2024年秋季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校期中联考
高三数学试卷
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.
【答案】B
2.
【答案】C
3.
【答案】A
4.
【答案】B
5.
【答案】D
6.
【答案】B
7.
【答案】B
8.
【答案】C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9.
【答案】BCD
10.
【答案】ABD
11.
【答案】AC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.
【答案】2
13.
【答案】
14.
【答案】
四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）设出等差数列的公差，由给定条件列出方程求出，利用等差数列前项和公式求解即可.
（2）由（1）的结论求出，利用裂项相消法求和即得.
【小问1详解】
设等差数列的公差为，则，
由，得，即，解得，
所以，.
【小问2详解】
由（1）知，，又，则
因此，
所以.
16.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，结合正三角形面积可得，再利用余弦定理及三角形面积公式计算即得.
（2）由（1）中信息，利用正弦定理求得即可.
【小问1详解】
在中，依题意，，，，
则，即，
由余弦定理得，整理得，，由，
得，则，
所以的面积.
【小问2详解】
由正弦定理，得，
则，所以.
17.
【答案】（1）；
（2）或.
【解析】
【分析】（1）利用三角函数的定义求出，进而求出，利用正弦函数的性质求出范围.
（2）利用（1）的信息，求出，利用换元法，结合闭区间上二次函数最值求解即得.
【小问1详解】
由三角函数定义，得，，
，
由，得，则，
因此，的取值范围是.
【小问2详解】
由（1）及已知，得，，
令
，，
①当时，在上单调递减，，则；
②当时，在上单调递增，在上单调递减，
，不符合题意；
③当时，在单调递增，，则，
所以或.
18.
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）求出函数的导数，由求出并验证即可得解.
（2）由（1）求出在上的最小值，再按分类，并借助导数讨论值即可求解.
【小问1详解】
函数的定义域为R，求导得，
依题意，，解得或，
当时，，当或时，，当时，，
因此为函数的极小值点，符合题意，则；
当时，，当或时，，当时，，
因此为函数的极大值点，不符合题意，
所以.
【小问2详解】
由（1）知，函数在上单调递增，在上单调递减，因此，
①当时，对，，使得，
因此，符合题意，则；
②当时，，取，对，有，不符合题意；
③当时，函数，求导得，
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增，则，
若对，，使得，只需，即，解得，
所以的取值范围为.
19.
【答案】（1）①集合不具有性质，集合具有性质，理由见解析；②集合具有性质，理由见解析；
（2）存在，最大值为4.
【解析】
【分析】（1）①写出中的所有元素，利用定义判断即可；②求出等比数列的通项，证明该数列任意两项的和不等，由此求出中的元素个数即可判断.
（2）根据新定义得在集合中，，得到，由此分类讨论，可确定n的取值，可得答案.
【小问1详解】
①集合不具有性质，集合具有性质：
，中元素个数不具有性质；
，中元素个数具有性质.
②若集合具有性质，设，
假设当时有成立，则有，
等式左边为偶数，右边为奇数，显然不成立，则不成立，
因此中元素个数，所以集合具有性质.
【小问2详解】
不妨设，
则在集合中，，
又中的所有元素能构成等差数列，设公差为，
则，
即，于是，
当时，是集合A中互不相同的4项，
从而中元素个数小于，与集合A具有性质矛盾，
当时，，即成等差数列，且公差也为，
则中的元素从小到大的前三项为，且第四项只能是或，
（i）若第四项为，则，从而，
于是，中元素个数小于，与集合A具有性质矛盾；
（ii）若第四项为，则，有，
而，即，于是，
因此中元素个数小于，与集合A具有性质矛盾，则，
取，，则集合A具有性质，
所以集合A中的元素个数存在最大值，最大值为4.2024年秋季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校期中联考
高三数学试卷
考试时间：2024年11月4日下午15：00-17：00 试卷满分：150分
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合，，则（）
A B. C. D.
2. 已知，，则（）
A. B. 2 C. D.
3. 设，则“”是“”的（）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 已知函数，那么在下列区间中含有函数零点的是（）
A. B. C. D.
5. 在中，点，分别为，边上的中点，点满足，则（）
A. B. C. D.
6. 古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础，根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑的高度，已知点是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上两点与点在同一条直线上，且在点的同侧，若在处分别测量球体建筑物的最大仰角为和，且，则该球体建筑物的高度约为（）
A. B. C. D.
7. 已知函数，当时，把的图象与直线的所有交点的横坐标限依次记为，记它们的和为，则（）
A. B. C. D.
8. 已知定义在上的函数在区间上单调递减，且满足，函数的对称中心为，则下述结论正确的是（）（注：）
A B.
C D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9. 设四个复数，，，在复平面内的对应点、、、在同一个圆上，则下述结论正确的是（）
A. 与互为共轭复数 B. 点在第二象限
C. 复数的虚部是 D.
10. 已知两个正数，满足，则下述结论正确的是（）
A. B. C. D.
11. 已知函数，若不等式对任意都成立，则实数的值可以为（）
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知函数的最小正周期是，则的值为______.
13. 已知两个单位向量，满足，则向量和的夹角为______.
14. 设数列的前项和为，若是以为首项，公差为1的等差数列，并且存在实数，使得数列也成等差数列，则实数的取值范围是______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 记是等差数列的前项和，，且，，成等比数列.
（1）求和；
（2）若，求数列的前20项和.
16. 记内角，，的对边分别为，，，分别以，，为边长的三个正三角形的面积依次为，，，已知，.
（1）求的面积；
（2）若，求
17. 已知角的始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，将射线按逆时针方向旋转后于单位圆交于点，，.
（1）若，求的取值范围；
（2）在（1）的条件下，当函数的最大值是时，求的值.
18. 已知为函数极小值点.
（1）求的值；
（2）设函数，若对，，使得，求的取值范围.
19. 已知正实数构成的集合
（1）若定义，当集合中的元素恰有个数时，称集合具有性质.
①当，时，判断集合，是否具有性质，并说明理由；
②设集合，其中数列为等比数列，且公比为2，判断集合是否具有性质并说明理由.
（2）若定义，当集合中的元素恰有个数时，称集合具有性质.设集合具有性质且中的所有元素能构成等差数列.问：集合中的元素个数是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由.
