四川省内江市2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题（含答案）

2024级高一上期半期考试
数学试题
数学试题共4页.满分150分.考试时间120分钟. 注意事项：
1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上.
2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡 皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号.
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.
第Ⅰ卷(选择题 ，共58分)
一、单选题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项
中，只有一项符合题目要求）.
1 ．已知集合A = {x | -1 < x ≤ 2}, B = {x | -2 < x ≤ 1} ，则A UB = ( )
A ．{x | -1 < x < 1} B ．{x | -1 < x ≤ 1}
C ．{x | -2 < x < 2} D ．{x | -2 < x ≤ 2}
2 ．函数f 的定义域为 ( )
D .
3 ．已知集合A 满足A ≤ {0, 1, 2, 3} ，则满足条件的集合A 的个数为 ( )
A ．8 B ．10 C ．14 D ．16
4 ．已知函数f(x) 满足f(x + 2) = 3x + 4 ，则f (2) = ()
A ．-2 B ．1 C ．4 D ．7
5 ．下列命题为真命题的是 ( )
A ．若a > b ，则a2 > b2 B ．若a > b ，则ac2 > bc2
C ．若a > b ，则 D ．若a > b > 0 ，则
6 ．已知 x>3 ，则对于y = x + 下列说法正确的是 ( )
A．y 有最大值 7 B．y 有最小值 7 C．y 有最小值 4 D．y 有最大值 4
7 ．设x, y ∈ R ，下列说法中错误的是 ()
A ．“ x > 1”是“ x2 > 1”的充分不必要条件
B ．“ x > 1 ，y > 1 ”是“x + y > 2 ，xy > 1 ”的充要条件
C ．“ xy = 0 ”是“ x2 + y2 = 0 ”的必要不充分条件
D ．“ x2 ≠ 4”是“x ≠ 2”的充分不必要条件
8 ．当x ∈(一1, 1) 时，不等式2kx2 一 kx 一 恒成立，则k 的取值范围是 ()
A ．(一3, 0) B ．[一3, 0) C ． D .
二、多选题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项
中，有两项或两项以上符合题目要求）.
9 ．已知p：“ x ∈ R ，x2 一 (a + 1)x + 1 > 0 恒成立”为真命题，下列选项可以作为p 的 充分条件的有 ()
A ．一3 < a < 0 B ．a ≤ 一3或a ≥ 1
C ．0 < a < 1 D ．一3 < a < 1
10 ．下列说法正确的是 ()
A ． 1+x . 1一x 与y = 1一x2 表示同一个函数
B ．已知函数f (x) 的定义域为[一3, 1] ，则函数f (2x 一1) 的定义域为[一1, 1]
C ．函数y = x + 的值域为[0, +∞)
D ．已知函数满足f = x ，则f = 一
11．已知集合{x x 2 + ax +b = 0,a > 0}有且仅有两个子集，则下面正确的是 ()
A ．a2 一 b2 ≤ 4
B .
C ．若不等式x2 + ax 一 b < 0 的解集为(x1, x2 ) ，则x1x2 > 0
(
x
1
一
x
2
)D ．若不等式x2 + ax + b < c 的解集为(x1, x2 ) ，且
= 4 ，则 c = 4
第Ⅱ卷（非选择题，共 92 分）
三、填空题（本大共 3 小题 ，每小题 5 分,满分 15 分）.
12 ．命题“x > 0, 2x2 + x +1 > 0”的否定是 .
13 ．设函数f(x) ，g (x) 分别由下表给出：
x 1 2 3 4
f(x) 1 3 1 3
g (x) 3 2 3 2
则满足f(g(x)) = g(f(x)) 的x 的值为 .
14．设函数 0 ，若f 则实数a 的取值范围是 .
四、解答题（本题共计 5 小题，共 77 分，解答应写出文字说明，证明过程或演 算步骤）.
15 ．（13 分）已知函数
(1)在如图给定的直角坐标系内画出f (x) 的图象；
(2)求不等式f (x) > 1 的解集.
16 ．（15 分）已知函数f (x) = x2 一 2bx + 3, b ∈R .
(1)若函数f (x ) 的图象经过点(4, 3) ，求实数b 的值；
(2)在（1）的条件下，求不等式f (x) < 0 的解集；
(3)解关于x 的不等式2x2 + (1一 2a) x 一 a > 0 .
17 ．（15 分）通过技术创新，某公司的汽车特种玻璃已进入欧洲市场．2023 年， 该种玻璃售价为 25 欧元/平方米，销售量为 80 万平方米，销售收入为 2000 万欧 元.
(1)据市场调查，若售价每提高 1 欧元/平方米，则销售量将减少 2 万平方米；要 使销售收入不低于 2000 万欧元，试问：该种玻璃的售价最多提高到多少欧元/ 平方米？
(2)为提高年销售量，增加市场份额，公司将在 2024 年对该种玻璃实施二次技术 创新和营销策略改革：提高价格到m 欧元/平方米（其中m > 25 ），其中投入
万欧元作为技术创新费用，投入 500 万欧元作为固定宣传费用，投入2m 万欧元作为浮动宣传费用，试问：该种玻璃的销售量n （单位/万平方米）至少达 到多少时，才可能使 2024 年的销售收入不低于 2023 年销售收入与 2024 年投入 之和？并求出此时的售价.
18 ．（17 分）命题p :任意x ∈ R, x2 一 2mx 一 5m > 0 成立；命题 q : 3x ∈[0, 4], x2 一 2x 一 3 + m ≥ 0 成立.
(1)若命题p 为真命题，求实数m 的取值范围；
(2)若命题p, q 至少有一个为真命题，求实数m 的取值范围；
19．（17 分）问题：正实数a, b 满足a + b = 1 ，求 的最小值．其中一种解法是： +2 ≥3 +2 当且仅当且a + b = 1 时，即
a = 一1且b = 2 一 时取等号．学习上述解法并解决下列问题：
(1)若正实数x, y 满足x + y = 1 ，求 的最小值；
(2)若实数a, b, x, y 满足 一 试比较a2 一 b2 和(x 一 y )2 的大小，并指明等号成立
的条件；
(3)求代数式3m一5 一 一2 的最小值，并求出使得M 最小的m 的值.
2024级高一上期半期考试
数学参考答案
单选题
1～5:DDDCD 6～8:BBD
多选题
9:ACD 10:ABD 11:ABD
填空题
12 ． 3x > 0, 2x2 + x +1≤ 0 13 ．2 或 4 14 ． (-∞,
解答题
15 ．（满分 13 分）
解：（1）当-1 ≤ x ≤ 2 时：
x - 1 0 1 2
f(x) 2 3 2 - 1
当2 < x ≤ 5 时：
x 2 5
f(x) - 1 2
………………………………………………………………………………………………（1 分）
图像如下：
(
（
6
分）
)………………………………………………
( 2 ) 令f (x ) > 1 则
当-1 ≤ x ≤ 2 时，f (x) > 1 3 - x2 > 1，……………………………………………………（7 分）
所以x2 - 2 < 0 ，解得- 2 ≤ x ≤ ·2 ，………………………………………………………（8 分）
所以-1≤ x < ·2 ； …………………………………………………………………………（9 分）
当2 < x ≤ 5 时，f (x ) > 1 x - 3 > 1 ，……………………………………………………（10 分）
解得x > 4 ，所以4 < x ≤ 5 ；………………………………………………………………（11 分）
综上， -1≤ x < ·2 或4 < x ≤ 5 ……………………………………………………………（12 分）
所以f (x)> 1 的解集为[-1, ) (4, 5]．…………………………………………………（13 分）
16 ．(满分 15 分）
解：（1）因为f (x) = x2 - 2bx + 3 的图象经过点(4, 3)，
所以f (4) = 42 - 8b + 3 = 3 ，则b = 2 ； ……………………………………………………（2 分）
（2）由（1）得f (x ) = x2 - 4x + 3 = (x -1)(x - 3) < 0 ，…………………………………（4 分）
解得1 < x < 3 ，………………………………………………………………………………（5 分）
所以不等式f (x)< 0 的解集为{x 1 < x < 3 }；………………………………………………（6 分）
（3）:2x2 + (1 - 2a )x - a > 0, : (x - a )(2x +1 )> 0 ，………………………………………（8 分）
当a > - 时，不等式的解集为；……………………………………
当a < - 时，不等式的解集为；……………………………………
当a = - 时，不等式的解集为 .………………………………………………
综上所述：
当a > - 时，不等式的解集为 当a < - 时，不等式的解集为{l (〔)x∣x < a或x > -
(
1
〔
1
)
)当a = - 2 时，不等式的解集为{lx x ≠ - 2,} ………………………………………………（15 分）
17 ．（满分 15 分）
解：（1）设该种玻璃的售价提高到x (x ≥ 25) 欧元/平方米，……………………………（1 分）
则有80 - 2(x - 25) x ≥ 2000 ，……………………………………………………………（3 分）
解得：25 ≤ x ≤ 40 ，…………………………………………………………………………（4 分）
所以该种玻璃的售价最多提高到 40 欧元/平方米. …………………………………………（5 分）
（2） 由题mn ≥2000 + 500 + 2m +m2 -600) ， ………………………………………（7 分）
整理得：mn ≥1500 + 2m + m2 ，…………………………………………………………（8 分）
除以m 得：n ≥m + 2 ，…………………………………………………………
由基本不等式得：
当且仅当 m ，即m = 30 > 25 时，等号成立，…………………………………（14 分）
所以该种玻璃的销售量n 至少达到 102 万平方米时，才可能使2024 年的销售收入不低于2023
年销售收入与2024 年投入之和，此时的售价为 30 欧元/平方米.………………………（15 分）
18 ．（满分 17 分）
解：（1）对于命题p : 对任意x ∈ R ，不等式x2 - 2mx - 5m > 0恒成立，
则有Δ = 4m2 + 4× 5m = 4m( m + 5) < 0，……………………………………………………（2 分）
解的-5 < m < 0 ；……………………………………………………………………………（3 分）
综上，当p 为真时，实数m 的取值范围是{m | -5 < m < 0}………… …………………（4 分）
（2）对于命题q : 存在x ∈[0, 4] ，使得不等式x2 - 2x - 3 + m ≥ 0 成立，
只需(x2 - 2x - 3 + m)max ≥ 0 ，而x2 - 2x - 3 + m = (x -1)2 + m - 4 ，………………………（6 分）
: x = 4, (x2 - 2x - 3+ m )max = 9 + m - 4 = m + 5 ，: m + 5 ≥ 0 ，则m ≥ -5 ，………………（8 分）
所以当命题q 为真时，实数m 的取值范围是m ≥ -5 ，……………………………………（9 分）
从而当命题p 为假命题， q 为真命题时，
m ≤ -5 或m ≥ 0 且m ≥ -5 ，则m ≥ 0 或m = -5 ； （11 分）
当命题p 为真命题，q 为假命题时，-5 < m < 0 且m < -5 ，无解； （13 分）
(
〔-
5
<
m
<
0
l
m
≥
-
5
)当命题p 为真命题，q 为真命题时，{ ，则-5 < m < 0 ；……………………（15 分）
综上所述：m ≥ -5 .…………………………………………………………………………（16 分）
所以当命题p ，q 至少有一个为真命题时，实数m 的取值范围是{m | m ≥ 5}…………（17 分）
19 ．（满分 17 分）
解：（1）因为x > 0, y > 0 且x + y = 1，
所以 ≥ 5 + 2 = 5 + 26 ，…………………
当且仅当 即x = - 2, y = 3 - 时取等号，…………………………………（3 分）
y x
所以x + y 的最小值是5 + 26 ．……………………………………………………………（4 分）
(
………（
6
分）
)
(
又由
) (
等号成立，
……（
7
分）
)，当且仅当 时，
(
(
)
) (
2
) (
2
2
) (
，…………………（
8
分）
) (
2
) (
≤
+
-
=
-
) (
xy
x y
xy
x
y
)所以x2 + y2 - ≤ x2 + y2 -2
(
当且仅当
) = 且x, y 同号时等号成立，所以a2 -b2 ≤ (x - y )2 ，
2 2
(
此时
x
,
y
也满足
)a (x)2 - b (y)2 = 1 . …………………………………………………………………（9 分）
(
，可得
m
≥
2
，………………………（
11
分）
) (
（
3
）令
)x = 3m - 5, y = m - 2 ，由
则x2 - y2 = (3m -5) -( m - 2) = 2m -3 > 0，………………………………………………（12 分）
(
，………………………………………（
13
分）
)因为x > 0, y > 0 ，所以x > y ，构造
(
因此
a
2
=
1,
b
2
=
) (
…………………………………（
14
分）
)由x2 - 3y2 = 1 ，可得
(
a
2
-
b
2
) (
1
1
-
3
)
(
、
6
=
，
) (
由（
2
）知
) (
=
)M = ·3m - 5 - ·m - 2 = x - y ≥
3
(
取等号时
x
2
=
3
y
2
且
x
,
y
)同正，………………………………………………………（15 分）
(
6
) (
6
) (
3
m
-
5
) (
结合
x
2
-
3
y
2
=
1
，解得
) (
，即
) (
…………………（
16
分）
) (
x
=
) (
,
y
=
) (
2
) (
6
) (
6
)
(
M
取得最小值
) (
所以
时，
)．……………………………………………………（17 分）
3