江苏省南京市2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷（含解析）
文档属性
| 名称 | 江苏省南京市2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 529.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-11-08 12:49:48 | ||
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文档简介
南京2024—2025学年度第1学期
高二年级期中考试数学试卷
命题人：高二数学备课组 审阅人：高二数学备课组
一．选择题
1．过两点和的直线在x轴上的截距为（ ）
A． B． C． D．
2．过圆上一点作圆的切线l，则直线l的方程为（ ）
A． B． C． D．
3．若，则“”是“方程表示椭圆”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．若抛物线上的一点M到坐标原点O的距离为，则点M到该抛物线焦点的距离为（ ）
A．5 B．3 C．2 D．1
5．设直线l的方程为，则直线l的倾斜角的范围是（ ）
A． B． C． D．
6．若直线上存在到曲线T上一点的距离为d的点，则称该直线为曲线T的d距离可相邻直线．已知直线为圆的3距离可相邻直线，则m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知双曲线的左、右焦点分别为，，M为双曲线右支上的一点．若M在以为直径的圆上，且，则该双曲线离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．已知A，B分别是椭圆的左、右顶点，P是椭圆在第一象限内一点．若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
二．多选题
9．已知椭圆的左、右焦点分别为，，P为椭圆C上一点．则下列说法错误的是（ ）
A．椭圆C的离心率为 B．的周长为5
C． D．
10．已知，，在下列方程表示的曲线上，存在点P满足的有（ ）
A． B． C． D．
11．天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现：同一平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹是卡西尼卵形线．已知定点，，动点P满足（a，且均为常数）．设动点P的轨迹为曲线E．则下列说法正确的是（ ）
A．曲线C既是轴对称图形，又是中心对称图形 B．的最小值为2a
C．曲线E与x 轴可能有三个交点 D．时，曲线E上存在Q点，使得
三．填空题
12．与双曲线有公共渐近线，且过点的双曲线的方程为______．
13．若直线l过抛物线的焦点．与抛物线交于A，B两点．且线段AB中点的横坐标为2．则弦AB的长为______．
14．已知点，点F为抛物线的焦点．若以点P，F为焦点的椭圆与抛物线有公共点，则椭圆的离心率的最大值为______．
四．解答题
15．已知直线与直线．
（1）当时，求a的值；（2）当时，求与之间的距离．
16．已知点，，点P满足．
（1）求点P的轨迹的方程；
（2）过点分别作直线MN，RS，交曲线于M，N，R，S四点，且，求四边形MRNS面积的最大值与最小值．
17．已知椭圆的一个焦点坐标为，离心率为．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）设动圆与椭圆E交于A，B，C，D四点．动圆与椭圆E交于，，，四点．若矩形ABCD与矩形的面积相等，证明：为定值．
18．已知椭圆和抛物线．从两条曲线上各取两个点，将其坐标混合记录如下：，，，．
（1）求椭圆C和抛物线E的方程；
（2）设m为实数，已知点，直线与抛物线E交于A，B两点．记直线TA，TB的斜率分别为，，判断是否为定值，并说明理由．
19．设a为实数，点在双曲线上．
（1）求双曲线C的方程；
（2）过点作斜率为k的动直线l与双曲线右支交于不同的两点M，N，在线段MN上取异于点M，N的点H，满足．
（ⅰ）求斜率k的取值范围；
（ⅱ）证明：点H恒在一条定直线上．
南京2024—2025学年度第1学期
高二年级期中考试数学试卷
命题人：高二数学备课组 审阅人：高二数学备课组
一．选择题
1．【答案】A
【解析】直线的斜率，∴直线的方程为，即，
∴直线在x轴上的截距为，故选A．
2．【答案】B
【解析】，故选B．
3．【答案】B
【解析】方程表示椭圆或，故选B．
4．【答案】C
【解析】设点，由得，
∴或（舍去），即，
∴M到抛物线的准线的距离，根据抛物线定义得选项C．
5．【答案】C
【解析】当时，则直线的斜率不存在，即直线的倾斜角为，
当时，则直线的斜率，即直线倾斜角为，
综上所述，直线的倾斜角的范围为．故选C．
6．【答案】A
【解析】圆C的半径为4，直线l上存在到圆C上一点的距离为3的点，
故圆心到直线l的距离，即，解得，故选A．
7．【答案】D
【解析】设，则，，
根据双曲线定义，
，，故，即，故选D．
8．【答案】C
【法一】由题意知，，设，
直线PA，PB的斜率分别为，，则，
由正弦定理得，
又，则，
联立解得，即，
所以，即，
【法二】设，则，，
，
二．多选题
9．【答案】AB
对于选项A：由题意可知，
，∴离心率，故选项A错误，
对于选项B：由椭圆的定义，，
∴的周长为，故选项B错误，
对于选项C：当点P为椭圆短轴端点时，，
又∵，∴，即，
∴，故选项C正确，
对于选项D：由椭圆的几何性质可知
，∴，故选项D正确．
10．【答案】BC
【解析】
对于A，，所以直线与圆相离，不存在点P；
对于B，，所以直线与圆相交，存在点P；
对于C，，所以两圆外切，存在点P；
对于D，，所以两圆内含，不存在点P．
11．【答案】ACD
【解析】
对于A，用代x得，所以曲线关于y轴对称，
用代y得，所以曲线关于x轴对称，
用代x，代y得，所以曲线关于原点对称，
所以曲线C既是中心对称图形，又是轴对称图形，所以A正确；
对于B，当时，，
当时，显然P与或重合，此时，所以B错误；
对于C，根据对称性可得，曲线E与x轴可能有三个交点，所以C正确；
对于D，若存在点P，使得，则，
因为，，所以，
由得，化简得，所以D正确．
三．填空题
12．【答案】
【解析】设所求双曲线方程为，将点代入双曲线方程得，故方程为．
13．【答案】6
【解析】设A、B两点横坐标分别为，，
线段AB中点的横坐标为2，则，故．
14．【答案】
【解析】由抛物线方程得，准线方程为，
又点，则，
在抛物线上取点H，过H作HG垂直直线，交直线于点G，
过P作PM垂直直线，交直线于点M，
由椭圆和抛物线定义得，故椭圆离心率．
四．解答题
15．【解析】（1）由，则，解得．
（2）由得，解得，
直线的方程为，即，
直线的方程为，
因此，与之间的距离为．
16．【解析】（1）设，则，故轨迹方程为．
（2）假设点O到MN的距离为m，到RS的距离为n，则，
因为，所以，所以，
所以，所以四边形MRNS面积的最大值14，最小值．
17．【解析】（1） 椭圆
（2）设，矩形ABCD与矩形的面积相等
∴，即
∵A，均在椭圆上，
∴，即，
故为定值．
18．【解析】（1）将四个点带入抛物线方程解得，，，，故抛物线E方程为
故，为椭圆上的点椭圆C方程
（2）设，，则
为定值．
19．【解析】（1）因为点在双曲线C上，所以，整理得，
即，解得，则双曲线C的方程为；
（2）（ⅰ）易知直线l的方程为，即，
联立，消去y并整理得，
设，，
因为直线l与双曲线的右支有两个不同的交点M，N，
所以关于x的方程有两个不同的正数根，，
，
解得则斜率k的取值范围为；
（ⅱ）设，
由（ⅰ）得，，
因为，，，
又P，M，N，H在同一直线l上，所以，，
由得，即，
化简得，所以，
整理得，解得，即
又点在直线上，所以
即，故点H恒在定直线上．
高二年级期中考试数学试卷
命题人：高二数学备课组 审阅人：高二数学备课组
一．选择题
1．过两点和的直线在x轴上的截距为（ ）
A． B． C． D．
2．过圆上一点作圆的切线l，则直线l的方程为（ ）
A． B． C． D．
3．若，则“”是“方程表示椭圆”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．若抛物线上的一点M到坐标原点O的距离为，则点M到该抛物线焦点的距离为（ ）
A．5 B．3 C．2 D．1
5．设直线l的方程为，则直线l的倾斜角的范围是（ ）
A． B． C． D．
6．若直线上存在到曲线T上一点的距离为d的点，则称该直线为曲线T的d距离可相邻直线．已知直线为圆的3距离可相邻直线，则m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知双曲线的左、右焦点分别为，，M为双曲线右支上的一点．若M在以为直径的圆上，且，则该双曲线离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．已知A，B分别是椭圆的左、右顶点，P是椭圆在第一象限内一点．若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
二．多选题
9．已知椭圆的左、右焦点分别为，，P为椭圆C上一点．则下列说法错误的是（ ）
A．椭圆C的离心率为 B．的周长为5
C． D．
10．已知，，在下列方程表示的曲线上，存在点P满足的有（ ）
A． B． C． D．
11．天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现：同一平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹是卡西尼卵形线．已知定点，，动点P满足（a，且均为常数）．设动点P的轨迹为曲线E．则下列说法正确的是（ ）
A．曲线C既是轴对称图形，又是中心对称图形 B．的最小值为2a
C．曲线E与x 轴可能有三个交点 D．时，曲线E上存在Q点，使得
三．填空题
12．与双曲线有公共渐近线，且过点的双曲线的方程为______．
13．若直线l过抛物线的焦点．与抛物线交于A，B两点．且线段AB中点的横坐标为2．则弦AB的长为______．
14．已知点，点F为抛物线的焦点．若以点P，F为焦点的椭圆与抛物线有公共点，则椭圆的离心率的最大值为______．
四．解答题
15．已知直线与直线．
（1）当时，求a的值；（2）当时，求与之间的距离．
16．已知点，，点P满足．
（1）求点P的轨迹的方程；
（2）过点分别作直线MN，RS，交曲线于M，N，R，S四点，且，求四边形MRNS面积的最大值与最小值．
17．已知椭圆的一个焦点坐标为，离心率为．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）设动圆与椭圆E交于A，B，C，D四点．动圆与椭圆E交于，，，四点．若矩形ABCD与矩形的面积相等，证明：为定值．
18．已知椭圆和抛物线．从两条曲线上各取两个点，将其坐标混合记录如下：，，，．
（1）求椭圆C和抛物线E的方程；
（2）设m为实数，已知点，直线与抛物线E交于A，B两点．记直线TA，TB的斜率分别为，，判断是否为定值，并说明理由．
19．设a为实数，点在双曲线上．
（1）求双曲线C的方程；
（2）过点作斜率为k的动直线l与双曲线右支交于不同的两点M，N，在线段MN上取异于点M，N的点H，满足．
（ⅰ）求斜率k的取值范围；
（ⅱ）证明：点H恒在一条定直线上．
南京2024—2025学年度第1学期
高二年级期中考试数学试卷
命题人：高二数学备课组 审阅人：高二数学备课组
一．选择题
1．【答案】A
【解析】直线的斜率，∴直线的方程为，即，
∴直线在x轴上的截距为，故选A．
2．【答案】B
【解析】，故选B．
3．【答案】B
【解析】方程表示椭圆或，故选B．
4．【答案】C
【解析】设点，由得，
∴或（舍去），即，
∴M到抛物线的准线的距离，根据抛物线定义得选项C．
5．【答案】C
【解析】当时，则直线的斜率不存在，即直线的倾斜角为，
当时，则直线的斜率，即直线倾斜角为，
综上所述，直线的倾斜角的范围为．故选C．
6．【答案】A
【解析】圆C的半径为4，直线l上存在到圆C上一点的距离为3的点，
故圆心到直线l的距离，即，解得，故选A．
7．【答案】D
【解析】设，则，，
根据双曲线定义，
，，故，即，故选D．
8．【答案】C
【法一】由题意知，，设，
直线PA，PB的斜率分别为，，则，
由正弦定理得，
又，则，
联立解得，即，
所以，即，
【法二】设，则，，
，
二．多选题
9．【答案】AB
对于选项A：由题意可知，
，∴离心率，故选项A错误，
对于选项B：由椭圆的定义，，
∴的周长为，故选项B错误，
对于选项C：当点P为椭圆短轴端点时，，
又∵，∴，即，
∴，故选项C正确，
对于选项D：由椭圆的几何性质可知
，∴，故选项D正确．
10．【答案】BC
【解析】
对于A，，所以直线与圆相离，不存在点P；
对于B，，所以直线与圆相交，存在点P；
对于C，，所以两圆外切，存在点P；
对于D，，所以两圆内含，不存在点P．
11．【答案】ACD
【解析】
对于A，用代x得，所以曲线关于y轴对称，
用代y得，所以曲线关于x轴对称，
用代x，代y得，所以曲线关于原点对称，
所以曲线C既是中心对称图形，又是轴对称图形，所以A正确；
对于B，当时，，
当时，显然P与或重合，此时，所以B错误；
对于C，根据对称性可得，曲线E与x轴可能有三个交点，所以C正确；
对于D，若存在点P，使得，则，
因为，，所以，
由得，化简得，所以D正确．
三．填空题
12．【答案】
【解析】设所求双曲线方程为，将点代入双曲线方程得，故方程为．
13．【答案】6
【解析】设A、B两点横坐标分别为，，
线段AB中点的横坐标为2，则，故．
14．【答案】
【解析】由抛物线方程得，准线方程为，
又点，则，
在抛物线上取点H，过H作HG垂直直线，交直线于点G，
过P作PM垂直直线，交直线于点M，
由椭圆和抛物线定义得，故椭圆离心率．
四．解答题
15．【解析】（1）由，则，解得．
（2）由得，解得，
直线的方程为，即，
直线的方程为，
因此，与之间的距离为．
16．【解析】（1）设，则，故轨迹方程为．
（2）假设点O到MN的距离为m，到RS的距离为n，则，
因为，所以，所以，
所以，所以四边形MRNS面积的最大值14，最小值．
17．【解析】（1） 椭圆
（2）设，矩形ABCD与矩形的面积相等
∴，即
∵A，均在椭圆上，
∴，即，
故为定值．
18．【解析】（1）将四个点带入抛物线方程解得，，，，故抛物线E方程为
故，为椭圆上的点椭圆C方程
（2）设，，则
为定值．
19．【解析】（1）因为点在双曲线C上，所以，整理得，
即，解得，则双曲线C的方程为；
（2）（ⅰ）易知直线l的方程为，即，
联立，消去y并整理得，
设，，
因为直线l与双曲线的右支有两个不同的交点M，N，
所以关于x的方程有两个不同的正数根，，
，
解得则斜率k的取值范围为；
（ⅱ）设，
由（ⅰ）得，，
因为，，，
又P，M，N，H在同一直线l上，所以，，
由得，即，
化简得，所以，
整理得，解得，即
又点在直线上，所以
即，故点H恒在定直线上．