【提升版】北师大版数学九年级上册第四章 图形的相似 章节测试卷
一、选择题（每题3分，共24分）
1．（北师大版数学九年级上册第四章第5节相似三角形判定定理的证明同步检测）如图，小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024九上·裕华开学考）如图，在 ABCD中，E是AB的中点，EC交BD于点F，则△BEF与△DCB的面积比为（ ）
A． B． C． D．
3．（2020九上·茌平期末）如图，D是△ABC边AB上一点，添加一个条件后，仍然不能使△ACD∽△ABC的是（ ）
A．∠ACB＝∠ADC B．∠ACD＝∠ABC
C． D．
4．（2024九上·永定期末）如图，在平行四边形中，E为上一点，且，与相交于点F，，则（ ）.
A．4 B．8 C．12 D．18
5．（2024九上·兰州期中）如图，为了估算河的宽度，在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，E，使得A，B与C共线，A，D与E共线，且直线AC与河岸垂直，直线BD，CE均与直线AC垂直．经测量，得到BC，CE，BD的长度，设AB的长为x，则下列等式成立的是 （ ）
A． B． C． D．
6．（2024九上·杭州月考）黄金分割由于其美学性质，受到摄影爱好者和艺术家的喜爱，摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法．其原理是：如图，将正方形的底边取中点E，以E为圆心，线段为半径作圆，其与底边的延长线交于点F，这样就把正方形延伸为矩形，称其为黄金矩形．若，则（ ）．
A． B． C． D．
7．（2024九上·贵阳期末）如图，在正方形ABCD和CEFG中，连接AF交CD于点H，AB＝6，DH＝3GH，I是AF的中点，那么CI的长是（ ）
A． B．2 C． D．3
8．（2024九上·桐乡市期末）如图，在中，，点D为线段上一动点（不与点B，C重合），连接，作，交线段于点E．
下面是某学习小组根据题意得到的结论：
甲同学：；
乙同学：若，则；
丙同学：当时，D为的中点．
则下列说法正确的是（ ）
A．只有甲同学正确 B．乙和丙同学都正确
C．甲和丙同学正确 D．三个同学都正确
二、填空题（每题3分，共15分）
9．（2019九上·宝应期末）如图，已知 ABCD中，点E在CD上， ，BE交对角线AC于点F.则 ＝ .
10．（2023九上·宝安月考）如图，在正方形网格中，A，B，C，D是网格线交点，AC与BD相交于点O，小正方形的边长为1，则AO的长为 ．
11．（2024九上·北碚期末）如图，在中，分别是边上的点，将沿翻折至所在的平面内，得相交于点．若，，则的长是 ．
12．（2024九上·南岸期末）如图，在中，，D，E分别是的中点，把沿着翻折，点B恰好在边上的F处，若，则 ．（用含k的代数式表示）
13．（2023九上·温州期末）如图是一边长为6的菱形纸片ABCD，将纸片沿EF折叠，使点D落在边BC上，点A，D的对应点分别为点G，H，GH交AB于点J．若AE=1.4，CF=2，则EJ的长是
三、解答题（共7题，共61分）
14．（2024九上·金沙期末）如图，在中，D，E分别是上的点，连接，且．
（1）求证：；
（2）若，，，求的长．
15．（2024九上·杭州月考）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFD＝∠C．
（1）求证：△ADF∽△DEC；
（2）若AB＝8，AD＝6，AF＝4，求AE的长．
16．（2024九上·自贡期末）如图，我们知道，如果点是线段上的一点，将线段分割成两条线段，且满足，那么这种分割就叫做黄金分割．其中线段与的比值或线段与的比值叫做黄金分割数．已知比例的基本性质：对于长度为的四条线段，如果，则．求黄金分割数（结果保留根号）．
17．（2024九上·榆树期末）（1）【教材呈现】下图是华师版九年级上册数学教材第77页的部分内容．请根据教材提示，结合图1，写出完整的证明过程．
猜想：
如图1．在中，点、分别是与的中点，根据画出的图形，可以猜想：
，且．
对此，我们可以用演绎推理给证明．
（2）【结论应用】如图2，是等边三角形，点在边上（点与点、不重合），过点作交于点，连结，、、分别为、、的中点，顺次连结、、．
①求证：；
②的大小是 ．
18．（2023九上·大名月考）如图，在中，是边上一点.
（1）当时，
①求证：；
②若，，求的长；
（2）已知，若，求的长.
19．（2022九上·襄汾期中）
（1）如图1，在中，D，E，F分别为上的点，交于点G，求证：．
（2）如图2，在（1）的条件下，连接．若，求的值．
（3）如图3，在中，与交于点O，E为上一点，交于点G，交于点F．若平分，求的长．
20．（2023九上·吴兴期末）已知在矩形中，，，点是边上的一个动点，以为边，在的右侧作矩形，且，连接，.
（1）如图1，若，点运动到的中点时，求的长.
（2）如图2，判断与有怎样的数量关系，并说明理由.
（3）当点从点运动到点时，请直接写出点的运动路径长.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：设各个小正方形的边长为1，则已知的三角形的各边分别为，2，，
A、因为三边分别为：，，3，三边不能与已知三角形各边对应成比例，故两三角形不相似；
B、因为三边分别为：1，，，三边与已知三角形的各边对应成比例，故两三角形相似；
C、因为三边分别为：1，2，三边不能与已知三角形各边对应成比例，故两三角形不相似；
D、因为三边分另为：2，，，三边不能与已知三角形各边对应成比例，故两三角形不相似，
故选：B．
【分析】设各小正方形的边长为1，根据勾股定理分别表示出已知阴影三角形的各边长，同理利用勾股定理表示出四个选项中阴影三角形的各边长，利用三边长对应成比例的两三角形相似可得出左图中的阴影三角形与已知三角形相似的选项．
2．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，E为AB的中点，
∴AB=DC=2BE，AB∥CD，
∴△BEF∽△DCF，
∴==，
∴DF=2BF，=()2=，
∴=，
∴S△BEF=S△DCF，S△DCB=S△DCF，
∴==，
故答案为：D．
【分析】先证出△BEF∽△DCF，可得==，再利用相似三角形的性质可得=()2=，再求出S△BEF=S△DCF，S△DCB=S△DCF，最后求出==即可.
3．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A、当∠ACB＝∠ADC时，再由∠A＝∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此选项不合题意；
B、当∠ACD＝∠ABC时，再由∠A＝∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此选项不合题意；
C、当 时，再由∠A＝∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此选项不合题意；
D、当 时，无法得出△ACD∽△ABC，故此选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据相似三角形的判定逐项判断即可。
4．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
故选：D．
【分析】根据平行四边形性质可得，则．再根据直线平行性质及相似三角形判定定理可得，则，即可求出答案.
5．【答案】A
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵直线BD，CE均与直线AC垂直，
∴．
∴．
∴．
∵AB的长为x，
∴AC=AB+BC=x+BC．
∴
故答案为：A
【分析】先根据垂直得到，进而运用相似三角形的判定与性质得到，从而即可求解。
6．【答案】D
【知识点】勾股定理；正方形的性质；黄金分割
【解析】【解答】解：设EC=x（x＞0）；
∵四边形ABCD是正方形，点E是BC的中点
∴AB=CD=2x
∵ED和EF都是圆 的半径
∴EF=ED=x+4a
∴在直角三角形DEC中，，解得x=a；
∴AB=2a
故答案为：D.
【分析】根据正方形的性质，可得AB=CD=2x；根据圆的半径处处相等，可得EF=ED=x+4a；根据勾股定理，列一元二次方程，直接开平方即可求出AB的长.
7．【答案】A
【知识点】勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：过I作IK⊥BC与K，如图：
∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，
∴∠D＝∠CGF＝90°＝∠HGF，AD＝AB＝BC＝6，
∵∠AHD＝∠GHF，
∴△ADH∽△FGH，
∴，
∵AD＝6，DH＝3GH，
∴，
∴GF＝2，
∴EF＝GF＝CE＝2，
∴BE＝BC+CE＝6+2＝8，
∵∠B＝∠IKE＝∠E＝90°，
∴AB∥IK∥EF，
∵I为AF中点，
∴K为BE中点，
∴，，
∴CK＝BC﹣BK＝6﹣4＝2，
∴．
故选：A．
【分析】根据正方形的性质求出∠D＝∠CGF＝90°＝∠HGF，AD＝AB＝BC＝6，再根据相似三角形的判定方法求出△ADH∽△FGH，最后根据相似三角形的性质和勾股定理等计算求解即可。
8．【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；相似三角形的判定；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：在中，
∵
∴
∵
∴
∴，则甲同学正确；
∵
∴
∴则乙同学正确；
当时，
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴D为的中点．则丙同学正确；
综上所述，三人的说法均正确，
故答案为：D.
【分析】在中，根据三角形外角的性质得到：结合等腰三角形证明，即可判断甲同学的说法；利用"AAS"证明即可判断乙同学的说法；当时，求出进而证明最后根据等腰三角形"三线合一"即可判断丙同学的说法.
9．【答案】
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴CD∥AB，CD＝AB.
∵点E在CD上，
∴
∵CD∥AB，
∴△CEF∽△ABF
∴
故答案为： .
【分析】据平行四边形的性质可得出CD∥AB，CD＝AB，由 可得出CE＝ AB，由CD∥AB，可得出△CEF∽△ABF，再利用相似三角形的性质即可求出 的值.
10．【答案】
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵ 小正方形的边长为1 ，
∴AC==5，BC=1，AD=2，
∵BC∥AD，
∴△BOC∽△DOA，
∴，
∴AO=AC=.
故答案为：.
【分析】由勾股定理求出AC的长，由BC∥AD可证△BOC∽△DOA，利用相似三角形的性质即可求解.
11．【答案】
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
设，
则，，
∴，
∴，
解得，
故答案为：．
【分析】本题考查三角形相似的判定和性质，勾股定理，折叠的性质.先利用勾股定理可求出，利用相似三角形的性质可求出.设，则，根据勾股定理可列出方程，解方程可求出CE的长度．
12．【答案】
【知识点】翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质；线段的中点
【解析】【解答】解：∵，，
∴、，
∵E是的中点，
∴，
∵把沿着翻折，点B恰好在边上的F处，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴．
故答案为：
【分析】先根据题意得到、，进而根据中点得到，再根据折叠得到，进而结合题意运用相似三角形的判定与性质证明即可得到，从而即可求解。
13．【答案】2.8
【知识点】菱形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠A=∠C，∠B=∠D，
∵CF=2，CD=6，
∴DF=DC-CF=6-2=4，
由折叠得DF=FH=4，AE=GE=1.4，∠A=∠G，∠D=∠FHJ，
∴∠FHJ=∠B，∠G=∠C
∵∠FHC+∠FHJ+∠JHB=180°，∠JHB+∠B+∠BJH=180°，
∴∠FHC=∠BJH=∠EJG，
∴△CFH∽△GEJ，
∴，即，
∴EJ=2.8.
故答案为：2.8.
【分析】易得∠A=∠C，∠B=∠D，由折叠得DF=FH=4，AE=GE=1.4，∠A=∠G，∠D=∠FHJ，故∠FHJ=∠B，∠G=∠C，由平角定义、三角形的内角和定理及对顶角相等推出∠FHC=∠BJH=∠EJG，判断出△CFH∽△GEJ，根据相似三角形对应边成比例建立方程可求出EJ的长.
14．【答案】（1）证明：∵，，
∴；
（2）解：∵，
∴，
而，，，
∴，
∴．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据两角对应相等的两三角形相似可直接得出结论；
（2）根据相似三角形的性质，可得出对应边成比例，即， 即可求得BC的长度。
15．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ADE=∠DEC，
∵∠AFD=∠C，
∴△ADF∽△DEC.
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=8，
∵△ADF∽△DEC，
∴，
∴，
∴DE=6，
∵AE⊥BC，
∴∠AEB=90°，
∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB=90°，
在Rt△AED中，，
故AE的长为6.
【知识点】平行线的性质；勾股定理；平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等可得∠ADE=∠DEC，根据有两个角对应相等的两个三角形是相似三角形即可证明；
（2）根据相似三角形的对应边之比相等可求得DE=6，根据两直线平行，内错角相等可得DAE=∠AEB=90°，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方即可求解.
16．【答案】解：设线段的长为，则
即，整理得
解得（不合题意舍去）
黄金分割数为：
【知识点】公式法解一元二次方程；黄金分割
【解析】【分析】根据黄金分割的概念，结合一元二次方程的解法求解即可。
17．【答案】（1）解：证明：∵点，分别是，的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，．
（2）解：①证明：∵是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，∴，∵，，∴，∵，，∴，∴．
②
【知识点】等边三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：（2）②∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，，
∴．
故答案为：120°。
【分析】教材呈现：根据等边三角形的判定和性质证明即可解决问题．
结论应用：①利用三角形的中位线定理即可证明．②利用三角形的中位线定理以及平行线的判定与性质解决问题即可．
18．【答案】（1）.解：①证明：∵，，∴；
②∵，∴，即，∴；
（2）解：由题意，∵，∴.∵，
∴，∴.∵，∴.
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】本题考查三角形相似的判定与性质，熟悉三角形判定的方法和性质是解题关键。
（1）根据和可知；②根据得，可知长；
（2）根据得，结合证，得，则知.
19．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
（2）解：由（1）得，
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
（3）解：如图，延长交于点M，连接，作，垂足为N．
在中，．
∵，
∴由（1）得，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵平分，
∴，
∴．
∴．在中，．
∵，
∴，
∴．
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先证明，可得，再结合，可得；
（2）先证明，再利用相似三角形的性质可得；
（3）延长交于点M，连接，作，垂足为N，先求出，再利用解直角三角形的方法求出，最后利用线段的和差求出即可。
20．【答案】（1）解：矩形中，，，，
∴，则矩形是正方形，
∵点到的中点，
∴，，
在中，，
∴矩形，，
∵，，
∴，
在，中，
∴，
∴，
∵，
∴.
（2）解：，理由如下，
矩形，，，矩形，，
∴，
∴，，即，
∵，，
∴，
∴，
∴.
（3）解：点的运动路径长是2
【知识点】勾股定理；矩形的性质；正方形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】（3）解：点从点运动到点，如图所示，
过点作的延长线于点，的延长线交延长线于点，
∵，
∴，，
∴，
∴，且，
∴，
∵，，
∴，
∴点在定直线上运动，
∴当点与点重合时，，，此时点与点重合；
当点与点重合时，，，点与点重合，
∴点的运动路径长是2.
【分析】（1）由题意可得矩形ABCD为正方形，由中点的概念可得AE=DE=1，BE=CE，利用勾股定理可得CE的值，根据矩形的性质可得CE=CCG，由同角的余角相等可得∠BCE=∠DCG，利用SAS证明△BEC≌△DGC，得到DG=BE，据此求解；
（2）由题意可得AD=BC=2k，证明△BEC∽△DGC，然后根据相似三角形的性质进行解答；
（3）过点G作GM⊥BC的延长线于点M，MG的延长线交AD延长线于点H，证明△ECD∽△CGM，根据相似三角形的性质可得CM，推出点G在定直线GM上运动，当点E与点A重合时，ED=AD，GM=2，此时点G与点H重合；当点E与点D重合时，ED=0，GM=0，点G与点M重合，据此解答.
1 / 1【提升版】北师大版数学九年级上册第四章 图形的相似 章节测试卷
一、选择题（每题3分，共24分）
1．（北师大版数学九年级上册第四章第5节相似三角形判定定理的证明同步检测）如图，小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：设各个小正方形的边长为1，则已知的三角形的各边分别为，2，，
A、因为三边分别为：，，3，三边不能与已知三角形各边对应成比例，故两三角形不相似；
B、因为三边分别为：1，，，三边与已知三角形的各边对应成比例，故两三角形相似；
C、因为三边分别为：1，2，三边不能与已知三角形各边对应成比例，故两三角形不相似；
D、因为三边分另为：2，，，三边不能与已知三角形各边对应成比例，故两三角形不相似，
故选：B．
【分析】设各小正方形的边长为1，根据勾股定理分别表示出已知阴影三角形的各边长，同理利用勾股定理表示出四个选项中阴影三角形的各边长，利用三边长对应成比例的两三角形相似可得出左图中的阴影三角形与已知三角形相似的选项．
2．（2024九上·裕华开学考）如图，在 ABCD中，E是AB的中点，EC交BD于点F，则△BEF与△DCB的面积比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，E为AB的中点，
∴AB=DC=2BE，AB∥CD，
∴△BEF∽△DCF，
∴==，
∴DF=2BF，=()2=，
∴=，
∴S△BEF=S△DCF，S△DCB=S△DCF，
∴==，
故答案为：D．
【分析】先证出△BEF∽△DCF，可得==，再利用相似三角形的性质可得=()2=，再求出S△BEF=S△DCF，S△DCB=S△DCF，最后求出==即可.
3．（2020九上·茌平期末）如图，D是△ABC边AB上一点，添加一个条件后，仍然不能使△ACD∽△ABC的是（ ）
A．∠ACB＝∠ADC B．∠ACD＝∠ABC
C． D．
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A、当∠ACB＝∠ADC时，再由∠A＝∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此选项不合题意；
B、当∠ACD＝∠ABC时，再由∠A＝∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此选项不合题意；
C、当 时，再由∠A＝∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此选项不合题意；
D、当 时，无法得出△ACD∽△ABC，故此选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据相似三角形的判定逐项判断即可。
4．（2024九上·永定期末）如图，在平行四边形中，E为上一点，且，与相交于点F，，则（ ）.
A．4 B．8 C．12 D．18
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
故选：D．
【分析】根据平行四边形性质可得，则．再根据直线平行性质及相似三角形判定定理可得，则，即可求出答案.
5．（2024九上·兰州期中）如图，为了估算河的宽度，在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，E，使得A，B与C共线，A，D与E共线，且直线AC与河岸垂直，直线BD，CE均与直线AC垂直．经测量，得到BC，CE，BD的长度，设AB的长为x，则下列等式成立的是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵直线BD，CE均与直线AC垂直，
∴．
∴．
∴．
∵AB的长为x，
∴AC=AB+BC=x+BC．
∴
故答案为：A
【分析】先根据垂直得到，进而运用相似三角形的判定与性质得到，从而即可求解。
6．（2024九上·杭州月考）黄金分割由于其美学性质，受到摄影爱好者和艺术家的喜爱，摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法．其原理是：如图，将正方形的底边取中点E，以E为圆心，线段为半径作圆，其与底边的延长线交于点F，这样就把正方形延伸为矩形，称其为黄金矩形．若，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；正方形的性质；黄金分割
【解析】【解答】解：设EC=x（x＞0）；
∵四边形ABCD是正方形，点E是BC的中点
∴AB=CD=2x
∵ED和EF都是圆 的半径
∴EF=ED=x+4a
∴在直角三角形DEC中，，解得x=a；
∴AB=2a
故答案为：D.
【分析】根据正方形的性质，可得AB=CD=2x；根据圆的半径处处相等，可得EF=ED=x+4a；根据勾股定理，列一元二次方程，直接开平方即可求出AB的长.
7．（2024九上·贵阳期末）如图，在正方形ABCD和CEFG中，连接AF交CD于点H，AB＝6，DH＝3GH，I是AF的中点，那么CI的长是（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】A
【知识点】勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：过I作IK⊥BC与K，如图：
∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，
∴∠D＝∠CGF＝90°＝∠HGF，AD＝AB＝BC＝6，
∵∠AHD＝∠GHF，
∴△ADH∽△FGH，
∴，
∵AD＝6，DH＝3GH，
∴，
∴GF＝2，
∴EF＝GF＝CE＝2，
∴BE＝BC+CE＝6+2＝8，
∵∠B＝∠IKE＝∠E＝90°，
∴AB∥IK∥EF，
∵I为AF中点，
∴K为BE中点，
∴，，
∴CK＝BC﹣BK＝6﹣4＝2，
∴．
故选：A．
【分析】根据正方形的性质求出∠D＝∠CGF＝90°＝∠HGF，AD＝AB＝BC＝6，再根据相似三角形的判定方法求出△ADH∽△FGH，最后根据相似三角形的性质和勾股定理等计算求解即可。
8．（2024九上·桐乡市期末）如图，在中，，点D为线段上一动点（不与点B，C重合），连接，作，交线段于点E．
下面是某学习小组根据题意得到的结论：
甲同学：；
乙同学：若，则；
丙同学：当时，D为的中点．
则下列说法正确的是（ ）
A．只有甲同学正确 B．乙和丙同学都正确
C．甲和丙同学正确 D．三个同学都正确
【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；相似三角形的判定；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：在中，
∵
∴
∵
∴
∴，则甲同学正确；
∵
∴
∴则乙同学正确；
当时，
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴D为的中点．则丙同学正确；
综上所述，三人的说法均正确，
故答案为：D.
【分析】在中，根据三角形外角的性质得到：结合等腰三角形证明，即可判断甲同学的说法；利用"AAS"证明即可判断乙同学的说法；当时，求出进而证明最后根据等腰三角形"三线合一"即可判断丙同学的说法.
二、填空题（每题3分，共15分）
9．（2019九上·宝应期末）如图，已知 ABCD中，点E在CD上， ，BE交对角线AC于点F.则 ＝ .
【答案】
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴CD∥AB，CD＝AB.
∵点E在CD上，
∴
∵CD∥AB，
∴△CEF∽△ABF
∴
故答案为： .
【分析】据平行四边形的性质可得出CD∥AB，CD＝AB，由 可得出CE＝ AB，由CD∥AB，可得出△CEF∽△ABF，再利用相似三角形的性质即可求出 的值.
10．（2023九上·宝安月考）如图，在正方形网格中，A，B，C，D是网格线交点，AC与BD相交于点O，小正方形的边长为1，则AO的长为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵ 小正方形的边长为1 ，
∴AC==5，BC=1，AD=2，
∵BC∥AD，
∴△BOC∽△DOA，
∴，
∴AO=AC=.
故答案为：.
【分析】由勾股定理求出AC的长，由BC∥AD可证△BOC∽△DOA，利用相似三角形的性质即可求解.
11．（2024九上·北碚期末）如图，在中，分别是边上的点，将沿翻折至所在的平面内，得相交于点．若，，则的长是 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
设，
则，，
∴，
∴，
解得，
故答案为：．
【分析】本题考查三角形相似的判定和性质，勾股定理，折叠的性质.先利用勾股定理可求出，利用相似三角形的性质可求出.设，则，根据勾股定理可列出方程，解方程可求出CE的长度．
12．（2024九上·南岸期末）如图，在中，，D，E分别是的中点，把沿着翻折，点B恰好在边上的F处，若，则 ．（用含k的代数式表示）
【答案】
【知识点】翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质；线段的中点
【解析】【解答】解：∵，，
∴、，
∵E是的中点，
∴，
∵把沿着翻折，点B恰好在边上的F处，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴．
故答案为：
【分析】先根据题意得到、，进而根据中点得到，再根据折叠得到，进而结合题意运用相似三角形的判定与性质证明即可得到，从而即可求解。
13．（2023九上·温州期末）如图是一边长为6的菱形纸片ABCD，将纸片沿EF折叠，使点D落在边BC上，点A，D的对应点分别为点G，H，GH交AB于点J．若AE=1.4，CF=2，则EJ的长是
【答案】2.8
【知识点】菱形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠A=∠C，∠B=∠D，
∵CF=2，CD=6，
∴DF=DC-CF=6-2=4，
由折叠得DF=FH=4，AE=GE=1.4，∠A=∠G，∠D=∠FHJ，
∴∠FHJ=∠B，∠G=∠C
∵∠FHC+∠FHJ+∠JHB=180°，∠JHB+∠B+∠BJH=180°，
∴∠FHC=∠BJH=∠EJG，
∴△CFH∽△GEJ，
∴，即，
∴EJ=2.8.
故答案为：2.8.
【分析】易得∠A=∠C，∠B=∠D，由折叠得DF=FH=4，AE=GE=1.4，∠A=∠G，∠D=∠FHJ，故∠FHJ=∠B，∠G=∠C，由平角定义、三角形的内角和定理及对顶角相等推出∠FHC=∠BJH=∠EJG，判断出△CFH∽△GEJ，根据相似三角形对应边成比例建立方程可求出EJ的长.
三、解答题（共7题，共61分）
14．（2024九上·金沙期末）如图，在中，D，E分别是上的点，连接，且．
（1）求证：；
（2）若，，，求的长．
【答案】（1）证明：∵，，
∴；
（2）解：∵，
∴，
而，，，
∴，
∴．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据两角对应相等的两三角形相似可直接得出结论；
（2）根据相似三角形的性质，可得出对应边成比例，即， 即可求得BC的长度。
15．（2024九上·杭州月考）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFD＝∠C．
（1）求证：△ADF∽△DEC；
（2）若AB＝8，AD＝6，AF＝4，求AE的长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ADE=∠DEC，
∵∠AFD=∠C，
∴△ADF∽△DEC.
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=8，
∵△ADF∽△DEC，
∴，
∴，
∴DE=6，
∵AE⊥BC，
∴∠AEB=90°，
∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB=90°，
在Rt△AED中，，
故AE的长为6.
【知识点】平行线的性质；勾股定理；平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等可得∠ADE=∠DEC，根据有两个角对应相等的两个三角形是相似三角形即可证明；
（2）根据相似三角形的对应边之比相等可求得DE=6，根据两直线平行，内错角相等可得DAE=∠AEB=90°，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方即可求解.
16．（2024九上·自贡期末）如图，我们知道，如果点是线段上的一点，将线段分割成两条线段，且满足，那么这种分割就叫做黄金分割．其中线段与的比值或线段与的比值叫做黄金分割数．已知比例的基本性质：对于长度为的四条线段，如果，则．求黄金分割数（结果保留根号）．
【答案】解：设线段的长为，则
即，整理得
解得（不合题意舍去）
黄金分割数为：
【知识点】公式法解一元二次方程；黄金分割
【解析】【分析】根据黄金分割的概念，结合一元二次方程的解法求解即可。
17．（2024九上·榆树期末）（1）【教材呈现】下图是华师版九年级上册数学教材第77页的部分内容．请根据教材提示，结合图1，写出完整的证明过程．
猜想：
如图1．在中，点、分别是与的中点，根据画出的图形，可以猜想：
，且．
对此，我们可以用演绎推理给证明．
（2）【结论应用】如图2，是等边三角形，点在边上（点与点、不重合），过点作交于点，连结，、、分别为、、的中点，顺次连结、、．
①求证：；
②的大小是 ．
【答案】（1）解：证明：∵点，分别是，的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，．
（2）解：①证明：∵是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，∴，∵，，∴，∵，，∴，∴．
②
【知识点】等边三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：（2）②∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，，
∴．
故答案为：120°。
【分析】教材呈现：根据等边三角形的判定和性质证明即可解决问题．
结论应用：①利用三角形的中位线定理即可证明．②利用三角形的中位线定理以及平行线的判定与性质解决问题即可．
18．（2023九上·大名月考）如图，在中，是边上一点.
（1）当时，
①求证：；
②若，，求的长；
（2）已知，若，求的长.
【答案】（1）.解：①证明：∵，，∴；
②∵，∴，即，∴；
（2）解：由题意，∵，∴.∵，
∴，∴.∵，∴.
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】本题考查三角形相似的判定与性质，熟悉三角形判定的方法和性质是解题关键。
（1）根据和可知；②根据得，可知长；
（2）根据得，结合证，得，则知.
19．（2022九上·襄汾期中）
（1）如图1，在中，D，E，F分别为上的点，交于点G，求证：．
（2）如图2，在（1）的条件下，连接．若，求的值．
（3）如图3，在中，与交于点O，E为上一点，交于点G，交于点F．若平分，求的长．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
（2）解：由（1）得，
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
（3）解：如图，延长交于点M，连接，作，垂足为N．
在中，．
∵，
∴由（1）得，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵平分，
∴，
∴．
∴．在中，．
∵，
∴，
∴．
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先证明，可得，再结合，可得；
（2）先证明，再利用相似三角形的性质可得；
（3）延长交于点M，连接，作，垂足为N，先求出，再利用解直角三角形的方法求出，最后利用线段的和差求出即可。
20．（2023九上·吴兴期末）已知在矩形中，，，点是边上的一个动点，以为边，在的右侧作矩形，且，连接，.
（1）如图1，若，点运动到的中点时，求的长.
（2）如图2，判断与有怎样的数量关系，并说明理由.
（3）当点从点运动到点时，请直接写出点的运动路径长.
【答案】（1）解：矩形中，，，，
∴，则矩形是正方形，
∵点到的中点，
∴，，
在中，，
∴矩形，，
∵，，
∴，
在，中，
∴，
∴，
∵，
∴.
（2）解：，理由如下，
矩形，，，矩形，，
∴，
∴，，即，
∵，，
∴，
∴，
∴.
（3）解：点的运动路径长是2
【知识点】勾股定理；矩形的性质；正方形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】（3）解：点从点运动到点，如图所示，
过点作的延长线于点，的延长线交延长线于点，
∵，
∴，，
∴，
∴，且，
∴，
∵，，
∴，
∴点在定直线上运动，
∴当点与点重合时，，，此时点与点重合；
当点与点重合时，，，点与点重合，
∴点的运动路径长是2.
【分析】（1）由题意可得矩形ABCD为正方形，由中点的概念可得AE=DE=1，BE=CE，利用勾股定理可得CE的值，根据矩形的性质可得CE=CCG，由同角的余角相等可得∠BCE=∠DCG，利用SAS证明△BEC≌△DGC，得到DG=BE，据此求解；
（2）由题意可得AD=BC=2k，证明△BEC∽△DGC，然后根据相似三角形的性质进行解答；
（3）过点G作GM⊥BC的延长线于点M，MG的延长线交AD延长线于点H，证明△ECD∽△CGM，根据相似三角形的性质可得CM，推出点G在定直线GM上运动，当点E与点A重合时，ED=AD，GM=2，此时点G与点H重合；当点E与点D重合时，ED=0，GM=0，点G与点M重合，据此解答.
1 / 1
