江西省2024-2025学年高二上学期11月期中调研数学试题（含解析）

江西省2024－2025学年上学期期中调研测试
高二数学
试卷共4页，19小题，满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：
1.考查范围：必修第二册第五章，选择性必修第一册第一章至第三章第二节。
2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上。
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，请将答题卡交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知，，则，两点间的距离为
A. B. C.12 D.24
2.若直线的斜率为，在轴上的截距为－1，则的方程为
A. B. C. D.
3.若双曲线的一个焦点为，其中一条渐近线与直线平行，则的标准方程为
A. B. C. D.
4.已知在复平面内对应的点的坐标为，则，满足的关系式为
A. B. C. D.
5.若存在点，使得圆与圆关于点对称，则
A.1 B.－1 C.2 D.－2
6.如图，在三棱锥中，平面，，，点为的中点，则
A.8 B.4 C.－8 D.－4
7.已知抛物线的焦点为，是上第一象限内的一点，且，直线过点，当原点到的距离最大时，的方程为
A. B. C. D.
8.函数的值域为
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.如图，在四面体中，点，分别为，的中点，则
A. B.
C. D.
10.已知曲线，则
A.关于点对称 B.关于直线对称
C.与轴围成一个面积为2的三角形 D.不经过第二、三象限
11.已知椭圆，我们把圆称为的蒙日圆，为原点，点在上，延长与的蒙日圆交于点，则
A.的最大值为 B.若为的中点，则的离心率的最大值为
C.过点不可能作两条互相垂直的直线都与相切 D.若点在上，则的蒙日圆面积最小为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.抛物线的准线方程为________.
13.已知曲线可以由双曲线绕原点逆时针旋转得到，则________.
14.过点的直线分别与轴、轴交于不同的，两点，为坐标原点，若存在4条直线使得的面积均为，则的取值范围是________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）已知曲线经过点.
（1）若经过点，求的离心率；
（2）若表示焦点在轴上的椭圆，求的取值范围.
16.（15分）已知点及圆.
（1）若直线经过点，，求的方程；
（2）若直线过点且截圆所得的弦长为6，求的方程.
17.（15分）已知椭圆经过点，且右焦点为.
（1）求的方程；
（2）若直线与交于点，，点关于轴的对称点为，判断直线是否过定点，若过定点，求出该点坐标；若不过定点，请说明理由.
18.（17分）已知抛物线的焦点为.过的直线与交于，两点，.
（1）求的值；
（2）求直线与的公共点个数；
（3）证明：.
19.（17分）若集合表示由满足一定条件的全体直线组成的集合，定义：若集合中的每一条直线都是某圆上一点处的切线，且该圆上每一点处的切线都是中的一条直线，则称该圆为集合的包络圆.
（1）若圆是集合的包络圆.
（i）求，满足的关系式；
（ii）若，求的取值范围；
（2）若集合的包络圆为，是上任意一点，判断轴上是否存在定点，，使得，若存在，求出点，的坐标；若不存在，请说明理由.
江西省2024－2025学年上学期期中调研测试
高二数学参考答案及评分细则
1.【答案】B
【解析】，两点间的距离为.故选B.
2.【答案】A
【解析】斜率为，在轴上的截距为－1的直线的方程为，即.故选A.
3.【答案】C
【解析】的焦点在轴上，设的标准方程为，则，，解得，.所以的标准方程为.故选C.
4.【答案】C
【解析】因为，所以，，则.故选C.
5.【答案】A
【解析】存在点，使得圆与圆关于点对称，则两圆半径相等，圆的标准方程为，所以，即.故选A.
6.【答案】B
【解析】因为，所以.故选B.
7.【答案】D
【解析】设，由，得，，，直线的斜率为，当原点到的距离最大时，，的斜率为，所以的方程为，即.故选D.
8.【答案】B
【解析】设，，则，表示圆弧上的点与点连线的斜率，当过点的直线与圆弧相切时斜率最大，最大为，所以的值域为.故选B.
9.【答案】ACD（每选对1个得2分）
【解析】易得A正确，B错误；，C正确；，D正确.故选ACD.
10.【答案】BD（每选对1个得3分）
【解析】曲线关于直线对称，不关于点对称，A错误，B正确；与轴只有1个交点，不能围成三角形，C错误；由，可得，不经过第二、三象限，D正确.故选BD.
11.【答案】AD（每选对1个得3分）
【解析】对于A，，A正确；对于B，若为的中点，则，，，B错误；取，则直线，互相垂直，且都与相切，C错误；对于D，因为点在上，所以，所以，当且仅当时取等号，所以的蒙日圆面积最小为，D正确.故选AD.
12.【答案】
【解析】抛物线的标准方程为，所以其准线方程为.
13.【答案】4
【解析】双曲线的右顶点坐标为，且双曲线绕点逆时针旋转，得曲线，曲线的其中一个顶点坐标为，，所以.
14.【答案】
【解析】若分别与轴负半轴、轴正半轴相交，对任意，符合条件的直线仅有1条；若分别与轴正半轴、轴负半轴相交，对任意，符合条件的直线仅有1条；若分别与轴负半轴、轴负半轴相交，设的方程为，把代入得，，当且仅当，时取等号，此时的面积，当时满足条件的不存在，当时满足条件的有1条，当时满足条件的有2条，综上可得当时满足条件的有4条.
【评分细则】
12.写成也正确.
14.写成或均不扣分.
15.解：（1）因为点在上，所以，，（1分）
因为经过点，所以，，（2分）
代入得，（3分）
所以的标准方程为，（4分）
，，，（5分）
所以的离心率.（7分）
（2）的方程可化为，
因为表示焦点在轴上的椭圆，所以，
即，（9分）
因为，
所以，（11分）
解得，所以的取值范围是.（13分）
【评分细则】
1.第（1）小题离心率写成扣1分；
2.如用其他解法，若正确，也给满分.
16.解：（1）由题意得，，（2分）
所以的斜率，（4分）
所以的方程为，即.（6分）
（2）圆的标准方程为，（7分）
圆心，半径，（8分）
因为擮圆所得弦长为6，
所以点到的距离为，（10分）
当的斜率不存在时，的方程为，符合题意，（12分）
当的斜率存在时，设的方程为，即，
所以，解得，的方程为，（14分）
所以的方程为或.（15分）
【评分细则】
1.第（1）小题的方程写成其他形式，若正确不扣分；
2.如用其他解法，若正确，也给满分.
17.解：（1）由椭圆经过点，且右焦点为得（3分）
解得，，
故的方程为.（6分）
（2）设，，则，
将与联立得，
，
，，（8分）
所以，，，（10分）
直线方程为，
即，即，
整理得，（14分）
所以直线过定点.（15分）
【评分细则】
其他解法酌情给分.
18.（1）解：设直线的方程为，
与联立得，（3分）
所以.（5分）
（2）解：直线的斜率为，（7分）
所以直线的方程为，
即，（9分）
与联立得，
解得，（10分）
所以直线与只有1个公共点.（11分）
（3）证明：由（1）知，，
所以
，（15分）
所以.（17分）
【评分细则】
如用其他解法，若正确，也给满分.
19.解：（1）（i）因为圆是集合的包络圆，
所以圆心到直线的距离为2，
即，
所以.（4分）
（ii）由，满足及，
可得圆与直线有公共点，
所以，解得，故的取值范围是.（8分）
（2）设，由题意可知点到直线的距离为与无关的定值，
即为与无关的定值，
所以，.故，此时，.（9分）
所以的方程为，（10分）
设，则，即，
假设轴上存在定点，，使得，设，，
则
，（12分）
所以（14分）
解得或（16分）
所以，或，.（17分）
【评分细则】
如用其他解法，若正确，也给满分.