
（1）当时，求的单调区间：
（2）若方程有两个不同的根，
①求的取值范围：
②证明：.
河北区2024-2025学年度高三年级第一学期期中质量检测
数学答案
一 选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
答案 C A B A B C C D A
二 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
10.； 11.； 12.；
13.； 14. ； 15..
三 解答题：本大题共5小题，共75分.
16.（本小题满分14分）
（1）因为，由正弦定理得，，
又，所以，所以，
又，所以，
又，所以，所以，
所以.
（2）因为，所以，
又因为，所以，解得，所以，
由余弦定理得，，所以.
（3）
因为且，所以
所以
17.（本小题满分15分）
【详解】（1）如图，以为原点，所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系则.
设平面的法向量为，
则取
所以所以
又因为平面所以平面
（2）设平面的法向量为
则取
设平面与平面的夹角为
则
所以平面与平面的夹角的余弦值为
（3）
设点到平面的距离为
所以点到平面的距离为
18.（本小题满分15分）
【详解】
（1）设椭圆的半焦距为，由题意知，所以，
的周长为，所以，
所以，故椭圆的方程为.
（2）由题意知的斜率不为0，设，
联立，得，
所以.
所以，
由，
解得，
所以的方程为或.
（3）由（2）可知，
因为的斜率是的斜率的2倍，所以，得.
所以
当且仅当时，等号成立，
所以的最大值为.
19.（本小题满分15分）
【详解】
（1）由，可得，
由，解得，此时，
时，单调递减
时，单调递增
故是函数的极小值点，符合题意，所以.
（2）
在点处的切线方程为即
（3）由恒成立，
则恒成立，
令，则，
当时，，当时，，
所以当时，恒成立，所以在上单调递增，
所以，所以，
所以实数的取值范围为.
20.（本小题满分16分）
【详解】
（1）由题意得，则，
由，解得
1
+ 0 -
增 极大值 减
所以，的单调递增区间为，单调递减区间为
（2）①由，得，
设，由（1）知的单调递增区间为，单调递减区间为，
的极大值为
又当时且当时
所以当时，方程有两个不同的根，即方程有两个不同的根，故的取值范围是.
②不妨设，则，且.
设，
则
所以在区间内单调递增，又，
所以，即.
又，所以，
又在区间内单调递减.
所以，即，
又，所以，得证.