期中模拟卷（1）-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册（含解析）

【期中卷】高二数学精选模拟（人教A版）1
一、单选题（共8题，共 40 分）
1. （5分）已知椭圆：的一个焦点为，则椭圆的离心率为(　　)
A. B. C. D.
2. （5分）在三棱锥中，，，是的中点，满足，则异面直线，所成角的余弦值为（　）．
A. B. C. D.
3. （5分）曲线与直线有两个不同交点，实数的取值范围是（　）．
A. B. C. D.
4. （5分）如图，在正方体中，点是线段上的动点（含端点），点是线段的中点，设与平面所成角为，则的最小值是（　）．
A. B. C. D.
5. （5分）已知双曲线：，为坐标原点，为的右焦点，过的直线与的两条渐近线的交点分别为，．若为直角三角形，则（　）．
A. B. C. D.
6. （5分）设，是椭圆：的左、右焦点，是椭圆上的一点且满足的面积是，则（　）．
A. B. C. D.
7. （5分）如下图，边长为的正方形所在的平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点．当三棱锥体积最大时，则面与面所成二面角的正弦值为(　　)
A. B. C. D.
8. （5分）已知双曲线的两条渐近线分别为直线、，经过右焦点且垂直于的直线分别交、于、两点，且，则该双曲线的离心率为(　　)
A. B. C. D.
二、多选题（共3题，共 18 分）
9. （6分）已知空间三点, , ，则下列说法正确的是（　）．
A. B.
C. D.
10. （6分）已知圆，直线，则（　）．
A. 直线过定点
B. 直线与圆可能相离
C. 圆被轴截得的弦长为
D. 圆被直线截得的弦长最短时，直线的方程为
11. （6分）已知双曲线的左，右顶点分别为，，点，是双曲线上关于原点对称的两点（异于顶点），直线，，的斜率分别为，，，若，则下列说法正确的是（　）．
A. 双曲线的渐近线方程为 B. 双曲线的离心率为
C. 为定值 D. 的取值范围为
三、填空题（共3题，共 15 分）
12. （5分）点关于直线对称的点坐标为 　　　 ．
13. （5分）点为椭圆上一点，、分别是圆和上的动点，则的取值范围是 　　　 ．
14. （5分）如图，已知双曲线的左、右焦点分别为，，，是双曲线右支上的一点，与轴交于点，的内切圆在上的切点为，若，则双曲线的离心率是 　　　　 ．
四、解答题（共5题，共 77 分）
15. 已知圆的圆心坐标为，且圆与轴相切．
（1）（6分）已知，，点是圆上的任意一点，求的最小值．
（2）（7分）已知，直线的斜率为，且与轴交于点．若直线与圆相离，求的取值范围．
16. 如图，点，分别是椭圆（）的左、右焦点，点是椭圆上一点，且满足轴，，直线与椭圆相交于另一点．
（1）（7分）求椭圆的离心率．
（2）（8分）若的周长为 ，求椭圆的标准方程．
17. 如图，在三棱锥中，，，为的中点．
（1）（6分）证明：平面．
（2）（9分）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值．
18. 已知点、为双曲线：的左、右焦点，过作垂直于轴的直线，在轴上方交双曲线于点，且．
（1）（7分）求双曲线的方程．
（2）（10分）过双曲线上任意一点作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为、，求的值．
19. 已知椭圆的一个顶点为，右焦点为，且，其中为原点．
（1）（5分）求椭圆的方程．
（2）（12分）已知点满足，点在椭圆上(异于椭圆的顶点)，直线与以为圆心的圆相切于点，且为线段的中点．求直线的方程．
参考答案
一、单选题（共8题，共 40 分）
1【答案】C
【解析】解：由椭圆：的一个焦点为，
可得，解得，
，
．
故选：C．
2【答案】D
【解析】三棱锥中，由于，，
则三棱锥可以补在长方体中，
则设长方体的长宽高分别为，，，
则，，，
解得，，，
如图，以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，
，，
所以，
则异面直线，所成角的余弦值为，
故选．
3【答案】D
【解析】解：可化为，，
所以曲线为以为圆心，为半径的圆的部分．
直线过定点，
由图知，当直线经过点时恰与曲线有两个交点，顺时针旋转到与曲线相切时交点变为一个，
，由直线与圆相切得，解得，
则实数的取值范围为．
故选：．
4【答案】A
【解析】如图，以点为原点，，，所在的直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
设，，
不妨设，则，，，，，
故，，
，，
则
，
设平面的法向量为，
则，
可取，
则
，
所以
，
当时，，
当时，
，
当，即时，，
综上所述，的最小值是，
故选：．
5【答案】B
【解析】解：双曲线：的渐近线方程为，渐近线的夹角为，不妨设过的直线为，
联立，可得，
联立，可得，
则．
故选：．
6【答案】B
【解析】不妨设，，
则，，
在中，①，
由余弦定理易得：，
即②，
由①②可得：，
∴③，
又④，
由③④解得：或（舍），
，
∴．
故选．
7【答案】B
【解析】解：的面积为定值，
要使三棱锥体积最大，则三棱锥的高最大，
此时为圆弧的中点，
建立以为原点，如图所示的空间直角坐标系，
正方形的边长为，
，，，
则平面的法向量为，
设平面的法向量为，
则，，
由，，
令，
则，，即，
则，
则面与面所成二面角的正弦值．
8【答案】A
【解析】双曲线，其渐近线方程为，直线经过右焦点且垂直于，有直线：，联立，解得，，且，，，化简得，离心率．
二、多选题（共3题，共 18 分）
9【答案】A C
【解析】A 选项：，，，
故，故正确；B 选项：令，即，无解，故错误；C 选项：，故正确；D 选项：，故错误．故选 AC.
10【答案】A C
【解析】直线，
由，得，
即恒过定点，故选项正确；
点与圆心的距离，
故直线与圆恒相交，故选项错误；
令，则，可得，
故圆被轴截得的弦长为，故选项正确；
要使直线被圆截得弦长最短，只需与圆心的连线垂直于直线，
所以直线的斜率，可得，
故直线为，故选项错误．
故选．
11【答案】B C D
【解析】设，则，
因为，，
故，
依题意有，
所以，
所以双曲线的渐近线方程为，
离心率，故选项错误，选项正确；
因为点，关于原点对称，
所以四边形为平行四边形，即有，
所以，故正确；
设的倾斜角为，的倾斜角为，
由题意可得，则，
根据对称性不妨设在轴上方，则，则，
则
，
因为在轴上方，则，或，
函数在和上单调递增，
所以，故正确．
故选．
三、填空题（共3题，共 15 分）
12【答案】
【解析】解：设对称点的坐标为，
所以，解得，
故对称点的坐标为．
故答案为．
13【答案】
【解析】解：依题意，椭圆的焦点分别是
两圆和的圆心，
所以，
，
则的取值范围是．
故答案为：．
14【答案】2
【解析】解：如图，记、分别与的内切圆相切于点、，
则，，，，
则，
则，
则，
即，则．
由得，
则．
故答案为：．
四、解答题（共5题，共 77 分）
15（1）【答案】
【解析】解：当时，圆的方程为，
又，
的最小值为．
15（2）【答案】
【解析】直线的斜率为，且与轴交于点，
直线的方程为，即，
直线与圆相离，
，又，则，解得，
的取值范围为．
16（1）【答案】．
【解析】在中，∵，
∴，，
由椭圆的定义，，，
∴椭圆离心率．
16（2）【答案】．
【解析】周长，
则 ，
∵，∴，则，
∴椭圆的标准方程为．
17（1）【答案】证明见解析．
【解析】连接，
∵，是的中点，
∴且，
又，
∴，，
则，则，
∵，
∴平面．
17（2）【答案】．
【解析】建立以为坐标原点，，，分别为，，轴的空间直角坐标系，
如图：
，，，，，，
设，，
则
，
平面的法向量为，
设平面的法向量为，
，，
则，
令，则，，
即，
∵ 二面角为，
∴，
即，
解得或（舍），
则平面的法向量，
又，
设与平面所成角为，
则．
18（1）【答案】．
【解析】方法一：由题意得：，，
∵，
∴，
，
，
解得：或（舍去），
∴双曲线的方程为．方法二：由题意知，设点的坐标为，
因为点在双曲线上，
所以，
所以，即，
在中，，，
所以，
由双曲线的定义可知，
故双曲线的方程为．
18（2）【答案】．
【解析】由（）可知双曲线的两条渐近线方程分别为：，：．
设，与的夹角为，
则点到两条渐近线的距离分别为，，易得，
因为在双曲线：上，
所以，
所以
．
19（1）【答案】
【解析】解：由已知可得，记半焦距为，由，可得，
由，可得，
椭圆的方程为．
19（2）【答案】或
【解析】方法一：解：直线与以为圆心的圆相切于点，
，
根据题意可得直线和直线的斜率均存在，设直线的方程为，
由方程组，消去可得，解得，或，
依题意可得点的坐标为，
为线段的中点，点的坐标为，
点的坐标为，
由，可得点的坐标为，
故直线的斜率为，
，
，
整理可得，
解得或，
直线的方程为或．方法二：点差法．
，，设，
∴．
∴，．
将、两点代入椭圆中，，
∴．
∴或（舍）．
∴或．
∴的方程为或．