中小学教育资源及组卷应用平台
浙教版2024-2025学年九年级上数学期中模拟卷
解析版
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．二次函数的图象与x轴的交点个数是（ ）．
A．0个 B．1个 C．2个 D．不能确定
【答案】C
【解析】∵△=b -4ac=(-2) -4x1x（-1）=8＞0，
∴该二次函数y=x -2x-1的图象与x轴有两个交点.
故答案为：C.
2．已知点A在直径为8cm的⊙O内，则OA的长可能是（ ）
A．8cm B．6cm C．4cm D．2cm
【答案】D
【解析】点A在圆内，A到圆心的距离小于半径4.
故答案为：D.
3．经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，如果这三种可能性大小相同，那么两辆汽车经过这个十字路口时，第一辆车向左转，第二辆车向右转的概率是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据题意画出树状图如图所示，
由图可知这两辆汽车行驶方向共有9种等可能的情况，其中第一辆向左转，第二辆向右转的情况有1种，
∴第一辆向左转，第二辆向右转的概率为．
故答案为：B．
4．如图，在圆 中，圆心角 ，则圆周角 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵，
∴.
故答案为：B.
5．下列命题正确的是（ ）
A．相等的弦所对的弧相等
B．平分弦的直径平分弦所对的两条弧
C．过三点能作一个圆
D．在同心圆中，同一圆心角所对的两条弧的度数相等
【答案】D
【解析】A、同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等，A错误；
B、平分不为直径的弦的直径平分弦所对的两条弧，B错误；
C、过不在同一条直线的三点能作一个圆，C错误；
D、弧的度数等于所对圆心角的度数，在同心圆中，同一圆心角所对的弧的度数相等，D正确.
故答案为：D.
6．关于二次函数y=(x+2)2-4，下列说法正确的是（ ）
A．函数图象的开口向下 B．函数图象的顶点坐标是(2，-4)
C．该函数的最大值是-4 D．当x≥-2时，y随x的增大而增大
【答案】D
【解析】A、 二次函数y=(x+2)2-4 ，a=1，函数图象的开口向上，故A选项错误；
B、 二次函数y=(x+2)2-4， 顶点坐标是，故B选项错误；
C、a=1，函数图象的开口向上，该函数的最小值是，故C选项错误；
D、对称轴直线，函数图象开口向上， 当x≥-2时，y随x的增大而增大 ，故D选项正确．
故答案为：D.
7．如图，抛物线的对称轴为直线，则下列结论中，错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】A.由抛物线的开口向下知a＜0，与y轴的交点在y轴的正半轴上，可得c＞0，因此ac＜0，所以选项A不符合题意；
B.对称轴为，得2a+b=0，所以选项B符合题意；
C.由抛物线与x轴有两个交点，可得b -4ac>0，所以选项C不符合题意；
D.由对称轴为x=1及抛物线过（3，0），可得抛物线与x轴的另外一个交点是（-1，0），所以a-b+c=0，所以选项D不符合题意.
故答案为：B.
8．如图，将半径为6的⊙O沿AB折叠，使得折痕AB垂直半径OC，当恰好经过CO的三等分点D（靠近端点O）时，折痕AB长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，延长CO交AB与点E，连接BD，
∵D是CO三等分点，
∴CD=4，OD=2，
∴2DE=2OC-CD=8，
∴DE=4，
∴OE=2，
又 OB=6，
∴BE=，
∵CE⊥AB，
∴AE=BE=，
∴AB=AE+BE=.
故答案为：A.
9．如图 和 都是边长为2的等边三角形，它们的边 在同一条直线l上，点C，E重合，现将 沿着直线l向右移动，直至点B与F重合时停止移动.在此过程中，设点移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，则y随x变化的函数图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：C点移动到F点，重叠部分三角形的边长为x，由于是等边三角形，则高为 ，面积为y=x· · = ，
B点移动到F点，重叠部分三角形的边长为(4－x)，高为 ，面积为
y=(4－x)· · = ，
两个三角形重合时面积正好为 .
由二次函数图象的性质可判断答案为A，
故答案为：A.
【分析】根据图象可得出重叠部分三角形的边长为x，根据特殊角三角函数可得高为 ，由此得出面积y是x的二次函数，直到重合面积固定，再往右移动重叠部分的边长变为(4－x)，同时可得
10．如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，连接CO，作AD OC，若CO＝ ，AC＝2，则AD＝（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】D
【解析】作AE⊥OC于点E，作OF⊥CA于点F，作OG⊥AD于点G，
则EA∥OG，
∵AD∥OC，
∴四边形OEAG是矩形，
∴OG＝EA，
∵OF⊥AC，OA＝OC＝ ，AC＝2，
∴CF＝1，
∴OF＝ ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
∴OG＝ ，
∵OG⊥AD，
∴AG＝ ，
∴AD＝2AG＝ ，
故答案为：D.
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．若二次函数y＝x2﹣4x+2m的最小值是0，则m＝ .
【答案】2
【解析】 ∵将二次函数y＝x2﹣4x+2m配方成顶点式为 ，
∵最小值是0，
∴ ，解得： .
故答案为：2.
12．在不透明袋子里装有颜色不同的8个球，这些球除颜色外完全相同．每次从袋子里摸出1个球记录下颜色后再放回，经过多次重复试验，发现摸到白球的频率稳定在0.25，估计袋中白球有 个．
【答案】2
【解析】设袋中白球有个，
根据题意得：＝0.25，
解得：＝2，
故袋中白球有2个，
故答案为：2.
13．如图，在中，，，以点为圆心，的长为半径画弧，与边交于点，将 绕点旋转后点与点恰好重合，则图中阴影部分的面积为
【答案】
【解析】如图，过点D作DE⊥BC于点E，
根据题意得：BD=AD，弓形BD的面积等于弓形AD的面积，
∴阴影部分的面积等于△ACD的面积减去弓形BD的面积，
∴CD是斜边AB边上的中线，
∴CD=BD=AD，△ACD的面积等于△BCD的面积，
∵CB=CD，
∴△BCD是等边三角形，
∴∠ABC=∠DCB=60°，
∴∠BAC=30°，
∵
∴，
∴，
∴弓形BD的面积等于，
∴阴影部分的面积等于．
故答案为：
14．已知抛物线 经过点 ，点 为抛物线 的顶点，且 轴，则 的值为 ．
【答案】
【解析】∵抛物线 经过点 ，
∴ ，即 ，
∵点 为抛物线 的顶点，
∴点B的横坐标为 ，
∵ 轴，
∴A、B两点纵坐标相同，
∴点B坐标为（ ，4），
∴ ，即 ，
∴ ，
解得： ，
∴ = ．
故答案为： .
15．如图，点O是正六边形的中心，以为边在正六边形的内部作正方形连接，则 °．
【答案】105
【解析】【解答】解：连接OA、OB、OE、OF，如图，
∵点O是正六边形的中心，
∴
∴为等边三角形，
∴D，O，A在同一条直线上，
∵以为边在正六边形的内部作正方形
∴
∴
∴
∴
故答案为：105.
16．如图，中，四边形内接于圆，是直径，，若，则 ．
【答案】
【解析】如图，过A点作，交的延长线与点E，
，
为的直径，
，
，
，
，
由圆周角定理得：，
，
，
，
，
，
，
，
解得：．
故答案为：．
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．西安是一座历史悠久、文化瑰宝的城市，承载着丰富的历史遗产和人文景观，独特的文化传统，吸引着无数游客前来探索．某天甲、乙两人来西安旅游，两人分别从A、B、C三个景点中随机选择一个景点游览．
（1）甲选择A景点的概率为 ；
（2）请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两人中至少有一人选择C景点的概率．
【答案】（1）
（2）解：由题意，画树状图为：
共有9种等可能的结果，其中甲、乙两人中至少有一人选择C景点的结果有5种，
∴甲、乙两人中至少有一人选择C景点的概率为．
【解析】（1）解：共有3个景点选择，且每个景点被选择的可能性相等，
随机选择一个景点，选择景点的概率为；
故答案为：；
18．如图，
已知二次函数y= ax2 +bx+c(a≠0)的图象过点A(- 1，0)和点C(0，3)，对称轴为直线x=1．
（1）求该二次函数的表达式．
（2）结合图象，当y<3时，直接写出x的取值范围．
【答案】（1）解：根据题意 ，得
，
解得
∴二次函数的表达式为y=-x2+2x+3
（2）解：当y=3时，3=-x2+2x+3，
解得x1=0或x2=2，
∴y<3，结合图象，
∴x<0或x>2.
19． 如图，在中，弦，相交于点，连接，已知．
（1）求证：；
（2）连接、，若，的半径为，求的长．
【答案】（1）证明：，
，
，即，
；
（2）解：
连接、，
，，
，
由圆周角定理得：，
的长．
20．如图1，装有水的水槽放置在水平桌面上，其横截面是以AB为直径的半圆O，AB＝52cm，MN为水面截线，MN＝48cm，GH为桌面截线，MN∥GH．
（1）作OC⊥MN于点C，求OC的长；
（2）将图中的水倒出一部分得到图2，发现水面高度下降了14cm，求此时水面截线减少了多少．
【答案】（1）解：连接OM，
∵O为圆心，OC⊥MN，MN＝48cm，
∴，
∵AB＝52cm，
∴，
在 Rt△OMC 中，，
∴OC的长为10cm；
（2）解：过O作 OD⊥EF，连接OE，
由题得，OD＝10+14＝24cm，
在 Rt△OED 中，ED＝＝＝10cm，
∴EF＝2ED＝20cm，
∴48﹣20＝28cm
∴水面截线减少了28cm．
21．如图，⊙O的直径AB垂直弦CD于点E，F是圆上一点，D是的中点，连结CF交OB于点G，连结BC．
（1）求证：GE＝BE；
（2）若AG＝6，BG＝4，求CD的长．
【答案】（1）证明：∵D是的中点，
∴∠ECG＝∠ECB，
∵CD⊥AB，
∴∠CEG＝∠CEB＝90°，
∴∠CGE＝∠CBE，
∴CG＝CB，
∵CE⊥BG，
∴EG＝EB；
（2）解：∵AG＝6，BG＝4，
∴AB＝6+4＝10，
∴OC＝OB＝AB＝5，
∴OG＝OB﹣BG＝5﹣4＝1，
由（1）知GE＝BE＝BG＝2，
∴OE＝OG+GE＝1+2＝3，
∴CE＝＝4，
∵直径AB⊥CD，
∴CD＝2CE＝2×4＝8．
22．商场将进货价为40元每件的某商品以50元售出，平均每月能售出700件，调查表明：售价在50元至100元范围内，这种商品的售价每上涨1元，其销售量就将减少10件，设商场决定每件商品的售价为元．
（1）该商场平均每月可售出 件商品（用含的代数式表示）；
（2）商品售价定为多少元时，每月销售利润最大？
（3）该商场决定每销售一件商品就捐赠元利润给希望工程，通过销售记录发现，每件商品销售价格大于85元时，扣除捐款后每天的利润随增大而减小，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）解：设每月销售利润为元，
则，
，
当时，有最大值，最大值为16000，
商品售价定为80元时，每月销售利润最大；
（3）解：根据题意得：，
对称轴为直线，
，
当时，随的增大而减小，
每件商品销售价格大于85元时，扣除捐款后每天的利润随增大而减小，
，
解得，
又，
的取值范围为．
【解析】解：(1)每件商品的售价为x(50∴商场平均每月可售出商品700-10(x-50)=(-10x+1200)件.
故答案为：(-10x+1200).
23．如图，在中，，D是上一动点，连接，以为直径的交于点E，连接并延长交于点F，交于点G，连接．
（1）求证：点B在上．
（2）当点D移动到使时，求的值．
（3）当点D到移动到使时，求证：．
【答案】（1）证明：根据题意得，
∵，
∴，
∴，
∴点B在上．
（2）解：连接，如图，
∵，为直径，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）证明：过点B作，过点A作，交于点N，连接，
∵，
∴，
∴，
∵M为的中点，
∴，
∵，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴．
24．如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点在轴上，抛物线经过点两点，且与直线交于一点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点为轴上一点，探究是否存在最小值．若存在，请求出这个最小值及点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点为抛物线对称轴上一点，点为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点为顶点的四边形是以边的菱形．若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：由点D的纵坐标知，正方形ABCD的边长为5，
则OB＝AB AO＝5-4＝1，故点B的坐标为（1，0），
则，
解得，
∴抛物线的表达式为y＝x2＋2x-3.
（2）解：EP＋PB存在最小值，如图所示：
∵点E关于y轴对称点为E'，且点E的坐标为（2，5），
∴点E'坐标为（-2，5）．
连接BE'，交y轴于点P，连接EP，则此时EP＋PB＝E'P＋PB＝E'B最小，
由点B的坐标为（1，0），点E'坐标为（-2，5）
设直线BE'的函数表达式为y＝kx＋d，
则，
解得：，
∴直线BE'的表达式为，
令x＝0，得y＝，
∴点P坐标为(0，)．
在Rt△BCE'中，BC＝5，CE'＝1-（-2）＝3，
∴，
则EP＋PB的最小值＝BE'＝．
（3）解：∵y＝x2＋2x-3＝（x＋1）2-4，
∴抛物线对称轴为直线x＝-1，设点F的坐标为（-1，m），
在Rt△BCE中，BC＝5，CE＝1，∠BCE＝90°，
∴BE2＝BC2＋CE2＝52＋12＝26，
∵以点Q，F，E，B为顶点的四边形是以BE为边的菱形，
∴BE＝BF或BE＝EF，
当BE＝BF时，如图2，设直线x＝-1与x轴交于点H，则H（-1，0），
∴BH＝1-（-1）＝2，HF＝|m|，
∴BF2＝BH2＋HF2＝22＋|m|2＝4＋m2，
∴4＋m2＝26，
解得：，；
当EB＝EF时，如图3，设直线x＝-1与CD交于点K，则K（-1，5），
∴EK＝2-（-1）＝3，KF＝|m-5|，
在Rt△EKF中，EF2＝EK2＋KF2＝32＋|m 5|2＝m2 10m＋34，
∴m2 10m＋34＝26，
解得：，；
故点F的坐标为（-1，）或（-1，）或
（-1，）或（-1，）.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
浙教版2024-2025学年九年级上数学期中模拟卷
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．二次函数的图象与x轴的交点个数是（ ）．
A．0个 B．1个 C．2个 D．不能确定
2．已知点A在直径为8cm的⊙O内，则OA的长可能是（ ）
A．8cm B．6cm C．4cm D．2cm
3．经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，如果这三种可能性大小相同，那么两辆汽车经过这个十字路口时，第一辆车向左转，第二辆车向右转的概率是（ ）．
A． B． C． D．
4．如图，在圆 中，圆心角 ，则圆周角 （ ）
A． B． C． D．
（第4题） （第7题） （第8题） （第9题） （第10题）
5．下列命题正确的是（ ）
A．相等的弦所对的弧相等
B．平分弦的直径平分弦所对的两条弧
C．过三点能作一个圆
D．在同心圆中，同一圆心角所对的两条弧的度数相等
6．关于二次函数y=(x+2)2-4，下列说法正确的是（ ）
A．函数图象的开口向下 B．函数图象的顶点坐标是(2，-4)
C．该函数的最大值是-4 D．当x≥-2时，y随x的增大而增大
7．如图，抛物线的对称轴为直线，则下列结论中，错误的是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，将半径为6的⊙O沿AB折叠，使得折痕AB垂直半径OC，当恰好经过CO的三等分点D（靠近端点O）时，折痕AB长为（ ）
A． B． C． D．
9．如图 和 都是边长为2的等边三角形，它们的边 在同一条直线l上，点C，E重合，现将 沿着直线l向右移动，直至点B与F重合时停止移动.在此过程中，设点移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，则y随x变化的函数图象大致为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，连接CO，作AD OC，若CO＝ ，AC＝2，则AD＝（ ）
A．3 B． C． D．
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．若二次函数y＝x2﹣4x+2m的最小值是0，则m＝ .
12．在不透明袋子里装有颜色不同的8个球，这些球除颜色外完全相同．每次从袋子里摸出1个球记录下颜色后再放回，经过多次重复试验，发现摸到白球的频率稳定在0.25，估计袋中白球有 个．
13．如图，在中，，，以点为圆心，的长为半径画弧，与边交于点，将 绕点旋转后点与点恰好重合，则图中阴影部分的面积为
（第13题） （第15题） （第16题）
14．已知抛物线 经过点 ，点 为抛物线 的顶点，且 轴，则 的值为 ．
15．如图，点O是正六边形的中心，以为边在正六边形的内部作正方形连接，则 °．
16．如图，中，四边形内接于圆，是直径，，若，则 ．
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．西安是一座历史悠久、文化瑰宝的城市，承载着丰富的历史遗产和人文景观，独特的文化传统，吸引着无数游客前来探索．某天甲、乙两人来西安旅游，两人分别从A、B、C三个景点中随机选择一个景点游览．
（1）甲选择A景点的概率为 ；
（2）请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两人中至少有一人选择C景点的概率．
18．如图，已知二次函数y= ax2 +bx+c(a≠0)的图象过点A(- 1，0)和点C(0，3)，对称轴为直线x=1．
（1）求该二次函数的表达式．
（2）结合图象，当y<3时，直接写出x的取值范围．
19． 如图，在中，弦，相交于点，连接，已知．
（1）求证：；
（2）连接、，若，的半径为，求的长．
20．如图1，装有水的水槽放置在水平桌面上，其横截面是以AB为直径的半圆O，AB＝52cm，MN为水面截线，MN＝48cm，GH为桌面截线，MN∥GH．
（1）作OC⊥MN于点C，求OC的长；
（2）将图中的水倒出一部分得到图2，发现水面高度下降了14cm，求此时水面截线减少了多少．
21．如图，⊙O的直径AB垂直弦CD于点E，F是圆上一点，D是的中点，连结CF交OB于点G，连结BC．
（1）求证：GE＝BE；
（2）若AG＝6，BG＝4，求CD的长．
22．商场将进货价为40元每件的某商品以50元售出，平均每月能售出700件，调查表明：售价在50元至100元范围内，这种商品的售价每上涨1元，其销售量就将减少10件，设商场决定每件商品的售价为元．
（1）该商场平均每月可售出 件商品（用含的代数式表示）；
（2）商品售价定为多少元时，每月销售利润最大？
（3）该商场决定每销售一件商品就捐赠元利润给希望工程，通过销售记录发现，每件商品销售价格大于85元时，扣除捐款后每天的利润随增大而减小，求的取值范围．
23．如图，在中，，D是上一动点，连接，以为直径的交于点E，连接并延长交于点F，交于点G，连接．
（1）求证：点B在上．
（2）当点D移动到使时，求的值．
（3）当点D到移动到使时，求证：．
24．如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点在轴上，抛物线经过点两点，且与直线交于一点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点为轴上一点，探究是否存在最小值．若存在，请求出这个最小值及点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点为抛物线对称轴上一点，点为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点为顶点的四边形是以边的菱形．若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
