期中模拟卷（2）-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册（含解析）
文档属性
| 名称 | 期中模拟卷（2）-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 361.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-11-08 12:56:48 | ||
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文档简介
【期中卷】高二数学精选模拟（人教A版）2
一、单选题（共8题，共 40 分）
1. （5分）已知直线斜率为，且，那么倾斜角的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
2. （5分）与双曲线 有相同渐近线，且与椭圆 有共同焦点的双曲线方程是（ ）．
A. B. C. D.
3. （5分）如图，将的菱形沿对角线折起，使得平面平面，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）．
A. B. C. D.
4. （5分）《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱．如图，在堑堵ABC﹣A1B1C1中，M，N分别是A1C1，BB1的中点，G是MN的中点，若，则x+y+z＝（ ）
A．1 B． C． D．
5. （5分）如图所示，已知是椭圆的左 右焦点，为椭圆的上顶点，在轴上，，且是的中点，为坐标原点，若点到直线的距离为，则椭圆的方程为（ ）
A. B. C. D.
6. （5分）圆：和圆：的交点，，则有（ ）．
A. 公共弦所在直线方程为 B. 公共弦的长为 C. 线段的中垂线方程为 D.
7. （5分）双曲线的左、右焦点分别为、．过作其中一条渐近线的垂线，垂足为．已知，直线的斜率为，则双曲线的方程为（ ）．
A. B. C. D.
8. （5分）已知点，分别是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于，两点，且满足，，则该椭圆的离心率是（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（共3题，共 18 分）
9. （6分）经过点，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形的直线方程为（ ）．
A. B. C. D.
10. （6分）若方程表示的曲线为，则下列说法正确的有（ ）．
A. 若曲线为椭圆，则 B. 若曲线为双曲线，则或 C. 曲线不可能是圆 D. 若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则
11. （6分）如图，双曲线（，）的左右焦点分别为和，点、分别在双曲线的左、右两支上，为坐标原点，且，则下列说法正确的有（ ）．
A. 双曲线的离心率 B. 若且，则的渐近线方程为 C. 若，则 D. 若，则
三、填空题（共3题，共 15 分）
12. （5分）已知空间向量，，则在方向上的投影向量为 .
13. （5分）一条沿直线传播的光线经过点和，然后被直线反射，则反射光线所在直线方程为 （用一般式表示）．
14. （5分）已知直线 与椭圆 在第一象限交于 ， 两点，与 轴， 轴分别交于 ， 两点，且 ，，则直线 的方程为 ．
四、解答题（共5题，10小题；共 77 分）
15. 已知两直线：，：．
（1）（6分）求过两直线的交点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程．
（2）（7分）若直线：与，不能构成三角形，求实数的值．
16. 已知直线：分别与轴，轴交于，两点，圆：．
（1）（6分）已知平行于的直线与圆相切，求直线的方程．
（2）（9分）已知动点在圆上，求的面积的取值范围．
17. 如图，在多面体中，四边形为正方形，平面，，，．
（1）（6分）求证：．
（2）（9分）在线段上是否存在点，使得直线与所成角的余弦值为？若存在，求出点到平面的距离；若不存在，请说明理由．
18. 已知双曲线的一条渐近线方程为，焦距为．
（1）（6分）求双曲线的标准方程．
（2）（11分）若为坐标原点，过的直线交双曲线于，两点，且的面积为，求直线的方程．
19. 如图，椭圆的顶点，，，，四边形面积为，直线与圆：相切．
（1）（6分）求椭圆的离心率；
（2）（11分）若是椭圆上除顶点外的任意点，直线交轴于点，直线交于点．设的斜率为，探究是否过定点．若过定点，求出该定点的坐标，若不过定点，请说明理由.
参考答案
一、单选题（共8题，共 40 分）
1【答案】B
【解析】∵直线的斜率为，且，
，．
．
故选：．
2【答案】B
【解析】方法一：由题可知该双曲线焦点为 ，且与双曲线 有相同渐近线，
故设该双曲线方程为（），焦点为 ，
故，得，
故双曲线方程为．
故选．方法二：由题可知该双曲线焦点为 ，
故设该双曲线方程为 ，
又因为渐近线方程为，故 ，解得，
故双曲线方程为 ．
故选．
3【答案】B
【解析】如下图所示，取中点为坐标原点，建立空间直角坐标系，
令，则，，，，
则，，
异面直线，所成角的余弦值为．
故选．
4【答案】A
连接AM，AN，因为G是MN的中点，所以，
因为ABC﹣A1B1C1底面为直角三角形的直棱柱，
所以四边形AA1B1B，BCC1B1，ACC1A1为长方形，
又因M，N分别是A1C1，BB1的中点，
则，
又因，所以可得，解得，
所以．
故选：A．
5【答案】D
【解析】且，则是等边三角形，
设，则①，
∴直线的方程为，即，
∴到直线的距离为②，
又③，联立①②③，解得，，
故椭圆方程为.故选：.
6【答案】D
【解析】A 选项：公共弦所在直线方程为两圆方程之差，即，故错误；B 选项：公共弦：，圆：，圆心到公共弦的距离为．
公共弦长，故错误；C 选项：线段的中垂线即两圆心所在直线方程：，故错误；D 选项：圆：．
圆心，半径，．
所以，故正确．故选 D.
7【答案】D
【解析】方法一：如图所示，
，不妨设渐近线方程为，即，
，
．
设，则，
，
，
，
，
，
，
，
．
，解得，
双曲线的方程为．
故选．方法二：由题意知，故选项、选项错误．
过点作轴，
在中，易得，
，
解得，
∴．
故选．
8【答案】B
【解析】如下图所示：
设，则，
因为，则，
由椭圆的定义可得
，则，
所以，则，
在中，由勾股定理可得，
则，则，
因此，该椭圆的离心率为．
故选：．
二、多选题（共3题，共 18 分）
9【答案】A B
【解析】由题意知，所求直线的斜率为，
又直线经过点，由直线的点斜式方程得．
所求直线的方程为或．
故选：．
10【答案】B D
【解析】对于选项，当时，，此时曲线为圆，故选项错，选项错；
对于选项，若曲线为双曲线，则，
即或，故选项对；
对于选项，若曲线表示焦点在轴上的椭圆，
则，解得，故选项对．
故选．
11【答案】A C D
【解析】对于，，
两渐近线夹角小于，
，
，正确；
对于，当时，为等腰直角三角形，
，
又点在双曲线上，代入双曲线方程得，
即，
，
渐近线方程为，错误；
对于，在双曲线上取关于原点的对称点，连接，
，，，
，
，
又，
，
又，为中点，
，必有，，三点共线，
为的平分线，
，正确；
对于，在上取一点使得，
，
，
，，
又，，
，
，正确．
故选：．
三、填空题（共3题，共 15 分）
12【答案】
【解析】，
与同向的单位向量，
在方向上的投影向量为，
因此正确答案为：．
13【答案】
【解析】由题意可得所在直线方程为：，即，
联立直线方程，
得入射点，
设点关于直线的对称点为，
则，
解得，
所以点，
即反射光线的方程为:，即．
故答案为: ．
14【答案】
【解析】令的中点为，因为，所以，
设，，则，
所以，
即，
所以，即，
设直线，，，
令得，令得，即，，
所以，即，解得或（舍去），
又，即，解得或（舍去），
所以直线，即．
故答案为：．
四、解答题（共5题，10小题；共 77 分）
15（1）【答案】或
【解析】把两直线：，：的方程联立得，
解得，可得两直线的交点为．
当要求的直线过原点时，斜率为，方程为．
当要求的直线不过原点时，设方程为，把交点代入，得，
可得要求的直线方程为．
15（2）【答案】或，
【解析】当时，根据，解得；
当时，根据，解得；
当经过和的交点时，由，解得．
综上可得，或或．
16（1）【答案】或者
【解析】解：设直线的方程为，
则，解得或，
所以直线的方程为或者．
16（2）【答案】
【解析】解：由，，，
设点到直线的距离为，圆的半径为，
又圆心到直线的距离，
所以，即，
则，
故的面积的取值范围为．
17（1）【答案】见解析
【解析】因为四边形为正方形，平面，
如图，以为原点，分别以、、的方向为、、轴的正方向，建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
所以，
所以，
所以，
所以．
17（2）【答案】
【解析】设线段上存在一点，使得与所成角的余弦值为，
则，
又，
所以，
解得（负值舍去），
所以存在满足条件，
所以，
依题意可得，，
设为平面的法向量，
则，
设，可得，
所以点到平面的距离为．
18（1）【答案】
【解析】由题意得：，，，
解得：，，，
双曲线的标准方程为．
18（2）【答案】或
【解析】由题意可知，直线的斜率一定存在，
设直线的方程为，，，，，
联立方程组，消去整理得，
则，
，
原点到直线的距离为 ，
所以
，
解得或，
故，或，
故直线方程为或．
19（1）【答案】
【解析】因为直线与圆：相切，
所以，即，
又，
所以，
所以椭圆方程为，则，
所以椭圆的离心率．
19（2）【答案】过定点
【解析】由可知，，，的斜率为，
所以直线的方程为，由，消去得，其中，
所以，
所以，
则直线的斜率，
所以直线的方程为，
令，则，即，
因为直线的方程为，由，
解得，
所以，
所以的斜率，
所以直线的方程为，即，
令，解得，
所以直线过定点．
一、单选题（共8题，共 40 分）
1. （5分）已知直线斜率为，且，那么倾斜角的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
2. （5分）与双曲线 有相同渐近线，且与椭圆 有共同焦点的双曲线方程是（ ）．
A. B. C. D.
3. （5分）如图，将的菱形沿对角线折起，使得平面平面，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）．
A. B. C. D.
4. （5分）《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱．如图，在堑堵ABC﹣A1B1C1中，M，N分别是A1C1，BB1的中点，G是MN的中点，若，则x+y+z＝（ ）
A．1 B． C． D．
5. （5分）如图所示，已知是椭圆的左 右焦点，为椭圆的上顶点，在轴上，，且是的中点，为坐标原点，若点到直线的距离为，则椭圆的方程为（ ）
A. B. C. D.
6. （5分）圆：和圆：的交点，，则有（ ）．
A. 公共弦所在直线方程为 B. 公共弦的长为 C. 线段的中垂线方程为 D.
7. （5分）双曲线的左、右焦点分别为、．过作其中一条渐近线的垂线，垂足为．已知，直线的斜率为，则双曲线的方程为（ ）．
A. B. C. D.
8. （5分）已知点，分别是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于，两点，且满足，，则该椭圆的离心率是（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（共3题，共 18 分）
9. （6分）经过点，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形的直线方程为（ ）．
A. B. C. D.
10. （6分）若方程表示的曲线为，则下列说法正确的有（ ）．
A. 若曲线为椭圆，则 B. 若曲线为双曲线，则或 C. 曲线不可能是圆 D. 若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则
11. （6分）如图，双曲线（，）的左右焦点分别为和，点、分别在双曲线的左、右两支上，为坐标原点，且，则下列说法正确的有（ ）．
A. 双曲线的离心率 B. 若且，则的渐近线方程为 C. 若，则 D. 若，则
三、填空题（共3题，共 15 分）
12. （5分）已知空间向量，，则在方向上的投影向量为 .
13. （5分）一条沿直线传播的光线经过点和，然后被直线反射，则反射光线所在直线方程为 （用一般式表示）．
14. （5分）已知直线 与椭圆 在第一象限交于 ， 两点，与 轴， 轴分别交于 ， 两点，且 ，，则直线 的方程为 ．
四、解答题（共5题，10小题；共 77 分）
15. 已知两直线：，：．
（1）（6分）求过两直线的交点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程．
（2）（7分）若直线：与，不能构成三角形，求实数的值．
16. 已知直线：分别与轴，轴交于，两点，圆：．
（1）（6分）已知平行于的直线与圆相切，求直线的方程．
（2）（9分）已知动点在圆上，求的面积的取值范围．
17. 如图，在多面体中，四边形为正方形，平面，，，．
（1）（6分）求证：．
（2）（9分）在线段上是否存在点，使得直线与所成角的余弦值为？若存在，求出点到平面的距离；若不存在，请说明理由．
18. 已知双曲线的一条渐近线方程为，焦距为．
（1）（6分）求双曲线的标准方程．
（2）（11分）若为坐标原点，过的直线交双曲线于，两点，且的面积为，求直线的方程．
19. 如图，椭圆的顶点，，，，四边形面积为，直线与圆：相切．
（1）（6分）求椭圆的离心率；
（2）（11分）若是椭圆上除顶点外的任意点，直线交轴于点，直线交于点．设的斜率为，探究是否过定点．若过定点，求出该定点的坐标，若不过定点，请说明理由.
参考答案
一、单选题（共8题，共 40 分）
1【答案】B
【解析】∵直线的斜率为，且，
，．
．
故选：．
2【答案】B
【解析】方法一：由题可知该双曲线焦点为 ，且与双曲线 有相同渐近线，
故设该双曲线方程为（），焦点为 ，
故，得，
故双曲线方程为．
故选．方法二：由题可知该双曲线焦点为 ，
故设该双曲线方程为 ，
又因为渐近线方程为，故 ，解得，
故双曲线方程为 ．
故选．
3【答案】B
【解析】如下图所示，取中点为坐标原点，建立空间直角坐标系，
令，则，，，，
则，，
异面直线，所成角的余弦值为．
故选．
4【答案】A
连接AM，AN，因为G是MN的中点，所以，
因为ABC﹣A1B1C1底面为直角三角形的直棱柱，
所以四边形AA1B1B，BCC1B1，ACC1A1为长方形，
又因M，N分别是A1C1，BB1的中点，
则，
又因，所以可得，解得，
所以．
故选：A．
5【答案】D
【解析】且，则是等边三角形，
设，则①，
∴直线的方程为，即，
∴到直线的距离为②，
又③，联立①②③，解得，，
故椭圆方程为.故选：.
6【答案】D
【解析】A 选项：公共弦所在直线方程为两圆方程之差，即，故错误；B 选项：公共弦：，圆：，圆心到公共弦的距离为．
公共弦长，故错误；C 选项：线段的中垂线即两圆心所在直线方程：，故错误；D 选项：圆：．
圆心，半径，．
所以，故正确．故选 D.
7【答案】D
【解析】方法一：如图所示，
，不妨设渐近线方程为，即，
，
．
设，则，
，
，
，
，
，
，
，
．
，解得，
双曲线的方程为．
故选．方法二：由题意知，故选项、选项错误．
过点作轴，
在中，易得，
，
解得，
∴．
故选．
8【答案】B
【解析】如下图所示：
设，则，
因为，则，
由椭圆的定义可得
，则，
所以，则，
在中，由勾股定理可得，
则，则，
因此，该椭圆的离心率为．
故选：．
二、多选题（共3题，共 18 分）
9【答案】A B
【解析】由题意知，所求直线的斜率为，
又直线经过点，由直线的点斜式方程得．
所求直线的方程为或．
故选：．
10【答案】B D
【解析】对于选项，当时，，此时曲线为圆，故选项错，选项错；
对于选项，若曲线为双曲线，则，
即或，故选项对；
对于选项，若曲线表示焦点在轴上的椭圆，
则，解得，故选项对．
故选．
11【答案】A C D
【解析】对于，，
两渐近线夹角小于，
，
，正确；
对于，当时，为等腰直角三角形，
，
又点在双曲线上，代入双曲线方程得，
即，
，
渐近线方程为，错误；
对于，在双曲线上取关于原点的对称点，连接，
，，，
，
，
又，
，
又，为中点，
，必有，，三点共线，
为的平分线，
，正确；
对于，在上取一点使得，
，
，
，，
又，，
，
，正确．
故选：．
三、填空题（共3题，共 15 分）
12【答案】
【解析】，
与同向的单位向量，
在方向上的投影向量为，
因此正确答案为：．
13【答案】
【解析】由题意可得所在直线方程为：，即，
联立直线方程，
得入射点，
设点关于直线的对称点为，
则，
解得，
所以点，
即反射光线的方程为:，即．
故答案为: ．
14【答案】
【解析】令的中点为，因为，所以，
设，，则，
所以，
即，
所以，即，
设直线，，，
令得，令得，即，，
所以，即，解得或（舍去），
又，即，解得或（舍去），
所以直线，即．
故答案为：．
四、解答题（共5题，10小题；共 77 分）
15（1）【答案】或
【解析】把两直线：，：的方程联立得，
解得，可得两直线的交点为．
当要求的直线过原点时，斜率为，方程为．
当要求的直线不过原点时，设方程为，把交点代入，得，
可得要求的直线方程为．
15（2）【答案】或，
【解析】当时，根据，解得；
当时，根据，解得；
当经过和的交点时，由，解得．
综上可得，或或．
16（1）【答案】或者
【解析】解：设直线的方程为，
则，解得或，
所以直线的方程为或者．
16（2）【答案】
【解析】解：由，，，
设点到直线的距离为，圆的半径为，
又圆心到直线的距离，
所以，即，
则，
故的面积的取值范围为．
17（1）【答案】见解析
【解析】因为四边形为正方形，平面，
如图，以为原点，分别以、、的方向为、、轴的正方向，建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
所以，
所以，
所以，
所以．
17（2）【答案】
【解析】设线段上存在一点，使得与所成角的余弦值为，
则，
又，
所以，
解得（负值舍去），
所以存在满足条件，
所以，
依题意可得，，
设为平面的法向量，
则，
设，可得，
所以点到平面的距离为．
18（1）【答案】
【解析】由题意得：，，，
解得：，，，
双曲线的标准方程为．
18（2）【答案】或
【解析】由题意可知，直线的斜率一定存在，
设直线的方程为，，，，，
联立方程组，消去整理得，
则，
，
原点到直线的距离为 ，
所以
，
解得或，
故，或，
故直线方程为或．
19（1）【答案】
【解析】因为直线与圆：相切，
所以，即，
又，
所以，
所以椭圆方程为，则，
所以椭圆的离心率．
19（2）【答案】过定点
【解析】由可知，，，的斜率为，
所以直线的方程为，由，消去得，其中，
所以，
所以，
则直线的斜率，
所以直线的方程为，
令，则，即，
因为直线的方程为，由，
解得，
所以，
所以的斜率，
所以直线的方程为，即，
令，解得，
所以直线过定点．