【培优版】北师大版数学九年级上册4.8图形的位似 同步练习
一、选择题
1．（2020九上·长沙月考）如图，在直角坐标系中，△OAB的顶点为O（0，0），A（4，3），B（3，0）．以点O为位似中心，在第三象限内作与△OAB的位似比为 的位似图形△OCD，则点C坐标（ ）
A．（﹣1，﹣1） B．（﹣ ，﹣1）
C．（﹣1，﹣ ） D．（﹣2，﹣1）
【答案】B
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵以点O为位似中心，位似比为 ，
而A （4，3），
∴A点的对应点C的坐标为（ ，﹣1）．
故答案为：B．
【分析】由于原点为位似中心，则把点A的横、纵坐标都乘即可得到对应点C的坐标.
2．（2022九上·惠阳月考）一个面积为的四边形，它的位似图形为四边形，位似中心为，若，则四边形的面积为（ ）
A． B．
C．或 D．以上都不对
【答案】C
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：由题可知四边形的相似比为1：1或1：3，
四边形的面积之比等于相似比的平方，且四边形的面积为，
四边形 的面积为或．
故答案为：C．
【分析】利用位似图形的性质：相似图形的面积之比等于相似比的平方求解即可。
3．（2022九上·怀宁月考）在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为：，以O为位似中心，与位似，若B点的对应点的坐标为，则A点的对应点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】位似变换
【解析】【解答】∵，，
∴，．
∵与位似，且O为位似中心，
∴．
∵，
∴．
故答案为：B．
【分析】由位似图形的性质可得，继而计算即可.
4．（2022九上·潞城月考）在如图所示的肉眼成像的示意图中，可能没有蕴含下列哪项初中数学知识（ ）
A．平行线的性质 B．相似三角形的判定
C．位似图形 D．旋转
【答案】C
【知识点】平行线的性质；相似三角形的判定；位似变换；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵两棵树是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，
∴这两个图形是位似图形，
∴本题蕴含了平行线的性质、相似三角形的判定、位似图形，没有蕴含旋转，
故答案为：C．
【分析】根据位似图形、相似三角形的判定、平行线的性质及旋转的概念逐项判断即可。
5．（2021九上·包头期末）如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点O在坐标原点，顶点A，B的坐标分别为（－2，－1），（－1.5，0）．△OCD与△OAB位似，位似中心是原点O，若点D的坐标为（4.5，0），则点C的坐标为（ ）
A．（6，3） B．（－6，－3）
C．（4，2） D．（－4，－2）
【答案】A
【知识点】位似变换
【解析】【解答】顶点A，B的坐标分别为（－2，－1），（－1.5，0）．△OCD与△OAB位似，位似中心是原点O，若点D的坐标为（4.5，0）
A点的对应点C的坐标为，即
故答案为：A．
【分析】根据题意先求出 A点的对应点C的坐标为 A点的对应点C的坐标为，再求解即可。
6．（2021九上·越城期末）下列三个关于位似图形的表述：
①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；
②位似图形一定有位似中心；
③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形；
其中正确命题的序号是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【答案】B
【知识点】位似变换
【解析】【解答】相似图形不一定是位似图形，位似图形一定是相似图形，故①错误；
位似图形一定有位似中心，是对应点连线的交点，故②正确；
如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，且对应边平行或共线，那么，这两个图形是位似图形，故③正确；
位似图形上对应点与位似中心的距离之比等于位似比，故④错误；
正确答案为：②③
故答案为：B.
【分析】根据位似图形的概念即可判断求解.
7．（2021九上·石家庄月考）已知△ABC中，∠BAC=90°，用尺规过点A作一条直线，使其将△ABC分成两个相似的三角形，其作法错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定；作图﹣相似变换
【解析】【解答】解：A、在角∠BAC内作作∠CAD=∠B，交BC于点D，根据余角的定义及等量代换得出∠B＋∠BAD=90°，进而得出AD⊥BC，根据直角三角形斜边上的垂线，把原直角三角形分成了两个小直角三角形，图中的三个直角三角形式彼此相似的；A不符合题意；
B、以点A为圆心，略小于AB的长为半径，画弧，交线段BC两点，再分别以这两点为圆心，大于 两交点间的距离为半径画弧，两弧相交于一点，过这一点与A点作直线，该直线是BC的垂线；根据直角三角形斜边上的垂线，把原直角三角形分成了两个小直角三角形，图中的三个直角三角形是彼此相似的；B不符合题意；
C、以AB为直径作圆，该圆交BC于点D，根据圆周角定理，过AD两点作直线该直线垂直于BC，根据直角三角形斜边上的垂线，把原直角三角形分成了两个小直角三角形，图中的三个直角三角形式彼此相似的；C不符合题意；
D、以点B为圆心BA的长为半径画弧，交BC于点E，再以E点为圆心，AB的长为半径画弧，在BC的另一侧交前弧于一点，过这一点及A点作直线，该直线不一定是BE的垂线；从而就不能保证两个小三角形相似；D符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据相似三角形的判定方法一一判断即可。
8．（2018九上·建平期末）如图，矩形EFGO的两边在坐标轴上，点O为平面直角坐标系的原点，以y轴上的某一点为位似中心，作位似图形ABCD，且点B，F的坐标分别为（-4，4），（2，1），则位似中心的坐标为（ ）
A．（0，3） B．（0，2.5） C．（0，2） D．（0，1.5）
【答案】C
【知识点】矩形的性质；位似变换
【解析】【解答】如图，连接BF交y轴于P，
∵四边形ABCD和四边形EFGO是矩形，点B，F的坐标分别为（-4，4），（2，1），
∴点C的坐标为（0，4），点G的坐标为（0，1），
∴CG=3，
∵BC∥GF，
∴ ，
∴GP=1，PC=2，
∴点P的坐标为（0，2），
故答案为：C.
【分析】连接BF交y轴于P，根据题意求出CG，然后根据相似三角形的性质求出GP，从而得出OP的长，最后求出点P的坐标．
二、填空题
9．（2024九上·长岭期末）小芳的房间有一面积为的玻璃窗，她站在室内离窗子的地方向外看，她能看到窗前面一幢楼房的面积有 .（楼之间的距离为）
【答案】108
【知识点】相似多边形；位似变换
【解析】【解答】根据题意可得：她能看到窗前面一幢楼房的图形与玻璃窗的外形应该相似，且相似比为，
∴面积之比为36：1，
∴她能看到窗前面一幢楼房的面积为36×3=108m2，
故答案为：108.
【分析】先求出相似比为，可得面积之比为36：1，再结合玻璃窗的面积为，求出她能看到窗前面一幢楼房的面积为36×3=108m2即可.
10．（2022九上·槐荫期中）如图，在直角坐标系中，矩形与矩形位似，矩形的边在y轴上，点B的坐标为，矩形的两边都在坐标轴上，且点F的坐标为，则矩形与的位似中心的坐标是 ．
【答案】(0，2)或(4，-4)
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：连接交y轴于点P，
∵B和F是对应点，
∴点P为位似中心，
由题意得，，，，
∵，
∴∽，
∴，即，
解得：，
∴，
∴位似中心的坐标是；
连接，，并延长，交点为点P，如图所示：
则点P为位似中心，
由题意得：，，
∵，
∴∽，
∴，即，
∴，
∴，
∵点C为：，点E为：，
∴点P的坐标为：；
故答案为：或．
【分析】分两种情况：①连接交y轴于点P，②连接，，并延长，交点为点P，再分别求解即可。
11．（2021九上·秦安期中）如图， 是 内任意一点， 分别为 上的点，且 与 是位似三角形，位似中心为 .若 则 与 的位似比为 .
【答案】
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵
∴
∵△ABC与△DEF是位似三角形，位似中心为O.
∴△ABC与△DEF的位似比为： .
故答案为： .
【分析】由AD=AO可得=，然后根据△ABC与△DEF是位似图形就可得到位似比.
12．（2023九上·岳阳月考）如图，在平面直角坐标系中，正方形A1B1C1A2与正方形A2B2C2A3是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为，点A1，A2，A3在x轴上，延长A3C2交射线OB1于点B3，以A3B3为边作正方形A3B3C3A4；延长A4C3交射线OB1于点B4，以A4B4为边作正方形A4B4C4A5…，若OA1＝2，则正方形A2022B2022C2022A2023的面积是 ．
【答案】
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质；位似变换；探索图形规律；用代数式表示图形变化规律
【解析】【解答】解：∵正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为，
∴，
∵轴，轴，
∴∥，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
同理可得，
∴
∴
∴正方形的面积为，
正方形的面积为，
正方形的面积为，
……
∴正方形的面积是．
故答案为：．
【分析】先根据位似变换得到，进而根据相似三角形的判定与性质证明即可得到，再结合题意运用正方形的性质得到， 同理可得，进而结合题意求出正方形的面积为，正方形的面积为，正方形的面积为，……从而即可得到正方形的面积是．
13．（2021九上·德惠期末）如图，在平面直角坐标系中，等边△ABC与等边△BDE是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为，点A、B、D在x轴上，若等边△BDE的边长为6，则点C的坐标为 ．
【答案】
【知识点】点的坐标；勾股定理；相似三角形的判定与性质；位似变换
【解析】【解答】解：作CF⊥AB于F，
∵等边△ABC与等边△BDE是以原点为位似中心的位似图形，
∴BC∥DE，
∴△OBC∽△ODE，
∴，
∵△ABC与△BDE的相似比为，等边△BDE边长为6，
∴
解得，BC=2，OB=3，
∴OA=1，
∵CA=CB，CF⊥AB，
∴AF=1，
由勾股定理得，
∴OF=OA+AF=2，
∴点C的坐标为
故答案为：．
【分析】作CF⊥AB于F，证明△OBC∽△ODE，可得，据此求出BC=2，OB=3，从而求出OA=1，AF=1，利用勾股定理求出CF，再利用OF=OA+AF求出OF的长，即得点C坐标.
三、解答题
14．（2021九上·吉林期末）放缩尺是一种绘图工具，它能把图形放大或缩小．
制作：把钻有若干等距小孔的四根直尺用螺栓分别在点A，B，C，D处连接起来，使得直尺可以绕着这些点转动，O为固定点，，，在点A，E处分别装上画笔．
画图：现有一图形M，画图时固定点O，控制点A处的笔尖沿图形M的轮廓线移动，此时点E处的画笔便画出了将图形M放大后的图形N．
原理：
连接，，可证得以下结论：
①和为等腰三角形，则，（180°-∠ ▲ ）；
②四边形为平行四边形（理由是 ▲ ）；
③，于是可得O，A，E三点在一条直线上；
④当时，图形N是以点O为位似中心，把图形M放大为原来的 ▲ 倍得到的．
【答案】解：连接，，如图，
①∵，
∴
∴△OAD和△OEC是等腰三角形，
∴∠，∠
∴∠，∠
②∵，
∴四边形为平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）
③∵
∴，，三点在一条直线上；
④∵图形M和图形N是以点O为位似中心的位似图形，
∴其倍数比为三角形的边长比即：，
又，且
∴
即：当时，图形N是以点O为位似中心，把图形M放大为原来的倍得到的．
故答案为：；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
【知识点】平行四边形的性质；位似变换
【解析】【分析】 ①由等腰三角形的性质即可求解；②平行四边形的判定即可求解；③ 由图形即可直接得出答案；④ 根据图形M和图形N是以点O为位似中心的位似图形，求解即可。
15．（2020九上·西城期末）放缩尺是一种绘图工具，它能把图形放大或缩小．
制作：把钻有若干等距小孔的四根直尺用螺栓分别在点 ， ， ， 处连接起来，使得直尺可以绕着这些点转动， 为固定点， ， ，在点 ， 处分别装上画笔．
画图：现有一图形 ，画图时固定点 ，控制点 处的笔尖沿图形 的轮廓线移动，此时点 处的画笔便画出了将图形 放大后的图形 ．
原理：
连接 ， ，可证得以下结论：
① 和 为等腰三角形，则 ， （180°-∠ ▲ ）；
②四边形 为平行四边形（理由是 ▲ ）；
③ ，于是可得 ， ， 三点在一条直线上；
④当 时，图形 是以点 为位似中心，把图形 放大为原来的 ▲ 倍得到的．
【答案】解：连接 ， ，如图，
①∵ ，
∴
∴△OAD和△OEC是等腰三角形，
∴∠ ，∠
∴∠ ，∠
②∵ ，
∴四边形 为平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）
③∵
∴ ， ， 三点在一条直线上；
④∵图形M和图形N是以点O为位似中心的位似图形，
∴其倍数比为三角形的边长比即： ，
又 ，且
∴
即：当 时，图形 是以点 为位似中心，把图形 放大为原来的 倍得到的．
故答案为： ；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
【知识点】位似变换
【解析】【分析】①由等腰三角形的性质可求解；②由平行四边形的判定即可求解；③由图形可直接得到答案；④通过证明△AOD∽△EOC，可得，再将数据代入计算即可。
16．如图，在6×8网格图中，每个小正方形边长均为1，点O和A、B、C三点均为格点．
（1）以O为位似中心，在网格图中作△A′B′C′，使△A′B′C′和△ABC位似，且位似比为1：2；
（2）连接（1）中的AA′，求四边形AA′C′C的周长．（结果保留根号）
【答案】解：（1）所作图形如图所示：
（2）OA==，AC==4，
∵△A′B′C′和△ABC位似，且位似比为1：2；
∴A′C′=AC=2，
==，
∴OC′=OC=，OA′=OA=，
∴AA′=OA﹣OA′=，CC′=OC﹣OC′=，
∴四边形AA'C'C的周长=AC+CC′+A′C′+AA′
=4++2+
=6++．
【知识点】位似变换
【解析】【分析】（1）连结OA，分别取OA、OB、OC的中点A′、B′、C′，则△A′B′C′为所求；
（2）先利用勾股定理计算出OA═，AC=4，再利用位似的性质得到A′C′=AC=2，= =，则OC′=OC=，OA′=OA=，所以AA′=，CC′=，然后计算四边形AA′C′C的周长．
17．（2023九上·贵阳期中）视力表对我们来说并不陌生，它蕴含着一定的数学知识．下面我们以标准对数视力表为例，来探索视力表中的奥秘．
用硬纸板复制视力表中所对应的“E”，并依次编号为①，②，放在水平桌面上．如图所示，将②号“E”沿水平桌面向右移动，直至从观测点O看去，对应顶点，，O在一条直线上为止．这时我们说，在处用①号“E”测得的视力与在处用②号“E”测得的视力相同．
（1）探究图中与之间的关系，请说明理由；
（2）若，①号“E”的测量距离，要使测得的视力相同，求②号“E”的测量距离．
【答案】（1）解：．
①号“E”与②号“E”相似，且点在一条直线上，
①号“E”与②号“E”是位似图形，位似中心是点，
是相似比，
．
（2）解：，
．
．
答：②号“E”的测量距离是．
【知识点】位似变换
【解析】【分析】（1）根据题意，可得①号“E”与②号“E”是位似图形，位似中心是点， 利用位似的性质列出比例式，即可求解；
（2）将已知数据代入比例式进行计算即可求解.
18．数学课上，老师要求同学们在扇形纸片OAB上画出一个正方形，使得正方形的四个顶点分别落在扇形半径OA、OB和弧AB上．有一部分同学是这样画的：如图1，先在扇形OAB内画出正方形CDEF，使得C、D在OA上，F在OB上，连结OE并延长交弧AB与G点，过点G，作GJ⊥OA于点J，作GH⊥GJ交OB于点H，再作HI⊥OA于点I．
（1）请问他们画出的四边形GHIJ是正方形吗？如果是，请给出你的证明；如果不是，请说明理由；
（2）还有一部分同学用另外一种不同于图1的方法画出的，请你参照图1的画法，在图2上画出这个正方形（保留画图痕迹，不要求证明）．
【答案】解：（1）四边形GHIJ是正方形．
证明如下：如图1，
∵GJ⊥OA，GH⊥GJ，HI⊥OA，
∴∠GJO=∠JIH=∠JGH=90°，
∴四边形GHIJ是矩形，
∵四边形CDEF是正方形，CD边与矩形GHIJ的IJ边在同一条直线上
∴FC∥HI，EF∥GH，
∴△FOC∽△HOI，△EFO∽△GHO．
∴=，=．
∴=．
又∵FC=EF，
∴HI=GH．
∴四边形GHIJ是正方形；
（2）如图2，正方形MNGH为所作．
【知识点】位似变换
【解析】【分析】（1）由作法可得四边形CDEF与四边形IJGH是位似图形，位似中心为点O，由于四边形CDEF为正方形，所以四边形GHIJ是正方形；
（2）先画正方形CDEF，点C、F在OA、OB上，再作正方形CDEF以点O为位似中心的位似图形，使它的位似图形的四个顶点落在扇形半径OA、OB和弧AB上即可．
19．（2020九上·崇川月考）如图①，在四边形ABCD的边AB上任取一点P（点P不与A，B重合），分别连接PD，PC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把P叫四边形ABCD的边AB上的“相似点”；如果这三个三角形都相似，我们就把P叫做四边形ABCD的边AB上的“强相似点”.
解决问题
（1）如图①，∠A＝∠B＝∠DPC＝50°，试判断点P是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由.
（2）如图②，在四边形ABCD中，A，B，C，D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图②中画出四边形ABCD的边BC上的相似点，并写出对应的相似三角形；
（3）如图③，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝3，CD＝5，AD＝8.点P在边BC上，若点P是四边形ABCD的边BC上的一个强相似点，求BP的长.
【答案】（1）解：结论：点P是四边形ABCD的边AB上的相似点，
理由：如图①中，
∵∠A＝50°，
∴∠ADP+∠APD＝130°.
∵∠DPC＝50°.
∴∠APD+∠CPB＝130°
∴∠ADP＝∠CPB，
∵∠A＝∠B
∴△ADP∽△BPC
∴点P是四边形ABCD的边AB上的相似点.
（2）解：如图②中，作AP1⊥AD，交边BC于点P1，则点P1为所求，此时△ABP1∽△DAP1：
作点A关于直线BC的对称点A'：连接DA'，交BC于点P2
则点P2为所求，此时△ABP2∽△DCP2
（3）解：取AD的中点O，作OP⊥BC，垂足为P.则点P为所求，连接AP，DP.
∵∠B＝∠C＝90°，OP⊥BC，
∴AB∥OP∥DC
作AE∥BC，则四边形ABCE，ABPF，FPCE均为矩形，
∴EC＝FP＝AB＝3，ED＝2
∵OF是△AED的中位线，∴OF＝1
∴OP＝4＝OA＝OD＝ AD.
∴∠ODP＝∠OPD，∠OAP＝∠OPA，
∴∠APD＝90°
∵∠OPC＝90°，
∴∠DPC＝∠OPA＝∠OAP.
同理可证：∠BPA＝∠OPD＝∠ODP
∵∠ABP＝∠APD＝∠PCD，
∴△ABP∽△APD∽△PCD，
∴点P是四边形ABCD的边BC上的一个强相似点，
在R△AED中，AE＝ ＝2 .
∴BC＝AE＝2
∴BP＝PC＝ .
【知识点】矩形的判定与性质；相似三角形的判定；作图﹣相似变换；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）由三角形内角和定理可得∠ADP+∠APD＝130°，由补角的概念可得∠APD+∠CPB＝130°，则可推出∠ADP＝∠CPB，证明△ADP∽△BPC，据此判断；
（2）作AP1⊥AD，交边BC于点P1，此时△ABP1∽△DAP1；作点A关于直线BC的对称点A'，连接DA'，交BC于点P2，此时△ABP2∽△DCP2；
（3）取AD的中点O，作OP⊥BC，垂足为P，则点P为所求，连接AP，DP，易得AB∥OP∥DC，作AE∥BC，则四边形ABCE，ABPF，FPCE均为矩形，由矩形的性质可得EC＝FP＝AB＝3，ED＝2，由中位线的性质可得OF＝1，进而求出OP的值，易得∠DPC＝∠OPA＝∠OAP，∠BPA＝∠OPD＝∠ODP，证明△ABP∽△APD∽△PCD，由勾股定理求出AE，进而得到BC、BP的值.
20．（2019九上·海淀月考）阅读下面材料：
小明观察一个由1×1正方形点阵组成的点阵图，图中水平与竖直方向上任意两个相邻点间的距离都是1．他发现一个有趣的问题：对于图中出现的任意两条端点在点阵上且互相不垂直的线段，都可以在点阵中找到一点构造垂直，进而求出交点与垂足之间的数值．
请回答：
（1）如图1，A、B、C是点阵中的三个点，请在点阵中找到点D，作出线段CD，使得CD⊥AB；
（2）如图2，线段AB与CD交于点O，小明在点阵中找到了点E，连接AE．恰好满足AE⊥CD于E，再作出点阵中的其它线段，就可以构造相似三角形，经过推理和计算能够使问题得到解决．
请你帮小明计算：OC＝ OF＝ ；
（3）参考小明思考问题的方法，解决问题：
如图3，线段AB与CD交于点O．在点阵中找到点E，连接AE，满足AE⊥CD于F．计算： OC＝ ，OF＝ ．
【答案】（1）解：如图线段CD即为所求．
（2）；
（3）；
【知识点】相似三角形的判定与性质；作图﹣相似变换
【解析】【解答】解：（2）连接AC，BD．
由题意AC＝2，DB＝3，CD＝ ＝2 ，
∵AC∥BD，
∴△ACO∽△BDO，
∴ ，
∴OC＝ CD＝ ，
∵AC∥DE，
∴△ACF∽△EDF，
∴ ＝1，
∴DF＝CF＝ ，
∴OF＝CF﹣OC＝ ﹣ ＝ ．
故答案为 ， ．（3）如图3中，线段AE即为所求．
连接BC，作AM∥BC交CD于M．
由题意：BC＝1，AM＝2.5，CD＝2 ，DF＝CF＝ ，CM＝ ，
∵BC∥AM，
∴△BOC∽△AOM，
∴ ，
∴OC＝ CM＝ ．
∴OF＝CF﹣OC＝ ＝ ．
故答案为 ， ．
【分析】（1）利用数形结合的思想解决问题即可．（2）利用相似三角形的性质解决问题即可．（3）构造相似三角形解决问题即可．
1 / 1【培优版】北师大版数学九年级上册4.8图形的位似 同步练习
一、选择题
1．（2020九上·长沙月考）如图，在直角坐标系中，△OAB的顶点为O（0，0），A（4，3），B（3，0）．以点O为位似中心，在第三象限内作与△OAB的位似比为 的位似图形△OCD，则点C坐标（ ）
A．（﹣1，﹣1） B．（﹣ ，﹣1）
C．（﹣1，﹣ ） D．（﹣2，﹣1）
2．（2022九上·惠阳月考）一个面积为的四边形，它的位似图形为四边形，位似中心为，若，则四边形的面积为（ ）
A． B．
C．或 D．以上都不对
3．（2022九上·怀宁月考）在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为：，以O为位似中心，与位似，若B点的对应点的坐标为，则A点的对应点坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022九上·潞城月考）在如图所示的肉眼成像的示意图中，可能没有蕴含下列哪项初中数学知识（ ）
A．平行线的性质 B．相似三角形的判定
C．位似图形 D．旋转
5．（2021九上·包头期末）如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点O在坐标原点，顶点A，B的坐标分别为（－2，－1），（－1.5，0）．△OCD与△OAB位似，位似中心是原点O，若点D的坐标为（4.5，0），则点C的坐标为（ ）
A．（6，3） B．（－6，－3）
C．（4，2） D．（－4，－2）
6．（2021九上·越城期末）下列三个关于位似图形的表述：
①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；
②位似图形一定有位似中心；
③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形；
其中正确命题的序号是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
7．（2021九上·石家庄月考）已知△ABC中，∠BAC=90°，用尺规过点A作一条直线，使其将△ABC分成两个相似的三角形，其作法错误的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2018九上·建平期末）如图，矩形EFGO的两边在坐标轴上，点O为平面直角坐标系的原点，以y轴上的某一点为位似中心，作位似图形ABCD，且点B，F的坐标分别为（-4，4），（2，1），则位似中心的坐标为（ ）
A．（0，3） B．（0，2.5） C．（0，2） D．（0，1.5）
二、填空题
9．（2024九上·长岭期末）小芳的房间有一面积为的玻璃窗，她站在室内离窗子的地方向外看，她能看到窗前面一幢楼房的面积有 .（楼之间的距离为）
10．（2022九上·槐荫期中）如图，在直角坐标系中，矩形与矩形位似，矩形的边在y轴上，点B的坐标为，矩形的两边都在坐标轴上，且点F的坐标为，则矩形与的位似中心的坐标是 ．
11．（2021九上·秦安期中）如图， 是 内任意一点， 分别为 上的点，且 与 是位似三角形，位似中心为 .若 则 与 的位似比为 .
12．（2023九上·岳阳月考）如图，在平面直角坐标系中，正方形A1B1C1A2与正方形A2B2C2A3是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为，点A1，A2，A3在x轴上，延长A3C2交射线OB1于点B3，以A3B3为边作正方形A3B3C3A4；延长A4C3交射线OB1于点B4，以A4B4为边作正方形A4B4C4A5…，若OA1＝2，则正方形A2022B2022C2022A2023的面积是 ．
13．（2021九上·德惠期末）如图，在平面直角坐标系中，等边△ABC与等边△BDE是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为，点A、B、D在x轴上，若等边△BDE的边长为6，则点C的坐标为 ．
三、解答题
14．（2021九上·吉林期末）放缩尺是一种绘图工具，它能把图形放大或缩小．
制作：把钻有若干等距小孔的四根直尺用螺栓分别在点A，B，C，D处连接起来，使得直尺可以绕着这些点转动，O为固定点，，，在点A，E处分别装上画笔．
画图：现有一图形M，画图时固定点O，控制点A处的笔尖沿图形M的轮廓线移动，此时点E处的画笔便画出了将图形M放大后的图形N．
原理：
连接，，可证得以下结论：
①和为等腰三角形，则，（180°-∠ ▲ ）；
②四边形为平行四边形（理由是 ▲ ）；
③，于是可得O，A，E三点在一条直线上；
④当时，图形N是以点O为位似中心，把图形M放大为原来的 ▲ 倍得到的．
15．（2020九上·西城期末）放缩尺是一种绘图工具，它能把图形放大或缩小．
制作：把钻有若干等距小孔的四根直尺用螺栓分别在点 ， ， ， 处连接起来，使得直尺可以绕着这些点转动， 为固定点， ， ，在点 ， 处分别装上画笔．
画图：现有一图形 ，画图时固定点 ，控制点 处的笔尖沿图形 的轮廓线移动，此时点 处的画笔便画出了将图形 放大后的图形 ．
原理：
连接 ， ，可证得以下结论：
① 和 为等腰三角形，则 ， （180°-∠ ▲ ）；
②四边形 为平行四边形（理由是 ▲ ）；
③ ，于是可得 ， ， 三点在一条直线上；
④当 时，图形 是以点 为位似中心，把图形 放大为原来的 ▲ 倍得到的．
16．如图，在6×8网格图中，每个小正方形边长均为1，点O和A、B、C三点均为格点．
（1）以O为位似中心，在网格图中作△A′B′C′，使△A′B′C′和△ABC位似，且位似比为1：2；
（2）连接（1）中的AA′，求四边形AA′C′C的周长．（结果保留根号）
17．（2023九上·贵阳期中）视力表对我们来说并不陌生，它蕴含着一定的数学知识．下面我们以标准对数视力表为例，来探索视力表中的奥秘．
用硬纸板复制视力表中所对应的“E”，并依次编号为①，②，放在水平桌面上．如图所示，将②号“E”沿水平桌面向右移动，直至从观测点O看去，对应顶点，，O在一条直线上为止．这时我们说，在处用①号“E”测得的视力与在处用②号“E”测得的视力相同．
（1）探究图中与之间的关系，请说明理由；
（2）若，①号“E”的测量距离，要使测得的视力相同，求②号“E”的测量距离．
18．数学课上，老师要求同学们在扇形纸片OAB上画出一个正方形，使得正方形的四个顶点分别落在扇形半径OA、OB和弧AB上．有一部分同学是这样画的：如图1，先在扇形OAB内画出正方形CDEF，使得C、D在OA上，F在OB上，连结OE并延长交弧AB与G点，过点G，作GJ⊥OA于点J，作GH⊥GJ交OB于点H，再作HI⊥OA于点I．
（1）请问他们画出的四边形GHIJ是正方形吗？如果是，请给出你的证明；如果不是，请说明理由；
（2）还有一部分同学用另外一种不同于图1的方法画出的，请你参照图1的画法，在图2上画出这个正方形（保留画图痕迹，不要求证明）．
19．（2020九上·崇川月考）如图①，在四边形ABCD的边AB上任取一点P（点P不与A，B重合），分别连接PD，PC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把P叫四边形ABCD的边AB上的“相似点”；如果这三个三角形都相似，我们就把P叫做四边形ABCD的边AB上的“强相似点”.
解决问题
（1）如图①，∠A＝∠B＝∠DPC＝50°，试判断点P是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由.
（2）如图②，在四边形ABCD中，A，B，C，D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图②中画出四边形ABCD的边BC上的相似点，并写出对应的相似三角形；
（3）如图③，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝3，CD＝5，AD＝8.点P在边BC上，若点P是四边形ABCD的边BC上的一个强相似点，求BP的长.
20．（2019九上·海淀月考）阅读下面材料：
小明观察一个由1×1正方形点阵组成的点阵图，图中水平与竖直方向上任意两个相邻点间的距离都是1．他发现一个有趣的问题：对于图中出现的任意两条端点在点阵上且互相不垂直的线段，都可以在点阵中找到一点构造垂直，进而求出交点与垂足之间的数值．
请回答：
（1）如图1，A、B、C是点阵中的三个点，请在点阵中找到点D，作出线段CD，使得CD⊥AB；
（2）如图2，线段AB与CD交于点O，小明在点阵中找到了点E，连接AE．恰好满足AE⊥CD于E，再作出点阵中的其它线段，就可以构造相似三角形，经过推理和计算能够使问题得到解决．
请你帮小明计算：OC＝ OF＝ ；
（3）参考小明思考问题的方法，解决问题：
如图3，线段AB与CD交于点O．在点阵中找到点E，连接AE，满足AE⊥CD于F．计算： OC＝ ，OF＝ ．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵以点O为位似中心，位似比为 ，
而A （4，3），
∴A点的对应点C的坐标为（ ，﹣1）．
故答案为：B．
【分析】由于原点为位似中心，则把点A的横、纵坐标都乘即可得到对应点C的坐标.
2．【答案】C
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：由题可知四边形的相似比为1：1或1：3，
四边形的面积之比等于相似比的平方，且四边形的面积为，
四边形 的面积为或．
故答案为：C．
【分析】利用位似图形的性质：相似图形的面积之比等于相似比的平方求解即可。
3．【答案】B
【知识点】位似变换
【解析】【解答】∵，，
∴，．
∵与位似，且O为位似中心，
∴．
∵，
∴．
故答案为：B．
【分析】由位似图形的性质可得，继而计算即可.
4．【答案】C
【知识点】平行线的性质；相似三角形的判定；位似变换；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵两棵树是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，
∴这两个图形是位似图形，
∴本题蕴含了平行线的性质、相似三角形的判定、位似图形，没有蕴含旋转，
故答案为：C．
【分析】根据位似图形、相似三角形的判定、平行线的性质及旋转的概念逐项判断即可。
5．【答案】A
【知识点】位似变换
【解析】【解答】顶点A，B的坐标分别为（－2，－1），（－1.5，0）．△OCD与△OAB位似，位似中心是原点O，若点D的坐标为（4.5，0）
A点的对应点C的坐标为，即
故答案为：A．
【分析】根据题意先求出 A点的对应点C的坐标为 A点的对应点C的坐标为，再求解即可。
6．【答案】B
【知识点】位似变换
【解析】【解答】相似图形不一定是位似图形，位似图形一定是相似图形，故①错误；
位似图形一定有位似中心，是对应点连线的交点，故②正确；
如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，且对应边平行或共线，那么，这两个图形是位似图形，故③正确；
位似图形上对应点与位似中心的距离之比等于位似比，故④错误；
正确答案为：②③
故答案为：B.
【分析】根据位似图形的概念即可判断求解.
7．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定；作图﹣相似变换
【解析】【解答】解：A、在角∠BAC内作作∠CAD=∠B，交BC于点D，根据余角的定义及等量代换得出∠B＋∠BAD=90°，进而得出AD⊥BC，根据直角三角形斜边上的垂线，把原直角三角形分成了两个小直角三角形，图中的三个直角三角形式彼此相似的；A不符合题意；
B、以点A为圆心，略小于AB的长为半径，画弧，交线段BC两点，再分别以这两点为圆心，大于 两交点间的距离为半径画弧，两弧相交于一点，过这一点与A点作直线，该直线是BC的垂线；根据直角三角形斜边上的垂线，把原直角三角形分成了两个小直角三角形，图中的三个直角三角形是彼此相似的；B不符合题意；
C、以AB为直径作圆，该圆交BC于点D，根据圆周角定理，过AD两点作直线该直线垂直于BC，根据直角三角形斜边上的垂线，把原直角三角形分成了两个小直角三角形，图中的三个直角三角形式彼此相似的；C不符合题意；
D、以点B为圆心BA的长为半径画弧，交BC于点E，再以E点为圆心，AB的长为半径画弧，在BC的另一侧交前弧于一点，过这一点及A点作直线，该直线不一定是BE的垂线；从而就不能保证两个小三角形相似；D符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据相似三角形的判定方法一一判断即可。
8．【答案】C
【知识点】矩形的性质；位似变换
【解析】【解答】如图，连接BF交y轴于P，
∵四边形ABCD和四边形EFGO是矩形，点B，F的坐标分别为（-4，4），（2，1），
∴点C的坐标为（0，4），点G的坐标为（0，1），
∴CG=3，
∵BC∥GF，
∴ ，
∴GP=1，PC=2，
∴点P的坐标为（0，2），
故答案为：C.
【分析】连接BF交y轴于P，根据题意求出CG，然后根据相似三角形的性质求出GP，从而得出OP的长，最后求出点P的坐标．
9．【答案】108
【知识点】相似多边形；位似变换
【解析】【解答】根据题意可得：她能看到窗前面一幢楼房的图形与玻璃窗的外形应该相似，且相似比为，
∴面积之比为36：1，
∴她能看到窗前面一幢楼房的面积为36×3=108m2，
故答案为：108.
【分析】先求出相似比为，可得面积之比为36：1，再结合玻璃窗的面积为，求出她能看到窗前面一幢楼房的面积为36×3=108m2即可.
10．【答案】(0，2)或(4，-4)
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：连接交y轴于点P，
∵B和F是对应点，
∴点P为位似中心，
由题意得，，，，
∵，
∴∽，
∴，即，
解得：，
∴，
∴位似中心的坐标是；
连接，，并延长，交点为点P，如图所示：
则点P为位似中心，
由题意得：，，
∵，
∴∽，
∴，即，
∴，
∴，
∵点C为：，点E为：，
∴点P的坐标为：；
故答案为：或．
【分析】分两种情况：①连接交y轴于点P，②连接，，并延长，交点为点P，再分别求解即可。
11．【答案】
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵
∴
∵△ABC与△DEF是位似三角形，位似中心为O.
∴△ABC与△DEF的位似比为： .
故答案为： .
【分析】由AD=AO可得=，然后根据△ABC与△DEF是位似图形就可得到位似比.
12．【答案】
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质；位似变换；探索图形规律；用代数式表示图形变化规律
【解析】【解答】解：∵正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为，
∴，
∵轴，轴，
∴∥，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
同理可得，
∴
∴
∴正方形的面积为，
正方形的面积为，
正方形的面积为，
……
∴正方形的面积是．
故答案为：．
【分析】先根据位似变换得到，进而根据相似三角形的判定与性质证明即可得到，再结合题意运用正方形的性质得到， 同理可得，进而结合题意求出正方形的面积为，正方形的面积为，正方形的面积为，……从而即可得到正方形的面积是．
13．【答案】
【知识点】点的坐标；勾股定理；相似三角形的判定与性质；位似变换
【解析】【解答】解：作CF⊥AB于F，
∵等边△ABC与等边△BDE是以原点为位似中心的位似图形，
∴BC∥DE，
∴△OBC∽△ODE，
∴，
∵△ABC与△BDE的相似比为，等边△BDE边长为6，
∴
解得，BC=2，OB=3，
∴OA=1，
∵CA=CB，CF⊥AB，
∴AF=1，
由勾股定理得，
∴OF=OA+AF=2，
∴点C的坐标为
故答案为：．
【分析】作CF⊥AB于F，证明△OBC∽△ODE，可得，据此求出BC=2，OB=3，从而求出OA=1，AF=1，利用勾股定理求出CF，再利用OF=OA+AF求出OF的长，即得点C坐标.
14．【答案】解：连接，，如图，
①∵，
∴
∴△OAD和△OEC是等腰三角形，
∴∠，∠
∴∠，∠
②∵，
∴四边形为平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）
③∵
∴，，三点在一条直线上；
④∵图形M和图形N是以点O为位似中心的位似图形，
∴其倍数比为三角形的边长比即：，
又，且
∴
即：当时，图形N是以点O为位似中心，把图形M放大为原来的倍得到的．
故答案为：；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
【知识点】平行四边形的性质；位似变换
【解析】【分析】 ①由等腰三角形的性质即可求解；②平行四边形的判定即可求解；③ 由图形即可直接得出答案；④ 根据图形M和图形N是以点O为位似中心的位似图形，求解即可。
15．【答案】解：连接 ， ，如图，
①∵ ，
∴
∴△OAD和△OEC是等腰三角形，
∴∠ ，∠
∴∠ ，∠
②∵ ，
∴四边形 为平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）
③∵
∴ ， ， 三点在一条直线上；
④∵图形M和图形N是以点O为位似中心的位似图形，
∴其倍数比为三角形的边长比即： ，
又 ，且
∴
即：当 时，图形 是以点 为位似中心，把图形 放大为原来的 倍得到的．
故答案为： ；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
【知识点】位似变换
【解析】【分析】①由等腰三角形的性质可求解；②由平行四边形的判定即可求解；③由图形可直接得到答案；④通过证明△AOD∽△EOC，可得，再将数据代入计算即可。
16．【答案】解：（1）所作图形如图所示：
（2）OA==，AC==4，
∵△A′B′C′和△ABC位似，且位似比为1：2；
∴A′C′=AC=2，
==，
∴OC′=OC=，OA′=OA=，
∴AA′=OA﹣OA′=，CC′=OC﹣OC′=，
∴四边形AA'C'C的周长=AC+CC′+A′C′+AA′
=4++2+
=6++．
【知识点】位似变换
【解析】【分析】（1）连结OA，分别取OA、OB、OC的中点A′、B′、C′，则△A′B′C′为所求；
（2）先利用勾股定理计算出OA═，AC=4，再利用位似的性质得到A′C′=AC=2，= =，则OC′=OC=，OA′=OA=，所以AA′=，CC′=，然后计算四边形AA′C′C的周长．
17．【答案】（1）解：．
①号“E”与②号“E”相似，且点在一条直线上，
①号“E”与②号“E”是位似图形，位似中心是点，
是相似比，
．
（2）解：，
．
．
答：②号“E”的测量距离是．
【知识点】位似变换
【解析】【分析】（1）根据题意，可得①号“E”与②号“E”是位似图形，位似中心是点， 利用位似的性质列出比例式，即可求解；
（2）将已知数据代入比例式进行计算即可求解.
18．【答案】解：（1）四边形GHIJ是正方形．
证明如下：如图1，
∵GJ⊥OA，GH⊥GJ，HI⊥OA，
∴∠GJO=∠JIH=∠JGH=90°，
∴四边形GHIJ是矩形，
∵四边形CDEF是正方形，CD边与矩形GHIJ的IJ边在同一条直线上
∴FC∥HI，EF∥GH，
∴△FOC∽△HOI，△EFO∽△GHO．
∴=，=．
∴=．
又∵FC=EF，
∴HI=GH．
∴四边形GHIJ是正方形；
（2）如图2，正方形MNGH为所作．
【知识点】位似变换
【解析】【分析】（1）由作法可得四边形CDEF与四边形IJGH是位似图形，位似中心为点O，由于四边形CDEF为正方形，所以四边形GHIJ是正方形；
（2）先画正方形CDEF，点C、F在OA、OB上，再作正方形CDEF以点O为位似中心的位似图形，使它的位似图形的四个顶点落在扇形半径OA、OB和弧AB上即可．
19．【答案】（1）解：结论：点P是四边形ABCD的边AB上的相似点，
理由：如图①中，
∵∠A＝50°，
∴∠ADP+∠APD＝130°.
∵∠DPC＝50°.
∴∠APD+∠CPB＝130°
∴∠ADP＝∠CPB，
∵∠A＝∠B
∴△ADP∽△BPC
∴点P是四边形ABCD的边AB上的相似点.
（2）解：如图②中，作AP1⊥AD，交边BC于点P1，则点P1为所求，此时△ABP1∽△DAP1：
作点A关于直线BC的对称点A'：连接DA'，交BC于点P2
则点P2为所求，此时△ABP2∽△DCP2
（3）解：取AD的中点O，作OP⊥BC，垂足为P.则点P为所求，连接AP，DP.
∵∠B＝∠C＝90°，OP⊥BC，
∴AB∥OP∥DC
作AE∥BC，则四边形ABCE，ABPF，FPCE均为矩形，
∴EC＝FP＝AB＝3，ED＝2
∵OF是△AED的中位线，∴OF＝1
∴OP＝4＝OA＝OD＝ AD.
∴∠ODP＝∠OPD，∠OAP＝∠OPA，
∴∠APD＝90°
∵∠OPC＝90°，
∴∠DPC＝∠OPA＝∠OAP.
同理可证：∠BPA＝∠OPD＝∠ODP
∵∠ABP＝∠APD＝∠PCD，
∴△ABP∽△APD∽△PCD，
∴点P是四边形ABCD的边BC上的一个强相似点，
在R△AED中，AE＝ ＝2 .
∴BC＝AE＝2
∴BP＝PC＝ .
【知识点】矩形的判定与性质；相似三角形的判定；作图﹣相似变换；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）由三角形内角和定理可得∠ADP+∠APD＝130°，由补角的概念可得∠APD+∠CPB＝130°，则可推出∠ADP＝∠CPB，证明△ADP∽△BPC，据此判断；
（2）作AP1⊥AD，交边BC于点P1，此时△ABP1∽△DAP1；作点A关于直线BC的对称点A'，连接DA'，交BC于点P2，此时△ABP2∽△DCP2；
（3）取AD的中点O，作OP⊥BC，垂足为P，则点P为所求，连接AP，DP，易得AB∥OP∥DC，作AE∥BC，则四边形ABCE，ABPF，FPCE均为矩形，由矩形的性质可得EC＝FP＝AB＝3，ED＝2，由中位线的性质可得OF＝1，进而求出OP的值，易得∠DPC＝∠OPA＝∠OAP，∠BPA＝∠OPD＝∠ODP，证明△ABP∽△APD∽△PCD，由勾股定理求出AE，进而得到BC、BP的值.
20．【答案】（1）解：如图线段CD即为所求．
（2）；
（3）；
【知识点】相似三角形的判定与性质；作图﹣相似变换
【解析】【解答】解：（2）连接AC，BD．
由题意AC＝2，DB＝3，CD＝ ＝2 ，
∵AC∥BD，
∴△ACO∽△BDO，
∴ ，
∴OC＝ CD＝ ，
∵AC∥DE，
∴△ACF∽△EDF，
∴ ＝1，
∴DF＝CF＝ ，
∴OF＝CF﹣OC＝ ﹣ ＝ ．
故答案为 ， ．（3）如图3中，线段AE即为所求．
连接BC，作AM∥BC交CD于M．
由题意：BC＝1，AM＝2.5，CD＝2 ，DF＝CF＝ ，CM＝ ，
∵BC∥AM，
∴△BOC∽△AOM，
∴ ，
∴OC＝ CM＝ ．
∴OF＝CF﹣OC＝ ＝ ．
故答案为 ， ．
【分析】（1）利用数形结合的思想解决问题即可．（2）利用相似三角形的性质解决问题即可．（3）构造相似三角形解决问题即可．
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