1.1.1空间向量及其线性运算 同步练习（含解析）-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

1.1.1　空间向量及其线性运算
A组
1.在四面体ABCD中,=a,=b,=c,则等于(　　)
A.a+b-c B.-a-b+c
C.-a+b+c D.-a+b-c
2.若a与b不共线,且m=a+b,n=a-b,p=a,则(　　)
A.m,n,p共线 B.m与p共线
C.n与p共线 D.m,n,p共面
3.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H,P,Q分别是A1A,AB,BC,CC1,C1D1,D1A1的中点,则(　　)
A.=0 B.=0
C.=0 D.=0
4.(多选题)若向量的起点M和终点A,B,C互不重合且无三点共线,O为空间任意一点,则下列四个式子能得出M,A,B,C四点共面的是(　　)
A.
B.
C.
D.=2
5.已知点A,B,C不共线,对空间任意一点O,若,则P,A,B,C四点　　　　.
6.已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中,,若=x+y(),则实数x=　 　　　,y= 　　　　.
7.已知A,B,P三点共线,O为空间任意一点,且与A,B,P三点不共线,+β,则实数β=　　　　　.
8.已知A,B,C,D四点满足任意三点不共线,但四点共面,O是空间任意一点,且点O不在平面ABCD内,=2x+3y+4z,则2x+3y+4z=　　　　　.
9.已知四边形ABCD为正方形,P是四边形ABCD所在平面外一点,点P在平面ABCD上的射影恰好是正方形ABCD的中心O,Q是CD的中点.求下列各式中x,y的值.
(1)+x+y;
(2)=x+y.
10.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为BB1和A1D1的中点,证明:向量是共面向量.
B组
1.若P,A,B,C为空间四点(点P,A,B,C不共线),且有=α+β,则α+β=1是A,B,C三点共线的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2.如图所示,已知在三棱锥O-ABC中,M,N分别是OA,BC的中点,点G在线段MN上,且MG=2GN,则=(　　)
A. B.
C. D.
3.已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P,M为空间任意两点,如果有+7+6-4,那么点M必(　　)
A.在平面BAD1内 B.在平面BA1D内
C.在平面BA1D1内 D.在平面AB1C1内
4.下列命题是假命题的是(　　)
A.若,则A,B,C,D四点共线
B.若,则A,B,C三点共线
C.若e1,e2为不共线的非零向量,a=4e1-e2,b=-e1+e2,则a∥b
D.若向量e1,e2,e3是三个不共面的向量,且满足等式k1e1+k2e2+k3e3=0,则k1=k2=k3=0
5.如图,在三棱锥O-ABC中,点M,N分别为AB,OC的中点,且=a,=b,=c,用向量a,b,c表示,则等于　　　　.
6.设e1,e2是两个不共线的空间向量,已知=2e1+ke2,=e1+3e2,=2e1-e2,且A,B,D三点共线,则k=　　　　　.
7.如图,M,N分别是四面体ABCD的AB,CD的中点.请判断向量与向量是否共面.
参考答案
A组
1.C
解析:=b-a+c.故选C.
2.D
解析:因为(a+b)+(a-b)=2a,即m+n=2p,所以p=m+n.又m与n不共线,所以m,n,p共面.
3.A
解析:由题图观察,平移后可以首尾相接,故有=0.
4.ABD
解析:对于A,C选项,由结论=x+y+z(x+y+z=1) M,A,B,C四点共面知,A符合,C不符合;对于B,D选项,易知共面,又有公共点M,所以M,A,B,C四点共面,所以B,D符合.
5.共面
解析:∵=x+y+z(x+y+z=1) P,A,B,C四点共面,
又=1,∴P,A,B,C四点共面.
6.1　
解析:因为),所以x=1,y=.
7.
解析:∵A,B,P三点共线,∴=λ,即=λ(),=(1-λ)+λ.
又+β,
∴解得β=.
8.-1
解析:∵A,B,C,D四点共面,
∴=m+n+p,且m+n+p=1.
由已知得=(-2x)+(-3y)+(-4z),
∴(-2x)+(-3y)+(-4z)=1.
∴2x+3y+4z=-1.
9.解:根据题意,画出大致图形,如图所示.
(1)∵)=,∴x=y=-.
(2)∵=2,∴=2.
又=2,∴=2.
∴=2-(2)=2-2.
∴x=2,y=-2.
10.证明:=-
=-.
假设存在实数x,y,使得=x+y,
即-=x(-)+y()=-x+(x+y)+y.
∵不共面,
∴解得
∴=-.
由向量共面的充要条件知,是共面向量.
B组
1.C
解析:若α+β=1,则=β(),即=β,显然A,B,C三点共线;若A,B,C三点共线,则=λ,故=λ(),整理得=(1+λ)-λ,令α=1+λ,β=-λ,则α+β=1.
故选C.
2.D
解析:因为点N为BC的中点,
所以).
又,所以)-.
所以)-.
所以)-.
3.C
解析:因为+7+6-4+6-4+6-4+6()-4()=11-6-4,且11-6-4=1,
所以M,A1,B,D1四点共面,故选C.
4.A
解析:根据共线向量的定义,若,则AB∥CD或A,B,C,D四点共线,故A是假命题;,且有公共起点A,故B是真命题;由于a=4e1-e2=-4=-4b,故a∥b,故C是真命题;易知D也是真命题.
5.(-a-b+c)
解析:由题意知).
因为=a,=b,=c,
所以(-a-b+c).
6.-8
解析:=(-e1-3e2)+(2e1-e2)=e1-4e2.
∵A,B,D三点共线,∴存在实数λ,使=λ.
∴2e1+ke2=λ(e1-4e2).∴解得k=-8.
7.解:由题图可得,①
,②
因为=-=-,
所以①+②得2,
即.故向量与向量共面.