【基础版】北师大版数学九年级上册4.8图形的位似 同步练习
一、选择题
1．（2024九上·贵阳期末）如图，与位似，点为位似中心．已知，，则与的面积比为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024九上·钟山期末）如图，与位似，点O为位似中心，已知，则AC与DF的比是（ ）
A．3：2 B．5：3 C．5：2 D．3：5
3．（2024九上·固安期末）如图1，以O为位似中心，作出的位似，使与的位似比为2：1．图2和图3分别为珍珍和明明的作法，两人的作法均保证，则下列说法正确的是（ ）
A．只有珍珍正确 B．只有明明正确
C．两个人都正确 D．两个人都不正确
4．（2024九上·长沙月考）如图，和是位似图形，则位似中心的坐标是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023九上·张北月考）如图，在由小正方形组成的方格纸中，和的顶点均在格点上，要使，则点所在的格点为（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
6．（2023九上·成都期中）如图，△AOB与△COD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1：2，若A（2，1），则点C的坐标为（ ）
A．（1，2） B．（2，1） C．（2，4） D．（4，2）
7．（2021九上·信都月考）如图，以O为位似中心且与ABC位似的图形编号是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
8．（2023九上·朝阳期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点A的坐标为．若以原点O为位似中心，相似比为，把缩小，则点A的对应点的坐标是（ ）
A． B．或
C． D．或
二、填空题
9．（2021九上·西岗月考）在平面直角坐标系中， 和 的相似比等于 ，并且是关于原点 的位似图形，若点 的坐标为 ，则其对应点 的坐标是 ．
10．（2024九上·祁阳期末）如图，以点O为位似中心，将△OAB放大后得到△OCD，OA＝2，OC＝5，则＝ ．
11．（2023九上·邵东月考）如图，已知顶点，以原点为位似中心，把缩小到原来的，则与点对应的点的坐标是 .
12．（2023九上·竞秀期中）如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为、，点、的坐标分别为、．若线段和是位似图形，且位似中心在轴上，则位似中心的坐标为 ．
13．（2022九上·南关开学考）如图，在平面直角坐标系中，已知中，点，以原点为位似中心，相似比为，在位似中心同侧把缩小，则点的对应点的坐标是 ．
三、解答题
14．（2018九上·福州期中）已知：△ABC中，∠A=36°，AB=AC，用尺规求作一条过点B的直线BD，使得截出的一个三角形与△ABC相似并加以证明．（保留作图痕迹，不写作法，写出证明过程）
四、综合题
15．（2016九上·盐城期末）作图题：如图，已知O是坐标原点，B、C两点的坐标分别为（3，﹣1）、（2，1）．
（1）以0点为位似中心在y轴的左侧将△OBC放大到两倍（即新图与原图的相似比为2），画出图形；
（2）分别写出B、C两点的对应点B′、C′的坐标．
16．（2023九上·宁强期末）图①、图②、图③都是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长为1，点A、B、C、D均在格点上．请按要求解答问题．（画图只能用无刻度的直尺，保留作图痕迹）要求：
（1）如图①， ；
（2）如图②，在BC上找一点F使；
（3）如图③，在AC上找一点M，连接BM、DM，使．
17．（2022九上·长顺期末）如图，小方格都是边长为1的正方形，与是以点为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上.
（1）画出位似中心点；
（2）求出与的周长比与面积比.
18．（2021九上·南山期中）如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0），A（2，1），B（1，-2）．
（1）以原点O为位似中心，画三角形，使它与△OAB位似，且相似比为2：1；
（2）△AOB内部一点M的坐标为（a，b），写出点M在（1）中△AOB的位似图形中对应点的坐标。
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】相似三角形的性质；位似变换
2．【答案】B
【知识点】相似三角形的性质；位似变换
【解析】【解答】与位似，
，
故答案为：B.
【分析】根据位似的性质可得结合已知条件，即可求解.
3．【答案】C
【知识点】作图﹣位似变换
4．【答案】A
【知识点】位似变换
【解析】【解答】和是位似图形，
位似中心的坐标是 （-3，-1），
故答案为：A.
【分析】根据位似中心的定义求得坐标为（-3，-1），从而得出结论.
5．【答案】A
【知识点】作图﹣相似变换
6．【答案】D
【知识点】位似变换；图形位似变换的点的坐标特征
【解析】【解答】△AOB与△COD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1：2，若A（2，1），
则点C的坐标为（22，12），即 （4，2） ，
故答案为：D.
【分析】根据位似变换的性质将点A的横、纵坐标乘以2即可得出结论.
7．【答案】B
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：根据图形位似的性质，如图，分别连接OB、OA、OC，
则图形②的三个顶点与△ABC的对应三个顶点的连线交于点O，从而图形②与△ABC位似．
故答案为：B
【分析】利用位似变换判断即可。
8．【答案】B
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵ 以原点O为位似中心，相似比为，把缩小， A的坐标为，
∴点A'坐标（-2×，4×）或（-2×（-），4×（-））
即 或 .
故答案为：B.
【分析】在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，新图形与原图形的相似比为k，那么与原图形上点（x，y）对应的位似图形上点的坐标为（kx，ky）或（-kx，-ky），据此解答即可.
9．【答案】 或
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵ 和 的相似比等于 ，并且是关于原点 的位似图形，而点 的坐标为 ，
点 对应点 的坐标为 或 ，
即点 的坐标为 或 ．
故答案为： 或 ．
【分析】利用关于原点对称的点的坐标，把A点横纵坐标分别乘以和-即可得到答案。
10．【答案】
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵以点O为位似中心，将△OAB放大后得到△OCD
∴
故答案为：
【分析】根据位似图形的性质即可求出答案.
11．【答案】或
【知识点】位似变换；图形位似变换的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵△ABO顶点A（－3，6），
∴以原点O为位似中心，把△ABO缩小到原来的时，与点A对应的点A'的坐标是或.
故答案为或.
【分析】 把缩小到原来的， 对应点的坐标也变为原来的或.
12．【答案】
【知识点】作图﹣位似变换；一次函数的实际应用-几何问题
13．【答案】
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵相似比为，
∴点的对应点的坐标是
故答案为：.
【分析】将点B的横纵坐标乘以，即可求解．
14．【答案】解：如图
证明：
，
【知识点】相似三角形的判定；作图﹣相似变换
【解析】【分析】利用两个角相等的三角形相似的定理，做从而画出直线。
15．【答案】（1）解：△OB′C′是所求的三角形；
（2）解：B′的坐标是（﹣6，2），C′的坐标是（﹣4，﹣2）．
【知识点】点的坐标；作图﹣相似变换
【解析】【分析】（1）延长BO到点B′，使OB′=2OB，则B′就是B点的对应点，延长CO到点C′，使OC′=2OC，则C′就是C点的对应点，顺次连接OB′，OC′，B′C′，则三角形OB′C′就是所求的三角形；
（2）根据图形再平面直角坐标系中的位置，直接写出B′、C′点的坐标即可。
16．【答案】（1）
（2）解：∵BC=，
∴BF：CF=2：3，
如图，
点F就是所求作的点.
（3）如图
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定与性质；作图﹣相似变换
【解析】【解答】解：（1）∵AB=1，CD=2，AB∥CD，
∴△ABE∽△DCE，
∴.
故答案为：
【分析】（1）观察图形可知AB=1，CD=2，AB∥CD，可证得△ABE∽△DCE，利用相似三角形的对应边成比例，可求出BE与CE的比值.
（2）利用勾股定理求出BC的长，使△ABF和△DCF相似，且相似比为2：3，然后画出图形即可.
（3）作出点B关于AC的对称点B1，连接B1D，交AC于点M，画出图形即可.
17．【答案】（1）解：连接，并延长相交于一点，此点即为位似中心点，
（2）解：由图形得，，
与的周长比为，面积比为.
【知识点】勾股定理；相似三角形的性质；作图﹣相似变换
【解析】【分析】（1）连接B′B，A'A并延长相交于一点，此点即为位似中心点O；
（2）利用勾股定理算出AB及A'B'的长，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，相似三角形周长的比等于相似比即可得出答案.
18．【答案】（1）如图，三角形OA'B'和三角形OA''B''即为所求；
（2）若对应点在三角形OA'B'中，对应点坐标为（2a，2b）
若对应点在三角形OA''B''中，对应点坐标为（-2a，-2b）
【知识点】位似变换；作图﹣位似变换
【解析】【分析】（1）根据位似中心的同侧和异侧作图即可；
（2）根据位似比求出点的坐标即可。
1 / 1【基础版】北师大版数学九年级上册4.8图形的位似 同步练习
一、选择题
1．（2024九上·贵阳期末）如图，与位似，点为位似中心．已知，，则与的面积比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】相似三角形的性质；位似变换
2．（2024九上·钟山期末）如图，与位似，点O为位似中心，已知，则AC与DF的比是（ ）
A．3：2 B．5：3 C．5：2 D．3：5
【答案】B
【知识点】相似三角形的性质；位似变换
【解析】【解答】与位似，
，
故答案为：B.
【分析】根据位似的性质可得结合已知条件，即可求解.
3．（2024九上·固安期末）如图1，以O为位似中心，作出的位似，使与的位似比为2：1．图2和图3分别为珍珍和明明的作法，两人的作法均保证，则下列说法正确的是（ ）
A．只有珍珍正确 B．只有明明正确
C．两个人都正确 D．两个人都不正确
【答案】C
【知识点】作图﹣位似变换
4．（2024九上·长沙月考）如图，和是位似图形，则位似中心的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】位似变换
【解析】【解答】和是位似图形，
位似中心的坐标是 （-3，-1），
故答案为：A.
【分析】根据位似中心的定义求得坐标为（-3，-1），从而得出结论.
5．（2023九上·张北月考）如图，在由小正方形组成的方格纸中，和的顶点均在格点上，要使，则点所在的格点为（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
【答案】A
【知识点】作图﹣相似变换
6．（2023九上·成都期中）如图，△AOB与△COD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1：2，若A（2，1），则点C的坐标为（ ）
A．（1，2） B．（2，1） C．（2，4） D．（4，2）
【答案】D
【知识点】位似变换；图形位似变换的点的坐标特征
【解析】【解答】△AOB与△COD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1：2，若A（2，1），
则点C的坐标为（22，12），即 （4，2） ，
故答案为：D.
【分析】根据位似变换的性质将点A的横、纵坐标乘以2即可得出结论.
7．（2021九上·信都月考）如图，以O为位似中心且与ABC位似的图形编号是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】B
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：根据图形位似的性质，如图，分别连接OB、OA、OC，
则图形②的三个顶点与△ABC的对应三个顶点的连线交于点O，从而图形②与△ABC位似．
故答案为：B
【分析】利用位似变换判断即可。
8．（2023九上·朝阳期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点A的坐标为．若以原点O为位似中心，相似比为，把缩小，则点A的对应点的坐标是（ ）
A． B．或
C． D．或
【答案】B
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵ 以原点O为位似中心，相似比为，把缩小， A的坐标为，
∴点A'坐标（-2×，4×）或（-2×（-），4×（-））
即 或 .
故答案为：B.
【分析】在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，新图形与原图形的相似比为k，那么与原图形上点（x，y）对应的位似图形上点的坐标为（kx，ky）或（-kx，-ky），据此解答即可.
二、填空题
9．（2021九上·西岗月考）在平面直角坐标系中， 和 的相似比等于 ，并且是关于原点 的位似图形，若点 的坐标为 ，则其对应点 的坐标是 ．
【答案】 或
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵ 和 的相似比等于 ，并且是关于原点 的位似图形，而点 的坐标为 ，
点 对应点 的坐标为 或 ，
即点 的坐标为 或 ．
故答案为： 或 ．
【分析】利用关于原点对称的点的坐标，把A点横纵坐标分别乘以和-即可得到答案。
10．（2024九上·祁阳期末）如图，以点O为位似中心，将△OAB放大后得到△OCD，OA＝2，OC＝5，则＝ ．
【答案】
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵以点O为位似中心，将△OAB放大后得到△OCD
∴
故答案为：
【分析】根据位似图形的性质即可求出答案.
11．（2023九上·邵东月考）如图，已知顶点，以原点为位似中心，把缩小到原来的，则与点对应的点的坐标是 .
【答案】或
【知识点】位似变换；图形位似变换的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵△ABO顶点A（－3，6），
∴以原点O为位似中心，把△ABO缩小到原来的时，与点A对应的点A'的坐标是或.
故答案为或.
【分析】 把缩小到原来的， 对应点的坐标也变为原来的或.
12．（2023九上·竞秀期中）如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为、，点、的坐标分别为、．若线段和是位似图形，且位似中心在轴上，则位似中心的坐标为 ．
【答案】
【知识点】作图﹣位似变换；一次函数的实际应用-几何问题
13．（2022九上·南关开学考）如图，在平面直角坐标系中，已知中，点，以原点为位似中心，相似比为，在位似中心同侧把缩小，则点的对应点的坐标是 ．
【答案】
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵相似比为，
∴点的对应点的坐标是
故答案为：.
【分析】将点B的横纵坐标乘以，即可求解．
三、解答题
14．（2018九上·福州期中）已知：△ABC中，∠A=36°，AB=AC，用尺规求作一条过点B的直线BD，使得截出的一个三角形与△ABC相似并加以证明．（保留作图痕迹，不写作法，写出证明过程）
【答案】解：如图
证明：
，
【知识点】相似三角形的判定；作图﹣相似变换
【解析】【分析】利用两个角相等的三角形相似的定理，做从而画出直线。
四、综合题
15．（2016九上·盐城期末）作图题：如图，已知O是坐标原点，B、C两点的坐标分别为（3，﹣1）、（2，1）．
（1）以0点为位似中心在y轴的左侧将△OBC放大到两倍（即新图与原图的相似比为2），画出图形；
（2）分别写出B、C两点的对应点B′、C′的坐标．
【答案】（1）解：△OB′C′是所求的三角形；
（2）解：B′的坐标是（﹣6，2），C′的坐标是（﹣4，﹣2）．
【知识点】点的坐标；作图﹣相似变换
【解析】【分析】（1）延长BO到点B′，使OB′=2OB，则B′就是B点的对应点，延长CO到点C′，使OC′=2OC，则C′就是C点的对应点，顺次连接OB′，OC′，B′C′，则三角形OB′C′就是所求的三角形；
（2）根据图形再平面直角坐标系中的位置，直接写出B′、C′点的坐标即可。
16．（2023九上·宁强期末）图①、图②、图③都是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长为1，点A、B、C、D均在格点上．请按要求解答问题．（画图只能用无刻度的直尺，保留作图痕迹）要求：
（1）如图①， ；
（2）如图②，在BC上找一点F使；
（3）如图③，在AC上找一点M，连接BM、DM，使．
【答案】（1）
（2）解：∵BC=，
∴BF：CF=2：3，
如图，
点F就是所求作的点.
（3）如图
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定与性质；作图﹣相似变换
【解析】【解答】解：（1）∵AB=1，CD=2，AB∥CD，
∴△ABE∽△DCE，
∴.
故答案为：
【分析】（1）观察图形可知AB=1，CD=2，AB∥CD，可证得△ABE∽△DCE，利用相似三角形的对应边成比例，可求出BE与CE的比值.
（2）利用勾股定理求出BC的长，使△ABF和△DCF相似，且相似比为2：3，然后画出图形即可.
（3）作出点B关于AC的对称点B1，连接B1D，交AC于点M，画出图形即可.
17．（2022九上·长顺期末）如图，小方格都是边长为1的正方形，与是以点为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上.
（1）画出位似中心点；
（2）求出与的周长比与面积比.
【答案】（1）解：连接，并延长相交于一点，此点即为位似中心点，
（2）解：由图形得，，
与的周长比为，面积比为.
【知识点】勾股定理；相似三角形的性质；作图﹣相似变换
【解析】【分析】（1）连接B′B，A'A并延长相交于一点，此点即为位似中心点O；
（2）利用勾股定理算出AB及A'B'的长，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，相似三角形周长的比等于相似比即可得出答案.
18．（2021九上·南山期中）如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0），A（2，1），B（1，-2）．
（1）以原点O为位似中心，画三角形，使它与△OAB位似，且相似比为2：1；
（2）△AOB内部一点M的坐标为（a，b），写出点M在（1）中△AOB的位似图形中对应点的坐标。
【答案】（1）如图，三角形OA'B'和三角形OA''B''即为所求；
（2）若对应点在三角形OA'B'中，对应点坐标为（2a，2b）
若对应点在三角形OA''B''中，对应点坐标为（-2a，-2b）
【知识点】位似变换；作图﹣位似变换
【解析】【分析】（1）根据位似中心的同侧和异侧作图即可；
（2）根据位似比求出点的坐标即可。
1 / 1
