【提升版】北师大版数学九年级上册4.8图形的位似 同步练习
一、选择题
1．（2020九上·北京期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为位似中心，把线段AB放大后得到线段CD．若点A（1，2），B（2，0），D（5，0），则点A的对应点C的坐标是（ ）
A．(2，5) B．( ，5) C．(3，5) D．(3，6)
2．（2021九上·埇桥期中）如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为 ，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则C点坐标为（ ）
A．（3，2） B．（3，1） C．（2，2） D．（4，2）
3．（2023九上·高州月考）如图，与是位似图形，位似中心为O，，，则的面积为（ ）
A．12 B．16 C．21 D．49
4．（2024九上·阿克苏期末）如图，和是以点O为位似中心的位似图形，，的周长为8，则的周长为（ ）
A．12 B．18 C．20 D．24
5．（2024九上·馆陶期末）如图，与都是等边三角形，固定，将从图示位置绕点C逆时针旋转一周，在旋转的过程中，与位似的位置有（ ）
A．个 B．个
C．个 D．个及个以上
6．（2024九上·吴桥期末）如图，与位似，点O为位似中心，若的周长等于周长的．，则的长度为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
7．（2024九上·都江堰期末）如图， 与是关于轴上一点的位似图形，若，则位似中心的坐标为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023九上·德惠月考）如图，已知ABCD，以B为位似中心作ABCD的位似图形EBFG，位似图形与原图形的位似比为2：3，连结CG、DG．若ABCD的面积为30，则△CDG的面积为（ ）．
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题
9．（2024九上·长沙期末）如图，点是等边三角形的中心，，，分别是，，的中点，则与是位似三角形此时，与的位似比为 ．
10．（2024九上·长春期末）如图，在平面直角坐标中，与是位似图形，且它们的顶点都在格点上，则位似中心的坐标为 ．
11．（2021九上·沈河期末）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣1，3），B（﹣6，3），以原点O为位似中心，在同一象限内把线段AB缩短为原来的，得到线段CD，其中点C对应点A，点D对应点B，则点D的坐标为 ．
12．（2023九上·南海期中）在平面直角坐标系中，已知点，．以原点O为位似中心，把放大，使得放大前后对应线段的比为，则点E的对应点的坐标为 ．
13．如图，电影胶片上每一幅图片的规格为3.5cm×3.5cm，放映银幕的规格为3m×3m．若放映机的光源S距胶片1.4cm，则光源S距银幕 m时，放映的图像刚好布满整个银幕．
三、解答题
14．（2024九上·昌平期中）网格中每个小正方形的边长都是1．
（1）在图1中画一个格点，使，且相似比为2：1；
（2）在图2中画一个格点，使，且相似比为．
15．（2023九上·德惠月考）如图①②都是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，已知△ABC的顶点均在格点上．
（1）在图①中，以格点为顶点，画出一个△DCE与△ACB成位似图形，且位似比为1：2
（2）在图②中找出AB的一个三等分点点P．辅助线用虚线．
16．（湘教版九年级数学上册 3.6 位似（1） 同步练习）如图是几组三角形的组合图形，图①中， ；图②中， ；图③中， ；图④中， ．
小 说：图①、②是位似变换，其位似中心分别是 和 ．
小 说：图③、④是位似变换，其位似中心是点 ．
请你观察一番，评判小 ，小 谁对谁错．
17．如图，正方形A1A2B1C1，A2A3B2C2，…Anan+1BnCn，如图位置依次摆放，已知点C1，C2，C3…，Cn在直线y=x上，点A1的坐标为（1，0）．
（1）写出正方形A1A2B1C1，A2A3B2C2，…Anan+1BnCn，的位似中心坐标；
（2）正方形A4A3B4C4四个顶点的坐标．
18．如图是一个由8×8个小正方形组成的方格纸，我们把顶点在正方形顶点的三角形称为格点三角形，图中的△ABC就是一个格点三角形，点M是AC的中点．
（1）请在图中作出一个格点△AMN，使△AMN与△ABC相似，并将△AMN绕点A顺时针旋转90°，得到△AEF，使点E与点M对应，请在图中作出△AEF；
（2）请以AF为边作出格点△AFD，使△AFD与△ABC全等．
19．如图1，给定锐角三角形ABC，小明希望画正方形DEFG，使D，E位于边BC上，F，G分别位于边AC，AB上，他发现直接画图比较困难，于是他先画了一个正方形HIJK，是的H，I，位于射线BC上，K位于射线BA上，而不需要求J必须位于AC上．这是他发现可以将正方形HIJK通过放大或缩小得到满足要求的正方形DEFG．
阅读以上材料，回答小明接下来研究的以下问题：
（1）如图2，给定锐角三角形ABC，画出所有长宽比为2：1的长方形DEFG，使D，E位于边BC上，F，G分别位于边AC，AB上．
（2）已知三角形ABC的面积为36，BC=12，在第（1）问的条件下，求长方形DEFG的面积．
20．（2016九上·婺城期末）阅读下列材料：小华遇到这样一个问题：
已知：如图1，在△ABC中，三边的长分别为AB= ，AC= ，BC=2，求∠A的正切值．
小华是这样解决问题的：
如图2所示，先在一个正方形网格（每个小正方形的边长均为1）中画出格点△ABC（△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），然后在这个正方形网格中再画一个和△ABC相似的格点△DEF，从而使问题得解．
（1）如图2，△DEF中与∠A相等的角为 ，∠A的正切值为 ．
（2）参考小华的方法请解决问题：若△LMN的三边分别为LM=2，MN=2 ，LN=2 ，求∠N的正切值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】位似变换
【解析】【解答】∵以原点O为位似中心，把线段AB放大后得到线段CD，且B（2，0），D（5，0）
∴
∴点A的横纵坐标与点C的横纵坐标的比值也为
∵A（1，2）
∴点C的横坐标为 ，纵坐标为
∴C
故答案为：B.
【分析】根据位似图形的性质求出位似比，进而得到对应点的坐标即可。
2．【答案】A
【知识点】位似变换
【解析】【解答】∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为 ，
∴ = ，
∵BG=6，
∴AD=BC=2，
∵AD∥BG，
∴△OAD∽△OBG，
∴ = ，
∴ = ，
解得：OA=1，∴OB=3，
∴C点坐标为：（3，2），
故答案为：A．
【分析】先求出△OAD∽△OBG，再求出 = ，最后计算求解即可。
3．【答案】D
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵与是位似图形，位似中心为O，AO：AD=3：4，
∴OA：OD=3：7
∴
∴△DEF的面积为：49
故答案为：D.
【分析】直接利用位似的性质，然后得出位似比，再求出相似三角形的面积比，求出答案即可.
4．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质；位似变换
【解析】【解答】解：和是以点O为位似中心的位似图形，
，
，
与的相似比为2：5，
与的周长比为2：5，
的周长为8，
的周长为 20.
故答案为：C.
【分析】根据位似图形的性质得到，再根据位似比为为2：5得到相似三角形的周长比也是2：5，再结合的周长为8即可求解.
5．【答案】C
【知识点】位似变换；旋转的性质
【解析】【解答】解：旋转的过程中，只有当点落在线段和线段的延长线上时，与位似，
∴有两个位置，
故答案为：
【分析】根据位似图形的定义：两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，并且对应边互相平行或位于同一直线上，像这样的两个图形叫做位似图形，结合图像找出符合条件的位置即可求解。
6．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质；位似变换
【解析】【解答】解：∵与位似，
∴，且，
∵的周长等于周长的，
∴相似比为：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：C．
【分析】根据位似的性质可得，，结合“的周长等于周长的”可得相似比为，可知，进而可证，再根据相似比的等式关系计算即可求解。
7．【答案】B
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：如图所示，连接，交于点，
∵对应点和的坐标分别为，，
∴，，，，，
由题意可得：，
∴，
∴，
解得：，
∴位似中心到点的距离是1，
∴位似中心的坐标为，
故选：B．
【分析】连接，交于点，先证出可得求出，再求出，可得位似中心到点的距离是1，再求出位似中心的坐标即可.
8．【答案】C
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：连接BG，如图所示：
∵以B为位似中心作ABCD的位似图形EBFG，
∴点D、G、B在同一条直线上，FG//CD，
∵ABCD的面积为30，
∴△CDB的面积为15，
∵FG//CD，
∴△BFG∽△BCD，
∴，
∴，
∴S△CDG=S△CDB=×15=5，
故答案为：C.
【分析】连接BG，先证出△BFG∽△BCD，求出，再结合△CDB的面积为15，求出S△CDG=S△CDB=×15=5即可.
9．【答案】：
【知识点】等边三角形的性质；相似三角形的判定与性质；位似变换；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵分别是，，的中点，
∴，，，，
∴，
又∵分别是，，的中点，
∴点与点，点与点，点与点的连线都经过点，
∴与是位似三角形，其位似中心是点，
∵，
∴与的位似比为，
故答案为：
【分析】先根据三角形中位线定理得到，，，，进而根据相似三角形的判定与性质结合题意即可求解。
10．【答案】
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：连接位似图形的对应点AD和BE，交与点O
点O即为该位似图形的位似中心
点O的坐标为（2，2）
故答案为： （2，2）
【分析】根据位似中心的定义，位似图形对应点连线的交点就是位似中心，根据平面直角坐标系的格点图读出位似中心点的坐标。
11．【答案】（-2，1）
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵以原点O为位似中心，相似比为，
把线段AB缩短为CD，AB，CD在同一象限，
点B的坐标为（-6，3），
∴点D的坐标为即
故答案为：．
【分析】在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，新图形与原图形的相似比为k，那么与原图形上点（x，y）对应的位似图形上点的坐标为（kx，ky）或（-kx，-ky），据此解答即可.
12．【答案】
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：以原点O为位似中心，把放大，使得放大前后对应线段的比为，
点，则点E'的横坐标为-4×2=8，纵坐标为2×2=4，即E'(-8，4)
或点E'的横坐标为-4×(-2)=8，纵坐标为2×(-2)=-4，即E'(8，-4)
故答案为：(-8，4)或(8，-4).
【分析】以原点为位似中心，对图形进行位似放大k倍，点P(x，y)的对应点的坐标为(kx，ky)或(-kx，-ky).
13．【答案】1.2
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：解：设银幕距镜头的距离为xcm，运用位似图形的性质可得：
，
解得：x=120．
120cm=1.2m
即银幕距镜头的距离为1.2m，
故答案为：1.2m.
【分析】根据位似图形的任意一对对应点与位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比可列出等式，求解即可得出银幕距镜头的距离.
14．【答案】（1）解：如图所示，由相似三角形的性质，可得
（2）解：如图所示，，，，
∴，，
∴
【知识点】作图﹣相似变换；位似变换
【解析】【分析】（1）根据相似三角形的性质，把的边长相应地扩大2倍，即可求解；
（2）由，结合网格线和相似三角形的性质，把的边长扩大倍，即可得到答案.
（1）如图所示，
（2）如图所示，，，，
∴，，
∴
15．【答案】（1）解：如图所示，△DCE即为所求
（2）解：如图所示，点P即为所求
【知识点】作图﹣位似变换
【解析】【分析】（1）根据相似三角形的性质即可求出答案.
（2）根据线段三等分点的性质即可求出答案.
16．【答案】解：根据位似图形的定义得出：小 对，①，②都可以看成位似变换，位似中心分别为 、 ，③、④虽然都存在相似三角形，但对应顶点的连线不相交于一点，而且对应边也不平行，所以③、④不是位似变换．
【知识点】位似变换
【解析】【分析】根据位似图形的含义，对应边上的点和位似中心在一条直线上。所以①②是正确的，③④不符合题意。
17．【答案】解：（1）如图所示：正方形A1A2B1C1，A2A3B2C2，A3A4B3C3，…，AnAn+1BnCn的位似中心坐标为：（0，0）；（2）∵点C1，C2，C3，…，Cn在直线y=x上，点A1的坐标为（1，0），∴OA1=A1C1=1，OA2=A2C2=2，则A3O=A3C3=4，∴可得：OA4=A4C4=8，则OA5=16，故A4（8，0），A5（16，0），B4（16，8），C4（8，8）．
【知识点】正方形的性质；位似变换
【解析】【分析】（1）直接利用位似图形的性质得出对应点连线的交点为原点，进而得出答案；
（2）利用一次函数图象上点的坐标性质得出各线段的长，进而得出答案．
18．【答案】解：（1）如图所示：作格点△AMN，作格点△AEF；
（2）如图所示：作格点△ADF．
【知识点】三角形全等的判定；作图﹣相似变换；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）直接利用相似图形的性质结合旋转的性质得出答案；
（2）利用全等三角形的性质得出符合题意的图形．
19．【答案】解：（1）如图2与备用图1，长方形DEFG即为所求作的图形；（2）在长方形DEFG中，如果DE=2DG，如备用图2，作△ABC的高AM，交GF于N．∵三角形ABC的面积=BC AM=×12AM=36，∴AM=6．设AN=x，则MN=6﹣x，DG=MN=6﹣x，DE=GF=2（6﹣x）=12﹣2x．∵GF∥BC，∴△AGF∽△ABC，∴=，∴=，解得x=3，∴DG=6﹣x=3，DE=2DG=6，∴长方形DEFG的面积=6×3=18；在长方形DEFG中，如果DG=2DE，同理求出x=，∴DG=6﹣x=，DE=DG=，∴长方形DEFG的面积=×=．故长方形DEFG的面积为18或．
【知识点】位似变换
【解析】【分析】（1）如图2，先画长方形HIJK，使得HI=2HK，并且H，I位于射线BC上，K位于射线BA上，连结BJ并延长交AC于点F，再将长方形HIJK通过放大可得到满足要求的长方形DEFG；如备用图，先画长方形HIJK，使得HK=2HI，并且H，I位于射线BC上，K位于射线BA上，连结BJ并延长交AC于点F，再将长方形HIJK通过放大可得到满足要求的长方形DEFG；
（2）作△ABC的高AM，交GF于N．由三角形ABC的面积为36，求出AM=6．再设AN=x，由GF∥BC，得出△AGF∽△ABC，根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式=，由此求出x的值，进而求解即可．
20．【答案】（1）∠D；
（2）解：在图3中，作一个△RKT，使得PK= ，RT= ，KT=5，
∵LM=2，NM=2 ，LN=2 ，
∴ = ，
∴△RKT∽△MLN，
∴∠T=∠N，
∴tan∠N=tan∠T= ．
【知识点】作图﹣相似变换
【解析】【解答】解：（1）由图2 可知DE=2，EF=2 ，DF=2 ，AB= ，AC= ，BC=2，
∵ ，
∴△DEF∽△ACB，
∴∠D=∠A，
∴tan∠A=tan∠D= ，
故答案分别为∠D，
【分析】（1）先证明△DEF∽△ACB得∠D=∠A，根据tan∠A=tan∠D即可解决．（2）构造一个△RKT∽△MLN得∠T=∠N，根据tan∠N=tan∠T即可解决．
1 / 1【提升版】北师大版数学九年级上册4.8图形的位似 同步练习
一、选择题
1．（2020九上·北京期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为位似中心，把线段AB放大后得到线段CD．若点A（1，2），B（2，0），D（5，0），则点A的对应点C的坐标是（ ）
A．(2，5) B．( ，5) C．(3，5) D．(3，6)
【答案】B
【知识点】位似变换
【解析】【解答】∵以原点O为位似中心，把线段AB放大后得到线段CD，且B（2，0），D（5，0）
∴
∴点A的横纵坐标与点C的横纵坐标的比值也为
∵A（1，2）
∴点C的横坐标为 ，纵坐标为
∴C
故答案为：B.
【分析】根据位似图形的性质求出位似比，进而得到对应点的坐标即可。
2．（2021九上·埇桥期中）如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为 ，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则C点坐标为（ ）
A．（3，2） B．（3，1） C．（2，2） D．（4，2）
【答案】A
【知识点】位似变换
【解析】【解答】∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为 ，
∴ = ，
∵BG=6，
∴AD=BC=2，
∵AD∥BG，
∴△OAD∽△OBG，
∴ = ，
∴ = ，
解得：OA=1，∴OB=3，
∴C点坐标为：（3，2），
故答案为：A．
【分析】先求出△OAD∽△OBG，再求出 = ，最后计算求解即可。
3．（2023九上·高州月考）如图，与是位似图形，位似中心为O，，，则的面积为（ ）
A．12 B．16 C．21 D．49
【答案】D
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵与是位似图形，位似中心为O，AO：AD=3：4，
∴OA：OD=3：7
∴
∴△DEF的面积为：49
故答案为：D.
【分析】直接利用位似的性质，然后得出位似比，再求出相似三角形的面积比，求出答案即可.
4．（2024九上·阿克苏期末）如图，和是以点O为位似中心的位似图形，，的周长为8，则的周长为（ ）
A．12 B．18 C．20 D．24
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质；位似变换
【解析】【解答】解：和是以点O为位似中心的位似图形，
，
，
与的相似比为2：5，
与的周长比为2：5，
的周长为8，
的周长为 20.
故答案为：C.
【分析】根据位似图形的性质得到，再根据位似比为为2：5得到相似三角形的周长比也是2：5，再结合的周长为8即可求解.
5．（2024九上·馆陶期末）如图，与都是等边三角形，固定，将从图示位置绕点C逆时针旋转一周，在旋转的过程中，与位似的位置有（ ）
A．个 B．个
C．个 D．个及个以上
【答案】C
【知识点】位似变换；旋转的性质
【解析】【解答】解：旋转的过程中，只有当点落在线段和线段的延长线上时，与位似，
∴有两个位置，
故答案为：
【分析】根据位似图形的定义：两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，并且对应边互相平行或位于同一直线上，像这样的两个图形叫做位似图形，结合图像找出符合条件的位置即可求解。
6．（2024九上·吴桥期末）如图，与位似，点O为位似中心，若的周长等于周长的．，则的长度为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质；位似变换
【解析】【解答】解：∵与位似，
∴，且，
∵的周长等于周长的，
∴相似比为：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：C．
【分析】根据位似的性质可得，，结合“的周长等于周长的”可得相似比为，可知，进而可证，再根据相似比的等式关系计算即可求解。
7．（2024九上·都江堰期末）如图， 与是关于轴上一点的位似图形，若，则位似中心的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：如图所示，连接，交于点，
∵对应点和的坐标分别为，，
∴，，，，，
由题意可得：，
∴，
∴，
解得：，
∴位似中心到点的距离是1，
∴位似中心的坐标为，
故选：B．
【分析】连接，交于点，先证出可得求出，再求出，可得位似中心到点的距离是1，再求出位似中心的坐标即可.
8．（2023九上·德惠月考）如图，已知ABCD，以B为位似中心作ABCD的位似图形EBFG，位似图形与原图形的位似比为2：3，连结CG、DG．若ABCD的面积为30，则△CDG的面积为（ ）．
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：连接BG，如图所示：
∵以B为位似中心作ABCD的位似图形EBFG，
∴点D、G、B在同一条直线上，FG//CD，
∵ABCD的面积为30，
∴△CDB的面积为15，
∵FG//CD，
∴△BFG∽△BCD，
∴，
∴，
∴S△CDG=S△CDB=×15=5，
故答案为：C.
【分析】连接BG，先证出△BFG∽△BCD，求出，再结合△CDB的面积为15，求出S△CDG=S△CDB=×15=5即可.
二、填空题
9．（2024九上·长沙期末）如图，点是等边三角形的中心，，，分别是，，的中点，则与是位似三角形此时，与的位似比为 ．
【答案】：
【知识点】等边三角形的性质；相似三角形的判定与性质；位似变换；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵分别是，，的中点，
∴，，，，
∴，
又∵分别是，，的中点，
∴点与点，点与点，点与点的连线都经过点，
∴与是位似三角形，其位似中心是点，
∵，
∴与的位似比为，
故答案为：
【分析】先根据三角形中位线定理得到，，，，进而根据相似三角形的判定与性质结合题意即可求解。
10．（2024九上·长春期末）如图，在平面直角坐标中，与是位似图形，且它们的顶点都在格点上，则位似中心的坐标为 ．
【答案】
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：连接位似图形的对应点AD和BE，交与点O
点O即为该位似图形的位似中心
点O的坐标为（2，2）
故答案为： （2，2）
【分析】根据位似中心的定义，位似图形对应点连线的交点就是位似中心，根据平面直角坐标系的格点图读出位似中心点的坐标。
11．（2021九上·沈河期末）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣1，3），B（﹣6，3），以原点O为位似中心，在同一象限内把线段AB缩短为原来的，得到线段CD，其中点C对应点A，点D对应点B，则点D的坐标为 ．
【答案】（-2，1）
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵以原点O为位似中心，相似比为，
把线段AB缩短为CD，AB，CD在同一象限，
点B的坐标为（-6，3），
∴点D的坐标为即
故答案为：．
【分析】在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，新图形与原图形的相似比为k，那么与原图形上点（x，y）对应的位似图形上点的坐标为（kx，ky）或（-kx，-ky），据此解答即可.
12．（2023九上·南海期中）在平面直角坐标系中，已知点，．以原点O为位似中心，把放大，使得放大前后对应线段的比为，则点E的对应点的坐标为 ．
【答案】
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：以原点O为位似中心，把放大，使得放大前后对应线段的比为，
点，则点E'的横坐标为-4×2=8，纵坐标为2×2=4，即E'(-8，4)
或点E'的横坐标为-4×(-2)=8，纵坐标为2×(-2)=-4，即E'(8，-4)
故答案为：(-8，4)或(8，-4).
【分析】以原点为位似中心，对图形进行位似放大k倍，点P(x，y)的对应点的坐标为(kx，ky)或(-kx，-ky).
13．如图，电影胶片上每一幅图片的规格为3.5cm×3.5cm，放映银幕的规格为3m×3m．若放映机的光源S距胶片1.4cm，则光源S距银幕 m时，放映的图像刚好布满整个银幕．
【答案】1.2
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：解：设银幕距镜头的距离为xcm，运用位似图形的性质可得：
，
解得：x=120．
120cm=1.2m
即银幕距镜头的距离为1.2m，
故答案为：1.2m.
【分析】根据位似图形的任意一对对应点与位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比可列出等式，求解即可得出银幕距镜头的距离.
三、解答题
14．（2024九上·昌平期中）网格中每个小正方形的边长都是1．
（1）在图1中画一个格点，使，且相似比为2：1；
（2）在图2中画一个格点，使，且相似比为．
【答案】（1）解：如图所示，由相似三角形的性质，可得
（2）解：如图所示，，，，
∴，，
∴
【知识点】作图﹣相似变换；位似变换
【解析】【分析】（1）根据相似三角形的性质，把的边长相应地扩大2倍，即可求解；
（2）由，结合网格线和相似三角形的性质，把的边长扩大倍，即可得到答案.
（1）如图所示，
（2）如图所示，，，，
∴，，
∴
15．（2023九上·德惠月考）如图①②都是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，已知△ABC的顶点均在格点上．
（1）在图①中，以格点为顶点，画出一个△DCE与△ACB成位似图形，且位似比为1：2
（2）在图②中找出AB的一个三等分点点P．辅助线用虚线．
【答案】（1）解：如图所示，△DCE即为所求
（2）解：如图所示，点P即为所求
【知识点】作图﹣位似变换
【解析】【分析】（1）根据相似三角形的性质即可求出答案.
（2）根据线段三等分点的性质即可求出答案.
16．（湘教版九年级数学上册 3.6 位似（1） 同步练习）如图是几组三角形的组合图形，图①中， ；图②中， ；图③中， ；图④中， ．
小 说：图①、②是位似变换，其位似中心分别是 和 ．
小 说：图③、④是位似变换，其位似中心是点 ．
请你观察一番，评判小 ，小 谁对谁错．
【答案】解：根据位似图形的定义得出：小 对，①，②都可以看成位似变换，位似中心分别为 、 ，③、④虽然都存在相似三角形，但对应顶点的连线不相交于一点，而且对应边也不平行，所以③、④不是位似变换．
【知识点】位似变换
【解析】【分析】根据位似图形的含义，对应边上的点和位似中心在一条直线上。所以①②是正确的，③④不符合题意。
17．如图，正方形A1A2B1C1，A2A3B2C2，…Anan+1BnCn，如图位置依次摆放，已知点C1，C2，C3…，Cn在直线y=x上，点A1的坐标为（1，0）．
（1）写出正方形A1A2B1C1，A2A3B2C2，…Anan+1BnCn，的位似中心坐标；
（2）正方形A4A3B4C4四个顶点的坐标．
【答案】解：（1）如图所示：正方形A1A2B1C1，A2A3B2C2，A3A4B3C3，…，AnAn+1BnCn的位似中心坐标为：（0，0）；（2）∵点C1，C2，C3，…，Cn在直线y=x上，点A1的坐标为（1，0），∴OA1=A1C1=1，OA2=A2C2=2，则A3O=A3C3=4，∴可得：OA4=A4C4=8，则OA5=16，故A4（8，0），A5（16，0），B4（16，8），C4（8，8）．
【知识点】正方形的性质；位似变换
【解析】【分析】（1）直接利用位似图形的性质得出对应点连线的交点为原点，进而得出答案；
（2）利用一次函数图象上点的坐标性质得出各线段的长，进而得出答案．
18．如图是一个由8×8个小正方形组成的方格纸，我们把顶点在正方形顶点的三角形称为格点三角形，图中的△ABC就是一个格点三角形，点M是AC的中点．
（1）请在图中作出一个格点△AMN，使△AMN与△ABC相似，并将△AMN绕点A顺时针旋转90°，得到△AEF，使点E与点M对应，请在图中作出△AEF；
（2）请以AF为边作出格点△AFD，使△AFD与△ABC全等．
【答案】解：（1）如图所示：作格点△AMN，作格点△AEF；
（2）如图所示：作格点△ADF．
【知识点】三角形全等的判定；作图﹣相似变换；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）直接利用相似图形的性质结合旋转的性质得出答案；
（2）利用全等三角形的性质得出符合题意的图形．
19．如图1，给定锐角三角形ABC，小明希望画正方形DEFG，使D，E位于边BC上，F，G分别位于边AC，AB上，他发现直接画图比较困难，于是他先画了一个正方形HIJK，是的H，I，位于射线BC上，K位于射线BA上，而不需要求J必须位于AC上．这是他发现可以将正方形HIJK通过放大或缩小得到满足要求的正方形DEFG．
阅读以上材料，回答小明接下来研究的以下问题：
（1）如图2，给定锐角三角形ABC，画出所有长宽比为2：1的长方形DEFG，使D，E位于边BC上，F，G分别位于边AC，AB上．
（2）已知三角形ABC的面积为36，BC=12，在第（1）问的条件下，求长方形DEFG的面积．
【答案】解：（1）如图2与备用图1，长方形DEFG即为所求作的图形；（2）在长方形DEFG中，如果DE=2DG，如备用图2，作△ABC的高AM，交GF于N．∵三角形ABC的面积=BC AM=×12AM=36，∴AM=6．设AN=x，则MN=6﹣x，DG=MN=6﹣x，DE=GF=2（6﹣x）=12﹣2x．∵GF∥BC，∴△AGF∽△ABC，∴=，∴=，解得x=3，∴DG=6﹣x=3，DE=2DG=6，∴长方形DEFG的面积=6×3=18；在长方形DEFG中，如果DG=2DE，同理求出x=，∴DG=6﹣x=，DE=DG=，∴长方形DEFG的面积=×=．故长方形DEFG的面积为18或．
【知识点】位似变换
【解析】【分析】（1）如图2，先画长方形HIJK，使得HI=2HK，并且H，I位于射线BC上，K位于射线BA上，连结BJ并延长交AC于点F，再将长方形HIJK通过放大可得到满足要求的长方形DEFG；如备用图，先画长方形HIJK，使得HK=2HI，并且H，I位于射线BC上，K位于射线BA上，连结BJ并延长交AC于点F，再将长方形HIJK通过放大可得到满足要求的长方形DEFG；
（2）作△ABC的高AM，交GF于N．由三角形ABC的面积为36，求出AM=6．再设AN=x，由GF∥BC，得出△AGF∽△ABC，根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式=，由此求出x的值，进而求解即可．
20．（2016九上·婺城期末）阅读下列材料：小华遇到这样一个问题：
已知：如图1，在△ABC中，三边的长分别为AB= ，AC= ，BC=2，求∠A的正切值．
小华是这样解决问题的：
如图2所示，先在一个正方形网格（每个小正方形的边长均为1）中画出格点△ABC（△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），然后在这个正方形网格中再画一个和△ABC相似的格点△DEF，从而使问题得解．
（1）如图2，△DEF中与∠A相等的角为 ，∠A的正切值为 ．
（2）参考小华的方法请解决问题：若△LMN的三边分别为LM=2，MN=2 ，LN=2 ，求∠N的正切值．
【答案】（1）∠D；
（2）解：在图3中，作一个△RKT，使得PK= ，RT= ，KT=5，
∵LM=2，NM=2 ，LN=2 ，
∴ = ，
∴△RKT∽△MLN，
∴∠T=∠N，
∴tan∠N=tan∠T= ．
【知识点】作图﹣相似变换
【解析】【解答】解：（1）由图2 可知DE=2，EF=2 ，DF=2 ，AB= ，AC= ，BC=2，
∵ ，
∴△DEF∽△ACB，
∴∠D=∠A，
∴tan∠A=tan∠D= ，
故答案分别为∠D，
【分析】（1）先证明△DEF∽△ACB得∠D=∠A，根据tan∠A=tan∠D即可解决．（2）构造一个△RKT∽△MLN得∠T=∠N，根据tan∠N=tan∠T即可解决．
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