广东省梅州市梅县2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 广东省梅州市梅县2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 716.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-11-08 13:44:41 | ||
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文档简介
广东梅县
2024-2025学年度第一学期高三中段考试试卷（数学科）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.
1.己知集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.若是的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（ ）.
A. B. C. D.
3.若复数z满足（i为虚数单位），则z的模（ ）
A. B.1 C. D.5
4.己知，，，则（ ）
A. B. C. D.
5.若数列满足，，则（ ）
A.2 B.6 C.12 D. 20
6. 如图所示，在中，M为线段的中点，为线段上一点，，过点G的直线分别交直线，于P，Q两点. 设，，则的最小值为（ ）
A. B.3 C. D. 6
7.若直线是曲线和的公切线，则实数k的值是（ ）
A. B. C.0 D.1
8.己知是定义域为R的奇函数，若的最小正周期为1，则下列说法中正确的个数是（ ）
① ②
③的一个对称中心为 ④的一条对称轴为
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.己知，，则（ ）
A.当时，
B.当时，
C.当时，在上的投影向量为
D. 当时，，的夹角为钝角
10. 己知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 的图像可由的图像向左平移个单位得到
B. 图像关于点对称
C.在区间上单调递减
D.若，，则
11.表示不超过x的最大整数，例如，，，己知函数，下列结论正确的有（ ）
A. 若，则
B.
C.设，则
D.所有满足的点组成的区域的面积和为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.己知非零向量，满足，且，则与的夹角为______.
13.设实数，若对任意的，不等式恒成立，则的取值范围是______.
14.己知函数，方程有六个不相等实根，则实数b的取值范围是______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（本小题13分）己知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
（1）求角A的大小；
（2）若，，求的面积.
16.（本小题15分）己知函数在处取得极大值.
（1）求a的值；
（2）若有且只有3个零点，求实数b的取值范围.
17.（本小题15分）己知，，函数.
（1）求函数的解析式及对称中心；
（2）若，且，求的值.
（3）在锐角中，角A，B，C分别为a，b，c三边所对的角，若，，求 周长的取值范围.
18.（本小题17分）设函数.
（1）当时，求在上的最小值；
（2）若与关于y轴对称，当时，恒成立，求实数a的取值范围.
19.（本小题17分）牛顿在《流数法》一书中，给出了代数方程的一种数值解法——牛顿法.具体做法如下：如图，设r是的根，首先选取作为r的初始近似值，若在点处的切线与x轴相交于点，称是r的一次近似值；用替代重复上面的过程，得到，称是r的二次近似值；一直重复，可得到一列数：，，，…，，….在一定精确度下，用四舍五入法取值，当近似值相等时，该值即作为函数的一个零点r.
（1）若，当时，求方程的二次近似值（保留到小数点后一位）；
（2）牛顿法中蕴含了“以直代曲”的数学思想，直线常常取为曲线的切线或割线，求函数在点处的切线，并证明：；
（3）若，若关于x的方程的两个根分别为，，证明：.
广东梅县
2024-2025学年度第一学期高三中段考试试题答案（数学科）
一、选择题（1-8每小题5分，共40分。9-11多选题每小题6分，共18分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 C B B D D B D B BC BCD AD
8、【答案】B【详解】因为的最小正周期为1，所以；即，所以2是的周期；
因为为奇函数，所以，②正确；
，不一定为零，①不正确；
因为，所以的一个对称中心为，③正确；
通过题目条件无法得出的一条对称轴为，④不正确；故选：B
11、【答案】AD详解A选项，由题时，，，则，故A正确；
B选项，取，，则，故B错误；
C选项，，则当时，，
则，
又，则，故C错误；
D选项，由题要使，则，或，或，或， 或，所表示区域如下图阴影部分所示：
则区域面积为：，故D正确.故选：AD
二、填空题（共3题，每题5分，共15分）
12、 13、 14、
14、【答案】【详解】在同一平面直角坐标系中画出的图象以及直线如图所示，
发现当且仅当时，关于x的方程的根的个数最多，且有3个根，而关于t的一元二次方程最多有两个根，若方程有六个不相等实根，则当且仅当关于t的一元二次方程有两个不同的根，，且，
所以当且仅当，解得，
即实数b的取值范围是.故答案为.
三、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。
15.（13分）（1）由以及正弦定理得，即，，
所以，
因为，所以.
（2）由正弦定理得，，
又
的面积为.
16、（15分）（1）由题意且，
，解得或3.
当时，，则有或；有；
极小值为，不合题意.
当时，，则有或；有；
上递增，上递减，上递增；
极大值.
综上，.
（2）由（1），极大值，极小值，又因为有且只有3个零点.
，，；，；.
17. （15分）（1）.
令，则，，
函数的对称中心为，.
（2）由可知，
化简有，
，，，
（3）由可得， 即，
又，所以
由正弦定理有
所以
，
因为为锐角三角形，所以，解得
所以，则，
所以，则，所以的周长的取值范围为.
18.（1）当时，
所以，
令，得，
因为，得，，
所以，故在单调递增；
所以，所以在单调递增，
故在上的最小值为.
（2）由题得
得当时，恒成立，
整理得恒成立，
令，显然，，
要使时，恒成立，则
，所以有，
验证，当时，
令，，
令
，
故在单调递增；
所以，
故在单调递增；
所以，
故在单调递增；
所以，故符合题意.
当时，由前面可知在上为单调增函数，
且，时，，
所以存在，使得，
则当时，，所以在上单调递减，
所以，这与时，恒成立矛盾，所以不合.
综上可知a的取值范围为.
19.（17分）（1），
当时，，在点处的切线方程为，与x轴的交点横坐标为，所以，，在点处的切线方程为，与x轴的交点为，所以方程的二次近似值为1.8.
（2）由题可知，，，，
所以在处的切线为，即；
设，，
则，显然单调递减，令，解得，
所以当时，，则在单调递增，
当时，，则在单调递减，
所以
所以，即.
（3）由， 得，
当时，；当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以是的极大值点，也是的最大值点，即，
又时，，时，，
所以当方程有两个根时，必满足；
曲线过点和点的割线方程为
下面证明：
设，则
所以当时，；当时，，
所以在上单调递增，
在上单调递减，，
所以当时，，即（当且仅当或时取等号），由于，所以，解得；①
下面证明当时，，
设，，因为，
所以当时，（当且仅当时取等号），
由于所以，解得，②
①+②，得.
2024-2025学年度第一学期高三中段考试试卷（数学科）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.
1.己知集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.若是的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（ ）.
A. B. C. D.
3.若复数z满足（i为虚数单位），则z的模（ ）
A. B.1 C. D.5
4.己知，，，则（ ）
A. B. C. D.
5.若数列满足，，则（ ）
A.2 B.6 C.12 D. 20
6. 如图所示，在中，M为线段的中点，为线段上一点，，过点G的直线分别交直线，于P，Q两点. 设，，则的最小值为（ ）
A. B.3 C. D. 6
7.若直线是曲线和的公切线，则实数k的值是（ ）
A. B. C.0 D.1
8.己知是定义域为R的奇函数，若的最小正周期为1，则下列说法中正确的个数是（ ）
① ②
③的一个对称中心为 ④的一条对称轴为
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.己知，，则（ ）
A.当时，
B.当时，
C.当时，在上的投影向量为
D. 当时，，的夹角为钝角
10. 己知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 的图像可由的图像向左平移个单位得到
B. 图像关于点对称
C.在区间上单调递减
D.若，，则
11.表示不超过x的最大整数，例如，，，己知函数，下列结论正确的有（ ）
A. 若，则
B.
C.设，则
D.所有满足的点组成的区域的面积和为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.己知非零向量，满足，且，则与的夹角为______.
13.设实数，若对任意的，不等式恒成立，则的取值范围是______.
14.己知函数，方程有六个不相等实根，则实数b的取值范围是______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（本小题13分）己知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
（1）求角A的大小；
（2）若，，求的面积.
16.（本小题15分）己知函数在处取得极大值.
（1）求a的值；
（2）若有且只有3个零点，求实数b的取值范围.
17.（本小题15分）己知，，函数.
（1）求函数的解析式及对称中心；
（2）若，且，求的值.
（3）在锐角中，角A，B，C分别为a，b，c三边所对的角，若，，求 周长的取值范围.
18.（本小题17分）设函数.
（1）当时，求在上的最小值；
（2）若与关于y轴对称，当时，恒成立，求实数a的取值范围.
19.（本小题17分）牛顿在《流数法》一书中，给出了代数方程的一种数值解法——牛顿法.具体做法如下：如图，设r是的根，首先选取作为r的初始近似值，若在点处的切线与x轴相交于点，称是r的一次近似值；用替代重复上面的过程，得到，称是r的二次近似值；一直重复，可得到一列数：，，，…，，….在一定精确度下，用四舍五入法取值，当近似值相等时，该值即作为函数的一个零点r.
（1）若，当时，求方程的二次近似值（保留到小数点后一位）；
（2）牛顿法中蕴含了“以直代曲”的数学思想，直线常常取为曲线的切线或割线，求函数在点处的切线，并证明：；
（3）若，若关于x的方程的两个根分别为，，证明：.
广东梅县
2024-2025学年度第一学期高三中段考试试题答案（数学科）
一、选择题（1-8每小题5分，共40分。9-11多选题每小题6分，共18分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 C B B D D B D B BC BCD AD
8、【答案】B【详解】因为的最小正周期为1，所以；即，所以2是的周期；
因为为奇函数，所以，②正确；
，不一定为零，①不正确；
因为，所以的一个对称中心为，③正确；
通过题目条件无法得出的一条对称轴为，④不正确；故选：B
11、【答案】AD详解A选项，由题时，，，则，故A正确；
B选项，取，，则，故B错误；
C选项，，则当时，，
则，
又，则，故C错误；
D选项，由题要使，则，或，或，或， 或，所表示区域如下图阴影部分所示：
则区域面积为：，故D正确.故选：AD
二、填空题（共3题，每题5分，共15分）
12、 13、 14、
14、【答案】【详解】在同一平面直角坐标系中画出的图象以及直线如图所示，
发现当且仅当时，关于x的方程的根的个数最多，且有3个根，而关于t的一元二次方程最多有两个根，若方程有六个不相等实根，则当且仅当关于t的一元二次方程有两个不同的根，，且，
所以当且仅当，解得，
即实数b的取值范围是.故答案为.
三、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。
15.（13分）（1）由以及正弦定理得，即，，
所以，
因为，所以.
（2）由正弦定理得，，
又
的面积为.
16、（15分）（1）由题意且，
，解得或3.
当时，，则有或；有；
极小值为，不合题意.
当时，，则有或；有；
上递增，上递减，上递增；
极大值.
综上，.
（2）由（1），极大值，极小值，又因为有且只有3个零点.
，，；，；.
17. （15分）（1）.
令，则，，
函数的对称中心为，.
（2）由可知，
化简有，
，，，
（3）由可得， 即，
又，所以
由正弦定理有
所以
，
因为为锐角三角形，所以，解得
所以，则，
所以，则，所以的周长的取值范围为.
18.（1）当时，
所以，
令，得，
因为，得，，
所以，故在单调递增；
所以，所以在单调递增，
故在上的最小值为.
（2）由题得
得当时，恒成立，
整理得恒成立，
令，显然，，
要使时，恒成立，则
，所以有，
验证，当时，
令，，
令
，
故在单调递增；
所以，
故在单调递增；
所以，
故在单调递增；
所以，故符合题意.
当时，由前面可知在上为单调增函数，
且，时，，
所以存在，使得，
则当时，，所以在上单调递减，
所以，这与时，恒成立矛盾，所以不合.
综上可知a的取值范围为.
19.（17分）（1），
当时，，在点处的切线方程为，与x轴的交点横坐标为，所以，，在点处的切线方程为，与x轴的交点为，所以方程的二次近似值为1.8.
（2）由题可知，，，，
所以在处的切线为，即；
设，，
则，显然单调递减，令，解得，
所以当时，，则在单调递增，
当时，，则在单调递减，
所以
所以，即.
（3）由， 得，
当时，；当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以是的极大值点，也是的最大值点，即，
又时，，时，，
所以当方程有两个根时，必满足；
曲线过点和点的割线方程为
下面证明：
设，则
所以当时，；当时，，
所以在上单调递增，
在上单调递减，，
所以当时，，即（当且仅当或时取等号），由于，所以，解得；①
下面证明当时，，
设，，因为，
所以当时，（当且仅当时取等号），
由于所以，解得，②
①+②，得.