【基础版】北师大版数学九年级上册第四章 图形的相似 章节测试卷
一、选择题（每题3分，共24分）
1．（2022九上·武义期末）已知，则下列等式中正确的是（ ）
A． B． C． D．，
【答案】C
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：A.∵，∴3x=2y，故本选项不正确；
B. ∵，设，则，故本选项不正确；
C. ∵，∴，故本选项正确；
D.∵，∴x＝2，y＝3不一定成立，故本选项错误.
故答案为：C
【分析】根据比例的性质将等式变形并结合各选项即可判断求解.
2．（2024九上·叙州期末）如图，，直线、与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F，，，，则的长是（ ）
A．8 B．9 C．11 D．12
【答案】D
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：，
，
，，，
，解得，
故答案为：D．
【分析】根据平行线分线段成比例求解即可。
3．（2024九上·永年期末）如图，与位似，点O是它们的位似中心，且它们的周长比为，则与的面积之比是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：由题意可得：
∵与位似，它们的周长比为
∴
故答案为：C
【分析】根据相似图形的面积比是其周长比的平方即可求出答案.
4．（2024九上·简阳期末）若四条线段，，，成比例，其中，，，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】比例线段
【解析】【解答】线段，，，成比例，
，， ，
解得a=1，
故答案为：A.
【分析】根据成比例线段的性质得到代入数据计算即可求解.
5．（2024九上·贵阳期末）如图，把△AOB缩小后得到△COD，则△COD与△AOB的相似比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：把△AOB缩小后得到△COD，则△COD与△AOB的相似比为，
故答案为：B.
【分析】根据相似三角形的性质，结合图形判断求解即可。
6．（2019九上·槐荫期末）已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞PB），AB=4，那么AP的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】根据黄金比的定义得： ，得 .
故答案为：A.
【分析】先求出，再根据AB=4计算求解即可。
7．（2024九上·昌平期中）如图，在中，点，，分别在边，，上，且，．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：由，，可得，
因为，可得，，所以，可得，
即的值为．
故选：A．
【分析】根据平行线的性质，得到，结合三角形的相似比的性质，得到，即可得出答案.
8．（2022九上·诸暨期末）如图，AB∥CD，AB=2，CD=3，AD=4，则OD的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵AB//CD，
∴△AOB∽△DOC，
∴，
∵AB=2，CD=3，AD=4，
∴，
∴OD= ，
故答案为：D.
【分析】首先判断出△AOB∽△DOC，接着根据相似三角形对应边成比例列出方程，求解即可.
二、填空题（每题3分，共15分）
9．（2023九上·宽城月考）如图，，直线l1、l2与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F．若，，则DF的长为 ．
【答案】15
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴EF=9，
∴DF=EF+DE=9+6=15.
故答案为：15.
【分析】根据平行线分线段成比例，即可求解.
10．（2022九上·新昌期末）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，∠AED＝∠B，，若四边形BCED的面积为7，则△ADE的面积为 .
【答案】9
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵∠A=∠A，∠AED＝∠B，
∴△ADE∽△ACB，
∴，
∴，
设
，则
，
∴，
∴，
∴，
故答案为：9.
【分析】易证△ADE∽△ACB，利用相似三角形的性质，相似比等于面积比的平方，得到△ADE、△ACB面积比值，然后利用比例的性质求解即可.
11．（2023九上·南山期中）如图，在某校的2023年新年晚会中，舞台AB的长为20米，主持人站在点C处自然得体，已知点C是线段AB上靠近点B的黄金分割点，则此时主持人与点A的距离为 米．
【答案】（10﹣10）
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：根据黄金分割比例可得：即AC==
∴此时主持人与点A的距离为米
故答案为：.
【分析】根据黄金分割比例即可求出AC的长.
12．（2023九上·门头沟期中）如图，的高AD，BE相交于点O，写出一个与相似的三角形，这个三角形可以是 ．
【答案】（答案不唯一）
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：本题答案不唯一；
与相似的三角形有：，，，
选择求证：．
证明：的高，交于点，
．
，
，
故答案是：．
【分析】由题意可得，再根据相似三角形判定定理即可求出答案.
13．若原图形上点的坐标为，以原点为位似中心，位似图形与原图形的位似比为，则位似图形上的对应点的坐标为 或 .
【答案】；
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解： 若原图形上点的坐标为(x，y），以原点为位似中心，位似图形与原图形的位似比为k，则位似图形上的对应点的坐标为（kx，ky）或（-kx，-ky）.
故答案为：（kx，ky），（-kx，-ky）.
【分析】根据坐标与位似变换之间的关系可得出答案.
三、解答题（共7题，共61分）
14．（2024九上·钟山期末） 如图，在矩形ABCD中，点E是BC的中点，连接AE，过点D作AE的垂线分别交AE，AB于点F，G．
（1）求证：；
（2）若，，求AE的长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形 ∴AD∥BC，∠B=90°
∴∠DAF=∠AEB ∵DG⊥AE ∴∠AFD=90°
∴∠AFD=∠B ∴△ADF∽△EAB
（2）解：∵△ADF∽△EAB ∴ ，AD=6， AF=
又∵点E是BC的中点
∴BE==3 ∴
∴AE=
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质得到AD∥BC，∠B=90° ，进而得到∠DAF=∠AEB ，结合图形得到∠AFD=90°，∠AFD=∠B ，最后根据相似三角形的判定定理即可求解；
（2）利用相似三角形的性质以及线段中点的性质列出比例式，代入数据计算即可求解.
15．（2023九上·虹口期中）已知求：的值．
【答案】解：，
，，
．
【知识点】比例的性质
【解析】【分析】 由可得2a=b，3a=c，然后代入原式计算即可.
16．（2023九上·杭州期中）如图，△ABC∽△ACD．
（1）若CD平分∠ACB，∠ACD=40°，求∠ADC的度数.
（2）若AD＝2，BD＝3，求AC的长．
【答案】（1）解：∵CD平分∠ACB，∠ACD=40°
∴∠ACD=∠BCD=40°
∵△ABC∽△ACD
∴∠ABC=∠ACD=40°
∴∠ADC=80°
（2）解：∵CD=2，BD=3
∴AB=5
∵△ABC∽△ACD
∴
∴，
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）首先根据△ABC∽△ACD和CD平分∠ACB得出∠B和∠BCD的度数，最后根据三角形的外角等于与它不相邻的两个外角和即可求出∠ADC的度数.
（2）先算出AB的长，由△ABC∽△ACD可得出，再把AB和AD的长代入求值即可.
17．（2023九上·大名月考）如图，已知直线，，分别截直线于点，，，截直线于点，，，且.
（1）如果，，，求的长；
（2）如果，，求的长.
【答案】（1）解：∵，∴，即，解得；
（2）解：∵，∴，即，解得.
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【分析】本题考查平行线分线段成比例。
（1）根据得，则可知；
（2）根据得，根据 得，得.
18．（2018-2019学年数学北师大版九年级上册第四章 图形的相似 单元检测b卷）如图，BE是△ABC的角平分线，延长BE至D，使得BC=CD．
（1）求证：△AEB∽△CED；
（2）若AB=2，BC=4，AE=1，求CE长．
【答案】（1）证明：∵BE是△ABC的角平分线，∴∠ABE=∠CBE．∵BC=CD，
∴∠CDE=∠CBE=∠ABE．
又∵∠AEB=∠CED，∴△AEB∽△CED
（2）解：∵BC=4，
∴CD=4．
∵△AEB∽△CED，
∴ = ，即 = ，
∴CE=2．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义得出∠ABE=∠CBE，根据等边对等角得出∠CDE=∠CBE，故∠ABE=∠CDE，从而利用有两组角对应相等的两个三角形相似得出结论；
（2）根据相似三角形对应边成比例得出CE∶AE=CD∶AB，根据比例式列出方程，求解即可得出答案。
19．（2019九上·太原期中）方格图中的每个小方格都是边长为1小正方形，我们把小正方形的顶点称为格点，格点连线为边的四边形称为“格点四边形”，图1中的四边形ABCD就是一个格点四边形.
（1）小彬在图2的方格图中画了一个格点四边形EFGH.借助方格图回答：四边形ABCD与四边形EFGH相似吗？若相似，直接写出四边形ABCD与四边形EFGH的相似比；若不相似说明理由；
（2）请在图3的方格图中画一个格点四边形，使它与四边形ABCD相似，但与四边形ABCD、四边形EFGH都不全等.
【答案】（1）解：相似；
根据题意，四边形ABCD中， ，BC=1，CD=2，AD= ；四边形EFGH中， ，FG=2，GH=4，EH= ；
∴ ，即 ，
∴四边形ABCD与四边形EFGH相似，相似比为： .
（2）解：根据题意，设相似比为 ，则四边形MNPQ的各边为：
MN=2，NP= ，PQ= ，MQ= ，
如图，四边形MNPQ即为所求.
.
【知识点】相似多边形；作图﹣相似变换
【解析】【分析】（1）分别求出四边形各边的长度，求出对应边的相似比，即可得到答案；（2）先确定相似比，然后求出个对应边的长度，即可画出图形.
20．（2017九上·西湖期中）已知：如图， 中， ， ， 为 边上一点， ．
（1）求证： ．
（2）若 交 于点 ，请再写出另一个与 相似的三角形，并直接写出 长．
【答案】（1）证明：∵ ， ， ，
∴ ，
且 ，
∴ ．
（2）解：如图，∵ ，∴ ，
∴ ， ．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）首先判断出AB∶BC=BD∶BA=1∶2，然后滚局有两组边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似即可得出结论：△ABD∽△CBA ；
（2）根据平行于三角形一边的直线截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得出△CDE∽△CBA ，又△ABD∽△CBA ，从而得出△ABD∽△CDE；根据相似三角形对应边成比例即可列出方程求出DE的长。
1 / 1【基础版】北师大版数学九年级上册第四章 图形的相似 章节测试卷
一、选择题（每题3分，共24分）
1．（2022九上·武义期末）已知，则下列等式中正确的是（ ）
A． B． C． D．，
2．（2024九上·叙州期末）如图，，直线、与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F，，，，则的长是（ ）
A．8 B．9 C．11 D．12
3．（2024九上·永年期末）如图，与位似，点O是它们的位似中心，且它们的周长比为，则与的面积之比是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024九上·简阳期末）若四条线段，，，成比例，其中，，，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024九上·贵阳期末）如图，把△AOB缩小后得到△COD，则△COD与△AOB的相似比为（ ）
A． B． C． D．
6．（2019九上·槐荫期末）已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞PB），AB=4，那么AP的长是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024九上·昌平期中）如图，在中，点，，分别在边，，上，且，．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022九上·诸暨期末）如图，AB∥CD，AB=2，CD=3，AD=4，则OD的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题3分，共15分）
9．（2023九上·宽城月考）如图，，直线l1、l2与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F．若，，则DF的长为 ．
10．（2022九上·新昌期末）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，∠AED＝∠B，，若四边形BCED的面积为7，则△ADE的面积为 .
11．（2023九上·南山期中）如图，在某校的2023年新年晚会中，舞台AB的长为20米，主持人站在点C处自然得体，已知点C是线段AB上靠近点B的黄金分割点，则此时主持人与点A的距离为 米．
12．（2023九上·门头沟期中）如图，的高AD，BE相交于点O，写出一个与相似的三角形，这个三角形可以是 ．
13．若原图形上点的坐标为，以原点为位似中心，位似图形与原图形的位似比为，则位似图形上的对应点的坐标为 或 .
三、解答题（共7题，共61分）
14．（2024九上·钟山期末） 如图，在矩形ABCD中，点E是BC的中点，连接AE，过点D作AE的垂线分别交AE，AB于点F，G．
（1）求证：；
（2）若，，求AE的长．
15．（2023九上·虹口期中）已知求：的值．
16．（2023九上·杭州期中）如图，△ABC∽△ACD．
（1）若CD平分∠ACB，∠ACD=40°，求∠ADC的度数.
（2）若AD＝2，BD＝3，求AC的长．
17．（2023九上·大名月考）如图，已知直线，，分别截直线于点，，，截直线于点，，，且.
（1）如果，，，求的长；
（2）如果，，求的长.
18．（2018-2019学年数学北师大版九年级上册第四章 图形的相似 单元检测b卷）如图，BE是△ABC的角平分线，延长BE至D，使得BC=CD．
（1）求证：△AEB∽△CED；
（2）若AB=2，BC=4，AE=1，求CE长．
19．（2019九上·太原期中）方格图中的每个小方格都是边长为1小正方形，我们把小正方形的顶点称为格点，格点连线为边的四边形称为“格点四边形”，图1中的四边形ABCD就是一个格点四边形.
（1）小彬在图2的方格图中画了一个格点四边形EFGH.借助方格图回答：四边形ABCD与四边形EFGH相似吗？若相似，直接写出四边形ABCD与四边形EFGH的相似比；若不相似说明理由；
（2）请在图3的方格图中画一个格点四边形，使它与四边形ABCD相似，但与四边形ABCD、四边形EFGH都不全等.
20．（2017九上·西湖期中）已知：如图， 中， ， ， 为 边上一点， ．
（1）求证： ．
（2）若 交 于点 ，请再写出另一个与 相似的三角形，并直接写出 长．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：A.∵，∴3x=2y，故本选项不正确；
B. ∵，设，则，故本选项不正确；
C. ∵，∴，故本选项正确；
D.∵，∴x＝2，y＝3不一定成立，故本选项错误.
故答案为：C
【分析】根据比例的性质将等式变形并结合各选项即可判断求解.
2．【答案】D
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：，
，
，，，
，解得，
故答案为：D．
【分析】根据平行线分线段成比例求解即可。
3．【答案】C
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：由题意可得：
∵与位似，它们的周长比为
∴
故答案为：C
【分析】根据相似图形的面积比是其周长比的平方即可求出答案.
4．【答案】A
【知识点】比例线段
【解析】【解答】线段，，，成比例，
，， ，
解得a=1，
故答案为：A.
【分析】根据成比例线段的性质得到代入数据计算即可求解.
5．【答案】B
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：把△AOB缩小后得到△COD，则△COD与△AOB的相似比为，
故答案为：B.
【分析】根据相似三角形的性质，结合图形判断求解即可。
6．【答案】A
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】根据黄金比的定义得： ，得 .
故答案为：A.
【分析】先求出，再根据AB=4计算求解即可。
7．【答案】A
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：由，，可得，
因为，可得，，所以，可得，
即的值为．
故选：A．
【分析】根据平行线的性质，得到，结合三角形的相似比的性质，得到，即可得出答案.
8．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵AB//CD，
∴△AOB∽△DOC，
∴，
∵AB=2，CD=3，AD=4，
∴，
∴OD= ，
故答案为：D.
【分析】首先判断出△AOB∽△DOC，接着根据相似三角形对应边成比例列出方程，求解即可.
9．【答案】15
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴EF=9，
∴DF=EF+DE=9+6=15.
故答案为：15.
【分析】根据平行线分线段成比例，即可求解.
10．【答案】9
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵∠A=∠A，∠AED＝∠B，
∴△ADE∽△ACB，
∴，
∴，
设
，则
，
∴，
∴，
∴，
故答案为：9.
【分析】易证△ADE∽△ACB，利用相似三角形的性质，相似比等于面积比的平方，得到△ADE、△ACB面积比值，然后利用比例的性质求解即可.
11．【答案】（10﹣10）
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：根据黄金分割比例可得：即AC==
∴此时主持人与点A的距离为米
故答案为：.
【分析】根据黄金分割比例即可求出AC的长.
12．【答案】（答案不唯一）
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：本题答案不唯一；
与相似的三角形有：，，，
选择求证：．
证明：的高，交于点，
．
，
，
故答案是：．
【分析】由题意可得，再根据相似三角形判定定理即可求出答案.
13．【答案】；
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解： 若原图形上点的坐标为(x，y），以原点为位似中心，位似图形与原图形的位似比为k，则位似图形上的对应点的坐标为（kx，ky）或（-kx，-ky）.
故答案为：（kx，ky），（-kx，-ky）.
【分析】根据坐标与位似变换之间的关系可得出答案.
14．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形 ∴AD∥BC，∠B=90°
∴∠DAF=∠AEB ∵DG⊥AE ∴∠AFD=90°
∴∠AFD=∠B ∴△ADF∽△EAB
（2）解：∵△ADF∽△EAB ∴ ，AD=6， AF=
又∵点E是BC的中点
∴BE==3 ∴
∴AE=
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质得到AD∥BC，∠B=90° ，进而得到∠DAF=∠AEB ，结合图形得到∠AFD=90°，∠AFD=∠B ，最后根据相似三角形的判定定理即可求解；
（2）利用相似三角形的性质以及线段中点的性质列出比例式，代入数据计算即可求解.
15．【答案】解：，
，，
．
【知识点】比例的性质
【解析】【分析】 由可得2a=b，3a=c，然后代入原式计算即可.
16．【答案】（1）解：∵CD平分∠ACB，∠ACD=40°
∴∠ACD=∠BCD=40°
∵△ABC∽△ACD
∴∠ABC=∠ACD=40°
∴∠ADC=80°
（2）解：∵CD=2，BD=3
∴AB=5
∵△ABC∽△ACD
∴
∴，
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）首先根据△ABC∽△ACD和CD平分∠ACB得出∠B和∠BCD的度数，最后根据三角形的外角等于与它不相邻的两个外角和即可求出∠ADC的度数.
（2）先算出AB的长，由△ABC∽△ACD可得出，再把AB和AD的长代入求值即可.
17．【答案】（1）解：∵，∴，即，解得；
（2）解：∵，∴，即，解得.
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【分析】本题考查平行线分线段成比例。
（1）根据得，则可知；
（2）根据得，根据 得，得.
18．【答案】（1）证明：∵BE是△ABC的角平分线，∴∠ABE=∠CBE．∵BC=CD，
∴∠CDE=∠CBE=∠ABE．
又∵∠AEB=∠CED，∴△AEB∽△CED
（2）解：∵BC=4，
∴CD=4．
∵△AEB∽△CED，
∴ = ，即 = ，
∴CE=2．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义得出∠ABE=∠CBE，根据等边对等角得出∠CDE=∠CBE，故∠ABE=∠CDE，从而利用有两组角对应相等的两个三角形相似得出结论；
（2）根据相似三角形对应边成比例得出CE∶AE=CD∶AB，根据比例式列出方程，求解即可得出答案。
19．【答案】（1）解：相似；
根据题意，四边形ABCD中， ，BC=1，CD=2，AD= ；四边形EFGH中， ，FG=2，GH=4，EH= ；
∴ ，即 ，
∴四边形ABCD与四边形EFGH相似，相似比为： .
（2）解：根据题意，设相似比为 ，则四边形MNPQ的各边为：
MN=2，NP= ，PQ= ，MQ= ，
如图，四边形MNPQ即为所求.
.
【知识点】相似多边形；作图﹣相似变换
【解析】【分析】（1）分别求出四边形各边的长度，求出对应边的相似比，即可得到答案；（2）先确定相似比，然后求出个对应边的长度，即可画出图形.
20．【答案】（1）证明：∵ ， ， ，
∴ ，
且 ，
∴ ．
（2）解：如图，∵ ，∴ ，
∴ ， ．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）首先判断出AB∶BC=BD∶BA=1∶2，然后滚局有两组边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似即可得出结论：△ABD∽△CBA ；
（2）根据平行于三角形一边的直线截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得出△CDE∽△CBA ，又△ABD∽△CBA ，从而得出△ABD∽△CDE；根据相似三角形对应边成比例即可列出方程求出DE的长。
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