北京市西城区2024-2025学年高二上学期期中测验数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 北京市西城区2024-2025学年高二上学期期中测验数学试题（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 561.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-11-08 12:52:20 | ||
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文档简介
2024-2025学年度第一学期期中试卷
高二数学
2024年11月
本试卷共4页，共150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第一部分（选择题，共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．已知直线l的倾斜角为，则l的斜率为（ ）
A. B. C. D.
2．已知点P在椭圆上，点，，则（ ）
A.2 B. C. D.
3．已知圆关于直线对称，则实数（ ）
A.－2 B.－1 C.1 D.2
4．以为圆心，并且与x轴相切的圆的方程为（ ）
A. B.
C. D.
5．已知点Q为直线l∶上的动点，点P满足，记P的轨迹为E，则（ ）
A.E上的点到l的距离均为 B.E是一条与l相交的直线
C.E是一个半径为的圆 D.E是两条平行直线
6．如图，三棱锥中，平面ABC，，且为边长等于2的正三角形，则DA与平面DBC所成角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
7．已知点M是直线上的动点，O是坐标原点，则以OM为直径的圆一定经过点（ ）
A.和 B.和 C.和 D.和
8．已知椭圆C：的离心率为e，则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
9．布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖，在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1），把三片这样的达·芬奇方砖形成图2的组合，这个组合表达了图3所示的几何体．若图3中每个正方体的棱长为1，则点P到平面QGC的距离是（ ）
A. B. C. D.1
10．如图，已知正方体的棱长为1，点M为棱AB的中点，点P在正方形的边界及其内部运动．以下四个结论中错误的是（ ）
A.存在点P满足 B.存在点P满足
C.满足的点P的轨迹长度为 D.满足的点P的轨迹长度为
第二部分 （非选择题，共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．
11．椭圆的离心率为______．
12．已知直线：，：．若，则实数m的值为______．
13．在正三棱柱中，，，则异面直线与所成角的大小为______．
14．已知点P是圆上的动点，直线：，：，记P到直线，的距离分别为，（若P在直线上，则记距离为0），
（1）的最大值为______；
（2）若当点P在圆上运动时，为定值，则m的取值范围是______．
15．伯努利双纽线（简称双纽线）是瑞士数学家伯努利（1654-1705）在1694年提出的．伯努利将椭圆的定义作了类比处理，指出是到两个定点距离之积为定值的点的轨迹是双纽线．
在平面直角坐标系xOy中，到定点，的距离之积为的点的轨迹C就是伯努利双纽线，C的方程为，其形状类似于符号∞，若点是轨迹C上一点，给出下列四个结论：
①曲线C关于原点中心对称；
②恒成立；
③曲线C上任一点到原点的距离不超过；
④当时，取得最大值或最小值．
其中所有正确结论的序号是______．
三、解答题共6小题，共85分．解答题应写出文字说明、验算步骤或证明过程．
16．（13分）
已知直线l：，．
（Ⅰ）当直线l与直线垂直时，求的值；
（Ⅱ）设直线l恒过定点P，求P的坐标；
（Ⅲ）若对任意的实数，直线l与圆总有公共点，直接写出r的取值范围．
17．（13分）
已知经过点，，并且圆心C在直线上，
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）设过点的直线l与交于M，N两点，若，求l的方程．
18．（14分）
已知椭圆C：的左、右焦点分别为和，长轴长为4．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设P为椭圆C上一点，．若存在实数使得，求的取值范围．
19．（15分）
如图，在三棱台中，平面ABC，，，，N为AB的中点，M为棱BC上一动点（不包含端点）．
（Ⅰ）若M为BC的中点，求证：平面；
（Ⅱ）是否存在点M，使得平面与平面所成角的余弦值为 若存在，求出BM的长度；若不存在，请说明理由．
20．（15分）
平面直角坐标系xOy中，点M到点的距离比它到x轴的距离多1，记点M的轨迹为C．
（Ⅰ）求轨迹C的方程；
（Ⅱ）设斜率为k的直线l过定点，若直线l与轨迹C恰好有一个公共点，求实数k的取值范围．
21．（15分）
用一个矩形铁皮制作成一个直角圆形弯管（如图1）：将该矩形铁皮围成一个圆柱体（如图2），再用一个与圆柱底面所成45°的平面截圆柱，将圆柱截成两段，再将这两段重新拼接就可以得到直角圆形弯管．
现使用长为，宽为的矩形铁皮制作一个直角圆形弯管，当得到的直角圆形弯管的体积最大时（不计拼接损耗部分），解答下列问题．
（Ⅰ）求该直角圆形弯管的体积；
（Ⅱ）已知在制造直角圆形弯管时截得的截口是一个椭圆，求该椭圆的离心率；
（Ⅲ）如图3，若将圆柱被截开的一段的侧面沿着圆柱的一条母线剪开，并展成平面图形（如图4），证明：该截口展开形成的图形恰好是某正弦型函数的部分图象，并指出该正弦型函数的最小正周期与振幅．
答案
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．D 2．C 3．D 4．B 5．A 6．B 7．D 8．A 9．B 10．C
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．
11． 12．－3 13． 14．3， 15．①②③
注：14题第一空3分，第二空2分；15题选对1个给3分，选对两个给4分，有错误不给分．
三、解答题共6小题，共85分．解答题应写出文字说明、验算步骤或证明过程．
16．解：（Ⅰ）直线l的法向量为，
由题知，解得．
（Ⅱ）直线l：，
令，解得即点．
（Ⅲ）．
17．解：（Ⅰ）由，线段AB中点为，
可知线段AB的垂直平分线方程为，
由圆的对称性知点C在AB的垂直平分线上，因此联立解得即点．
又因为，所以，圆C：．
（Ⅱ）当的斜率不存在时，：，此时，，满足题意；
当的斜率存在时，设：，即，
因为，所以C到的距离为，
因此，，解得，
此时，直线：，
综上，直线的方程为或．
18．解：（Ⅰ）由题知解得
所以，C的方程为．
（Ⅱ）由椭圆的定义可知，
设点，其中，，
因为，所以，，即
当且仅当时，，时，，
因为，所以，．
综上所述，的取值范围是．
19．解：（Ⅰ）连接MN，由M，N分别为BC，AB的中点，知且，
因此，，且，所以，是平行四边形，故，
因为面，面，所以，平面．
（Ⅱ）因为，AB，AC两两垂直，所以建立空间直角坐标系，
则，，，，则，，
因为平面，所以平面的法向量为，
假设存在满足题意的点M，且，则，
设平面的法向量为，
则有
不妨设，得，所以，，
两边平方，整理得，解得或（舍），经检验，满足题意，
因此，存在点M，只需，即即可．
20．解：（Ⅰ）设点，由题知，
两边平方，并整理得
所以，轨迹C的方程为．
（Ⅱ）直线l：，当时，联立
消去y得，，
当，即或时，有且仅有一个公共点且满足题意；
当，即时，无公共点；
当时，令，，
当时，无公共点；当时，有一个公共点；
综合以上可知当时，有且仅有一个公共点，
故k的取值范围是．
21．解：（Ⅰ）当矩形的宽作为圆柱的高时，体积最大，
此时，圆柱体的底面圆的半径为1，高为，体积为．
（Ⅱ）设该椭圆为，
因此，即，所以，．
（Ⅲ）以椭圆的短轴所在直线在底面的投影为x轴建立平面直角坐标系，
设对于底面圆上一点，则与P所连接的弧长为，
假设短轴对应的高度为0，则点P对应到椭圆上的点的高度为，
所以，截口展开形成的图形的函数解析式为，
最小正周期为，振幅为1．
高二数学
2024年11月
本试卷共4页，共150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第一部分（选择题，共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．已知直线l的倾斜角为，则l的斜率为（ ）
A. B. C. D.
2．已知点P在椭圆上，点，，则（ ）
A.2 B. C. D.
3．已知圆关于直线对称，则实数（ ）
A.－2 B.－1 C.1 D.2
4．以为圆心，并且与x轴相切的圆的方程为（ ）
A. B.
C. D.
5．已知点Q为直线l∶上的动点，点P满足，记P的轨迹为E，则（ ）
A.E上的点到l的距离均为 B.E是一条与l相交的直线
C.E是一个半径为的圆 D.E是两条平行直线
6．如图，三棱锥中，平面ABC，，且为边长等于2的正三角形，则DA与平面DBC所成角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
7．已知点M是直线上的动点，O是坐标原点，则以OM为直径的圆一定经过点（ ）
A.和 B.和 C.和 D.和
8．已知椭圆C：的离心率为e，则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
9．布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖，在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1），把三片这样的达·芬奇方砖形成图2的组合，这个组合表达了图3所示的几何体．若图3中每个正方体的棱长为1，则点P到平面QGC的距离是（ ）
A. B. C. D.1
10．如图，已知正方体的棱长为1，点M为棱AB的中点，点P在正方形的边界及其内部运动．以下四个结论中错误的是（ ）
A.存在点P满足 B.存在点P满足
C.满足的点P的轨迹长度为 D.满足的点P的轨迹长度为
第二部分 （非选择题，共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．
11．椭圆的离心率为______．
12．已知直线：，：．若，则实数m的值为______．
13．在正三棱柱中，，，则异面直线与所成角的大小为______．
14．已知点P是圆上的动点，直线：，：，记P到直线，的距离分别为，（若P在直线上，则记距离为0），
（1）的最大值为______；
（2）若当点P在圆上运动时，为定值，则m的取值范围是______．
15．伯努利双纽线（简称双纽线）是瑞士数学家伯努利（1654-1705）在1694年提出的．伯努利将椭圆的定义作了类比处理，指出是到两个定点距离之积为定值的点的轨迹是双纽线．
在平面直角坐标系xOy中，到定点，的距离之积为的点的轨迹C就是伯努利双纽线，C的方程为，其形状类似于符号∞，若点是轨迹C上一点，给出下列四个结论：
①曲线C关于原点中心对称；
②恒成立；
③曲线C上任一点到原点的距离不超过；
④当时，取得最大值或最小值．
其中所有正确结论的序号是______．
三、解答题共6小题，共85分．解答题应写出文字说明、验算步骤或证明过程．
16．（13分）
已知直线l：，．
（Ⅰ）当直线l与直线垂直时，求的值；
（Ⅱ）设直线l恒过定点P，求P的坐标；
（Ⅲ）若对任意的实数，直线l与圆总有公共点，直接写出r的取值范围．
17．（13分）
已知经过点，，并且圆心C在直线上，
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）设过点的直线l与交于M，N两点，若，求l的方程．
18．（14分）
已知椭圆C：的左、右焦点分别为和，长轴长为4．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设P为椭圆C上一点，．若存在实数使得，求的取值范围．
19．（15分）
如图，在三棱台中，平面ABC，，，，N为AB的中点，M为棱BC上一动点（不包含端点）．
（Ⅰ）若M为BC的中点，求证：平面；
（Ⅱ）是否存在点M，使得平面与平面所成角的余弦值为 若存在，求出BM的长度；若不存在，请说明理由．
20．（15分）
平面直角坐标系xOy中，点M到点的距离比它到x轴的距离多1，记点M的轨迹为C．
（Ⅰ）求轨迹C的方程；
（Ⅱ）设斜率为k的直线l过定点，若直线l与轨迹C恰好有一个公共点，求实数k的取值范围．
21．（15分）
用一个矩形铁皮制作成一个直角圆形弯管（如图1）：将该矩形铁皮围成一个圆柱体（如图2），再用一个与圆柱底面所成45°的平面截圆柱，将圆柱截成两段，再将这两段重新拼接就可以得到直角圆形弯管．
现使用长为，宽为的矩形铁皮制作一个直角圆形弯管，当得到的直角圆形弯管的体积最大时（不计拼接损耗部分），解答下列问题．
（Ⅰ）求该直角圆形弯管的体积；
（Ⅱ）已知在制造直角圆形弯管时截得的截口是一个椭圆，求该椭圆的离心率；
（Ⅲ）如图3，若将圆柱被截开的一段的侧面沿着圆柱的一条母线剪开，并展成平面图形（如图4），证明：该截口展开形成的图形恰好是某正弦型函数的部分图象，并指出该正弦型函数的最小正周期与振幅．
答案
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．D 2．C 3．D 4．B 5．A 6．B 7．D 8．A 9．B 10．C
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．
11． 12．－3 13． 14．3， 15．①②③
注：14题第一空3分，第二空2分；15题选对1个给3分，选对两个给4分，有错误不给分．
三、解答题共6小题，共85分．解答题应写出文字说明、验算步骤或证明过程．
16．解：（Ⅰ）直线l的法向量为，
由题知，解得．
（Ⅱ）直线l：，
令，解得即点．
（Ⅲ）．
17．解：（Ⅰ）由，线段AB中点为，
可知线段AB的垂直平分线方程为，
由圆的对称性知点C在AB的垂直平分线上，因此联立解得即点．
又因为，所以，圆C：．
（Ⅱ）当的斜率不存在时，：，此时，，满足题意；
当的斜率存在时，设：，即，
因为，所以C到的距离为，
因此，，解得，
此时，直线：，
综上，直线的方程为或．
18．解：（Ⅰ）由题知解得
所以，C的方程为．
（Ⅱ）由椭圆的定义可知，
设点，其中，，
因为，所以，，即
当且仅当时，，时，，
因为，所以，．
综上所述，的取值范围是．
19．解：（Ⅰ）连接MN，由M，N分别为BC，AB的中点，知且，
因此，，且，所以，是平行四边形，故，
因为面，面，所以，平面．
（Ⅱ）因为，AB，AC两两垂直，所以建立空间直角坐标系，
则，，，，则，，
因为平面，所以平面的法向量为，
假设存在满足题意的点M，且，则，
设平面的法向量为，
则有
不妨设，得，所以，，
两边平方，整理得，解得或（舍），经检验，满足题意，
因此，存在点M，只需，即即可．
20．解：（Ⅰ）设点，由题知，
两边平方，并整理得
所以，轨迹C的方程为．
（Ⅱ）直线l：，当时，联立
消去y得，，
当，即或时，有且仅有一个公共点且满足题意；
当，即时，无公共点；
当时，令，，
当时，无公共点；当时，有一个公共点；
综合以上可知当时，有且仅有一个公共点，
故k的取值范围是．
21．解：（Ⅰ）当矩形的宽作为圆柱的高时，体积最大，
此时，圆柱体的底面圆的半径为1，高为，体积为．
（Ⅱ）设该椭圆为，
因此，即，所以，．
（Ⅲ）以椭圆的短轴所在直线在底面的投影为x轴建立平面直角坐标系，
设对于底面圆上一点，则与P所连接的弧长为，
假设短轴对应的高度为0，则点P对应到椭圆上的点的高度为，
所以，截口展开形成的图形的函数解析式为，
最小正周期为，振幅为1．