【培优版】北师大版数学九年级上册第四章 图形的相似 章节测试卷
一、选择题（每题3分，共24分）
1．（2024九上·安州开学考）如图，E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD的中点，连接AF、DE交于点P，过B作BG∥DE交AD于G，BG与AF交于点M．对于下列结论：①AF⊥DE；②G是AD的中点；③∠GBP＝∠BPE；④S△AGM：S△DEC＝1：4．正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质；线段的中点；三角形全等的判定-SAS；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：①∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝BC＝DC，
∵E，F为 BC、CD 中点
∴EC＝BC
∴DF＝DC
∴EC＝DF
∵∠ADC=∠ECD=90°
∴△ADF≌△DCE（SAS）
∴∠AFD＝∠DEC，
∵∠DEC+∠CDE＝90°
∴∠AFD+∠CDE＝90°＝∠DPF
∴AF⊥DE，故①正确
②∵，
∴四边形GBED为平行四边形
∴GD＝BE
由①知：BE＝BC
∴GD＝BC＝AD
∴G是AD的中点
故②正确，
③∵
∴∠GBP＝∠BPE
故③正确
④设AG＝1，则AD＝2，AF＝
∴
∵，AF⊥DE，
∴AF⊥BG，
∴∠ANG＝∠ADF＝90°，
∵∠GAM＝∠FAD，
∴△AGM∽△AFD，
∴．
∵△ADF≌△DCE，
∴S△AGM：S△DEC＝1：5．
故④错误．
故选：C．
【分析】
先根据正方形的性质，先证明≌，推出，从而得出：∠DPF=90°
先根据四边形GBED为平行四边形，得出GD＝BE，再根据点E是BC的中点，得到点G是AD的中点
根据两直线平行，内错角相等即可判断
设AG＝1，则AD＝2，AF＝得出，再证明∽，根据相似三角形面积比等于相似比的平方可得出：：
2．（2024九上·长春开学考）如图，在中，是上一点，交于点，的延长线交的延长线于点，，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
3．（2024九上·鄞州期末）如图，在等腰中，分别在边上，，，若已知的长，则能求出下列哪个量（ ）
A．的周长 B．的面积 C．的周长 D．的面积
【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理
4．（2024九上·杭州月考）如图，已知AB=AC，∠B＜30°，BC上一点D满足∠BAD=120°，=，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，作BE∥AC交AD于E，作BH⊥AE于H，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵BE∥AC，
∴∠DBE=∠C，
∴∠ABC=∠DBE，
∵∠DBE=∠C，∠ADC=∠EDB，
∴△ADC∽△EDB，
∴，
设AB=AC=6a，
∴BE=14a，
∵∠BAD=120°，BH⊥AE，
∴∠ABH=30°，
∴，，
∴，
在Rt△BEH中，根据勾股定理，得
∵EH2=BE2-BH2，
∴
∴，
即，
解得AD=3a，
则；
故答案为：A.
【分析】作BE∥AC交AD于E，作BH⊥AE于H，根据等边对等角可得∠ABC=∠C，根据两直线平行，内错角相等可得∠DBE=∠C，推得∠ABC=∠DBE，根据有两个角对应相等的三角形是相似三角形，相似三角形的对应边之比相等可得，根据比例设AB=AC=6a，则BE=14a，根据三角形的外角的等于与它不相邻的两个内角之和可得∠ABH=30°，根据直角三角形中，30°角所对的边是斜边的一半，结合直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方求得BH和EH的值，推得AE=10a，结合比例可得AD=3a，即可求解.
5．（2024九上·长沙期末）如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，点H在边AD上，CE＝DH，CH交BE于点F，交BD于点G，连接GE．下列结论：①CH＝BE；②CH⊥BE；③S△GCE＝S△GDH；④当E是CD的中点时，；⑤当EC＝2DE时，S正方形ABCD＝6S四边形DEGH．其中正确结论的序号是（ ）
A．①②③④ B．①②③⑤ C．①③④⑤ D．②④⑤
【答案】A
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质；四边形的综合
【解析】【解答】解：在正方形中，，，
，
，
，，故①正确；
，
，
，
，故②正确；
在正方形对角线上，
到，的距离相等，
，
，
，故③正确；
设正方形的边长为，
，
当是的中点时，．
由勾股定理得：
，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
当是的中点时，，故④正确，
当时，，
，，
，
，
，
中边上的高与中边上的高相等，，
，
设，则，，
，
，
当时，，
，
，
，
，故⑤不正确，
综上所述：正确结论的序号是①②③④，
故答案为：A．
【分析】根据正方形的性质结合三角形全等的判定与性质证明即可可以判断①；进而证明即可判断②；根据，，结合正方形的性质即可判定③；设正方形的边长为，当是的中点时，，根据相似三角形的判定与性质和勾股定理分别表示出，，进而可以判断④；设，则，，得，所以，当时，，证得，进而结合题意即可判断⑤．
6．（2024九上·蓬溪期末）如图，正方形中，平分，交于点E，将绕点B顺时针旋转得到，延长交于点G，连接交于点H．
下列结论①；②；③；④
正确的是（ ）
A．①②③④ B．②③ C．①③ D．①②④
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定；角平分线的性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵将绕点B顺时针旋转得到，
∴，
∴，
故①正确；
∵正方形中，
∴，，，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故②正确；
∵，
∴，
∵平分，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴（SAS），
∴，
∴，
∴，
∴，
故③正确；
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故④正确，
故答案为：A
【分析】先根据旋转的性质得到，进而根据三角形全等的性质即可判断①；先根据正方形的性质得到，，，进而根据角平分线的定义得到，从而根据三角形全等的性质得到，再结合题意进行角的运算即可判断②；结合题意运用角平分线的性质得到，，进而结合题意运用三角形全等的判定与性质证明（SAS）得到，从而即可判断③；根据三角形全等的性质得到，进而根据相似三角形的判定与性质证明即可得到，再结合题意代入化简即可判定④.
7．（2024九上·内江期末）如图，正方形的对角线相交于，点，分别是边，上的动点（不与点，，重合），，分别交于，两点，且，则下列结论：
①；②；③；④是等腰三角形．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定；相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：将绕点逆时针旋转至，如图所示：
，，，
，，
，
，
，
①正确；
，，
，
，
，
，
，
，
，
②正确；
，即，
，
，
，
是等腰直角三角形，
；
③正确；
在与中，，
，
，
，
，
是等腰三角形，
④正确；
故答案为：
【分析】先根据三角形全等的判定与性质证明得到，进而即可判断①；根据题意进行角的运算证明，从而根据三角形全等的判定即可判断②；进而得到，再根据相似三角形的判定与性质证明得到，从而根据等腰直角三角形的性质即可判断③；根据三角形全等的判定与性质证明得到，进而根据等腰三角形的判定即可判断④.
8．（2024九上·船山期末）如图，点在线段上，在的同侧作等腰直角三角形和等腰直角三角形与、分别交于点．对于下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质
二、填空题（每题3分，共15分）
9．（2024九上·哈尔滨开学考）如图，中，交于点，交于点，若，，的长为 ．
【答案】
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质
10．（2020九上·大庆月考）如图，正方形ABCD中，AD=4，点E是对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥ED，交AB于点F，连接DF，交AC于点G，将△EFG沿EF翻折，得到△EFM，连接DM，交EF于点N，若点F是AB的中点，则△EMN的周长是 ．
【答案】
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】如图1，过E作PQ⊥DC，交DC于P，交AB于Q，连接BE，
∵DC∥AB，
∴PQ⊥AB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACD=45°，
∴△PEC是等腰直角三角形，
∴PE=PC，
设PC=x，则PE=x，PD=4﹣x，EQ=4﹣x，
∴PD=EQ，
∵∠DPE=∠EQF=90°，∠PED=∠EFQ，
∴△DPE≌△EQF，
∴DE=EF，
易证明△DEC≌△BEC，
∴DE=BE，
∴EF=BE，
∵EQ⊥FB，
∴FQ=BQ= BF，
∵AB=4，F是AB的中点，
∴BF=2，
∴FQ=BQ=PE=1，
∴CE= ，
Rt△DAF中，DF= ，
∵DE=EF，DE⊥EF，
∴△DEF是等腰直角三角形，
∴DE=EF= ，
∴PD= =3，
如图2，
∵DC∥AB，
∴△DGC∽△FGA，
∴ ，
∴CG=2AG，DG=2FG，
∴FG= ，
∵AC= ，
∴CG= ，
∴EG= ，
连接GM、GN，交EF于H，
∵∠GFE=45°，
∴△GHF是等腰直角三角形，
∴GH=FH= ，
∴EH=EF﹣FH= ，
∴∠NDE=∠AEF，
∴tan∠NDE=tan∠AEF= ，
∴ ，
∴EN= ，
∴NH=EH﹣EN= ，
Rt△GNH中，GN= ，
由折叠得：MN=GN，EM=EG，
∴△EMN的周长=EN+MN+EM=
【分析】利用正方形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理计算求解即可。
11．（2023九上·江北期中）由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形如图所示．将小正方形对角线双向延长，分别交边，和边的延长线于点G，H．若大正方形与小正方形的面积之比为5，，则大正方形的边长为 ．
【答案】3
【知识点】勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：延长BF交DC于点N，如图，
设小正方形在DE上的顶点为M，设，
大正方形与小正方形的面积之比为5，
，
，
，
，
化简得，
，
，
∴，，
，，
，
∴，
，
设，则，
，
，
，
∴，
，
又 ，
，
，
，
，
.
故答案为：3.
【分析】延长BF交DC于N，设小正方形在DE上的顶点为M，设，由面积比得，又，求得，利用，得到，，利用，得到，
设，根据相似比求出EF的长，进而求大正方形面积.
12．（2024九上·仁寿期末）在中，，，连接，若，，的面积为7.5，则 ．
【答案】
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：
∵AB=AC，
∴∠1=∠2，
∵BD∥AC，
∴∠3=∠2=∠1，
又∵，
∴2∠3+∠5=90°，
过点C作CF⊥BD交BD的延长线于点F，
∴∠3+∠4+∠5=90°，
∴∠3=∠4，
又∵∠F=∠F，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵∠1=∠3，∠AEB=∠CFB=90°，
∴，
∴，
设AE=5x，则CE=BE=6x，
，
解得x2=，
∴AB=，
故答案是：
【分析】先根据等腰三角形的性质得到∠1=∠2，进而根据平行线的性质得到∠3=∠2=∠1，过点C作CF⊥BD交BD的延长线于点F，进而结合题意运用相似三角形的判定与性质证明即可得到，再证明即可得到， 设AE=5x，则CE=BE=6x，从而根据三角形的面积结合勾股定理即可求解。
13．（2024九上·榆树期末）如图，在等边三角形中，，点是边上一点，且，点是边上一动点（、两点均不与端点重合），作，交边于点．若，当满足条件的点有且只有一个时，则的值为 ．
【答案】4
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；等边三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，，
，
，
满足条件的点有且只有一个，
方程有两个相等的实数根，
，
解得：，
故答案为：4．
【分析】利用等边三角形的性质和三角形内角和定理证明，得到，从而建立关于的一元二次方程，再利用，求出的值即可．
三、解答题（共7题，共61分）
14．（2024九上·雅安期末）如图，，且，E是AB的中点，F是边BC上的动点（F不与B，C重合），EF与BD相交于点M．
（1）求证：；
（2）若F是BC的中点，，求BM的长；
（3）若，BD平分，点P是线段BD上的动点，是否存在点P使，若存在，求出的度数；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明：∵，点是的中点，∴，
又∵，
∴四边形的平行四边形，
∴，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：∵，∴，
∵F是BC的中点，∴，
∴，∴，
∵，∴；
（3）解：存在，∵，∴，
∵BD平分，∴，
∴，∴，
∵，∴，∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，∴，
∴，∴．
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】
（1）先证明四边形BCDE为平行四边形，从而得到DE∥BC，根据平行线的性质可得∠EDB=∠FBM，据此证明；
（2）根据（）中三角形相似的性质求解即可；
（3）存在，先证明得∠BPF=∠PCD，再证是等边三角形，根据等边三角形的性质求解即可。
15．（2024九上·阜平期末）在中，，，.点在线段上运动，过点作的垂线交线段（如图1）或线段的延长线（如图2）于点．
图1 图2 备用图
（1）当点在线段上时，求证：；
（2）当点与点重合时，求的长；
（3）若点从点以每秒2个单位长的速度向点运动，求点与点的距离不大于1的时长；
（4）当为等腰三角形时，直接写出的长．
【答案】（1）证明：，
，
在与中，
，，
．
（2）解：在中，，
由（1）知，
，即，解得：．
（3）解：①当点在线段上时，若，则，
∵，
∴，
，解得：，
∴运动的时长为（秒）；
②当点在线段的延长线上时，若，则，
∵，
∴，
，
点运动的时长为（秒）；
综上，求点与点的距离不大于1的时长为（秒）．
（4）解：．
【知识点】等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（4）如图1，当点在线段上时，
若为等腰三角形，则，
∵，
∴，即，解得：，
；
如图2，当点在线段的延长线上时，若为等腰三角形，则，
，
，
.，，
，
，
，
．
【分析】（1）先证∠AQP=∠ABC，再结合即可证相似；
（2）先用勾股定理求得AC的长度，再根据相似三角形的性质列比例式求解即可；
（3）分两种情况：点P在线段AB上或点P在AB的延长线上，分别求得BP=1时所需的时间，然后作差即可；
（4）分两种情况：点P在线段AB上或点P在AB的延长线上，分别根据等腰三角形的性质以及相似三角形的性质列比例式求解即可．
16．（2023九上·腾冲月考）如图，，点P为内一点，连接，已知．
（1）求证：；
（2）若，试求的值．
【答案】（1）证明：∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
（2）解：∵，，
∴是等腰直角三角形．
∴．
由（1）知．
∴＝＝＝＝．
∴，
∴．
∵
∴，
∴是直角三角形．
∴．
∴．
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由三角形内角和定理可得，由，可得，等量代换可得，即可证得 .
（2）由，，可得是等腰直角三角形 ，则，根据相似三角形的对应边成比例可得＝=＝＝，得出，根据 ，证得是直角三角形 ，利用勾股定理得出，即可求出的值 .
17．（2023九上·呈贡月考）如图，点P是菱形的对角线上一点，连接并延长，交于点E，交的延长线于点F．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）求证：．
【答案】（1）证明：∵四边形是菱形，
在和中，
（2）证明：∵四边形是菱形，
（3）解：∵，
【知识点】菱形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）利用菱形的性质四条边相等、对角线平分这组对角，可知AD=CD，再通过SAS即可证明 ；
（2）根据菱形的性质可知，可得，再根据（1）中的全等三角形，可得，等量代换得到，因为是公共角，可证 ；
（3）根据（2）中结论可得，于是得到，再根据（1）中的全等三角形得，等量代换即可得到结论.
18．（2023九上·郑州经济技术开发月考）阅读下面材料：小吴遇到这样一个问题：如图1，在中，是边上的中线，点在边上，与相交于点，求的值．
小吴发现，过点作，交的延长线于点，通过构造，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．
（1）请回答：的值为 ．
（2） 如图3，在中，点在的延长线上，，点在上，且．求的值；
（3）如图4，在中，点在的延长线上，，点在上，且，直接写出的值为 ．
【答案】（1）
（2）解：如图3，过A作，交延长线于点F，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，
∵，
∴，
，
∵，
，
；
（3）
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（1） 解：如图2，过点C作CF∥AD，交BE的延长线于点F，
∴∠F=∠APF，∠FCE=∠EAP，
∵BE为AC边的中线，
∴AE=CE，
∴△AEP≌△CEF（AAS），
∴AP=FC，
∵PD∥FC，
∴△BPD∽△BFC，
∴，
∴.
（2）如图4，过点C作交PB于点F，
设又∵
，∴∵∴设DC=x，则DB=3x，∴又∵则故又∵∴则故
故答案为：.
【分析】 （1）如图2，证明△AEP≌△CEF，可得AP=FC，再根据PD∥FC，得△BPD∽△BFC，列比例式可得结论；
（2） ，过A作，交延长线于点F， 可得到，然后根据三角形相似的性质可求得， 设， 然后求得BD，再根据得到，然后根据三角形相似的性质即可求解；
（3）过点C作交PB于点F，可得，然后根据三角形相似的性质可求得设同理再根据平行线的性质及三角形相似的性质可求得DB=3x，根据线段的关系求出然后根据三角形相似的性质进行求解即可.
19．（2023九上·运城期中）请阅读下列材料，并完成相应的任务．
梅涅劳斯是公元世纪时的希腊数学家兼天文学家，著有几何学和三角学方面的许多书籍梅涅劳斯发现，若一条直线与三角形的三边或其延长线相交交点不能是三角形的顶点，可以得到六条线段，三条不连续线段的乘积等于剩下三条线段的乘积该定理被称为梅涅劳斯定理，简称梅氏定理．
如图，直线交线段于点，交线段于点，交延长线于点，可截得六条线段、、、、、，则这六条线段满足．
下面是该定理的一部分证明过程：
证明：如图，过点作，交延长线于点，则有依据，
（1）上述过程中的依据指的是 ；
（2）请将该定理的证明过程补充完整；
（3）在图中，若点是的中点，，则的值为 ；
（4）在图中，若，，则的值为 ．
【答案】（1）平行线分线段成比例
（2）解：该定理的证明过程补充完整如下：
，
，
，
，
即；
（3）3
（4）
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定与性质；线段的中点
【解析】【解答】解：（3）点是的中点，，
，
，
，
即，
，
，
；
（4）如图，过点作交的延长线于点，
，，
，
，
，，
∽，
，
，
，
，，
∽，
，
，
，
．
【分析】（1）分析题意可得 的依据是平行线分线段成比例；
（2）利用平行线分线段成比例得到，进一步得到， 从而求解；
（3）由中点的性质结合已知条件得到，利用线段的和差关系得到，根据（2）中的结论代入条件即可求解；
（4）过点作交的延长线于点，根据，， 得到，证明∽，得到，再证明∽，得到，由线段的和差关系得到，从而求解.
20．（2023九上·株洲期中）学校数学社团遇到这样一个题目：
如图1，在中，点在线段上，求AB的长．
经过社团成员讨论发现，过点作，交AO的延长线于点，通过构造就可以解决问题（如图2）．
（1）请回答： °。 ．
（2）请参考以上解决思路，解决问题：
如图3，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点，，，求DC的长．
【答案】（1）75；
（2）解：过点作交于点，如图所示．
，，
．
，
，
．
，
．
，
，
．
，
，，
．
在中，，即，
解得：，
，．
在中，，即，
解得：．
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（1），
．
，
，
．
又，
，
．
，，
，
．
故答案为：75；．
【分析】（1）根据平行线的性质可得，结合，可证
，利用相似三角形的性追求出OD的长，进而求出AD，再利用三角形内角和求出∠ABD=∠ADB，根据等腰三角形的性质即可求解；
（2）过点作交于点E， 先求出AE，再利用勾股定理先求出BE的长，继而求出CD即可.
1 / 1【培优版】北师大版数学九年级上册第四章 图形的相似 章节测试卷
一、选择题（每题3分，共24分）
1．（2024九上·安州开学考）如图，E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD的中点，连接AF、DE交于点P，过B作BG∥DE交AD于G，BG与AF交于点M．对于下列结论：①AF⊥DE；②G是AD的中点；③∠GBP＝∠BPE；④S△AGM：S△DEC＝1：4．正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2024九上·长春开学考）如图，在中，是上一点，交于点，的延长线交的延长线于点，，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024九上·鄞州期末）如图，在等腰中，分别在边上，，，若已知的长，则能求出下列哪个量（ ）
A．的周长 B．的面积 C．的周长 D．的面积
4．（2024九上·杭州月考）如图，已知AB=AC，∠B＜30°，BC上一点D满足∠BAD=120°，=，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024九上·长沙期末）如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，点H在边AD上，CE＝DH，CH交BE于点F，交BD于点G，连接GE．下列结论：①CH＝BE；②CH⊥BE；③S△GCE＝S△GDH；④当E是CD的中点时，；⑤当EC＝2DE时，S正方形ABCD＝6S四边形DEGH．其中正确结论的序号是（ ）
A．①②③④ B．①②③⑤ C．①③④⑤ D．②④⑤
6．（2024九上·蓬溪期末）如图，正方形中，平分，交于点E，将绕点B顺时针旋转得到，延长交于点G，连接交于点H．
下列结论①；②；③；④
正确的是（ ）
A．①②③④ B．②③ C．①③ D．①②④
7．（2024九上·内江期末）如图，正方形的对角线相交于，点，分别是边，上的动点（不与点，，重合），，分别交于，两点，且，则下列结论：
①；②；③；④是等腰三角形．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（2024九上·船山期末）如图，点在线段上，在的同侧作等腰直角三角形和等腰直角三角形与、分别交于点．对于下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（每题3分，共15分）
9．（2024九上·哈尔滨开学考）如图，中，交于点，交于点，若，，的长为 ．
10．（2020九上·大庆月考）如图，正方形ABCD中，AD=4，点E是对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥ED，交AB于点F，连接DF，交AC于点G，将△EFG沿EF翻折，得到△EFM，连接DM，交EF于点N，若点F是AB的中点，则△EMN的周长是 ．
11．（2023九上·江北期中）由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形如图所示．将小正方形对角线双向延长，分别交边，和边的延长线于点G，H．若大正方形与小正方形的面积之比为5，，则大正方形的边长为 ．
12．（2024九上·仁寿期末）在中，，，连接，若，，的面积为7.5，则 ．
13．（2024九上·榆树期末）如图，在等边三角形中，，点是边上一点，且，点是边上一动点（、两点均不与端点重合），作，交边于点．若，当满足条件的点有且只有一个时，则的值为 ．
三、解答题（共7题，共61分）
14．（2024九上·雅安期末）如图，，且，E是AB的中点，F是边BC上的动点（F不与B，C重合），EF与BD相交于点M．
（1）求证：；
（2）若F是BC的中点，，求BM的长；
（3）若，BD平分，点P是线段BD上的动点，是否存在点P使，若存在，求出的度数；若不存在，请说明理由．
15．（2024九上·阜平期末）在中，，，.点在线段上运动，过点作的垂线交线段（如图1）或线段的延长线（如图2）于点．
图1 图2 备用图
（1）当点在线段上时，求证：；
（2）当点与点重合时，求的长；
（3）若点从点以每秒2个单位长的速度向点运动，求点与点的距离不大于1的时长；
（4）当为等腰三角形时，直接写出的长．
16．（2023九上·腾冲月考）如图，，点P为内一点，连接，已知．
（1）求证：；
（2）若，试求的值．
17．（2023九上·呈贡月考）如图，点P是菱形的对角线上一点，连接并延长，交于点E，交的延长线于点F．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）求证：．
18．（2023九上·郑州经济技术开发月考）阅读下面材料：小吴遇到这样一个问题：如图1，在中，是边上的中线，点在边上，与相交于点，求的值．
小吴发现，过点作，交的延长线于点，通过构造，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．
（1）请回答：的值为 ．
（2） 如图3，在中，点在的延长线上，，点在上，且．求的值；
（3）如图4，在中，点在的延长线上，，点在上，且，直接写出的值为 ．
19．（2023九上·运城期中）请阅读下列材料，并完成相应的任务．
梅涅劳斯是公元世纪时的希腊数学家兼天文学家，著有几何学和三角学方面的许多书籍梅涅劳斯发现，若一条直线与三角形的三边或其延长线相交交点不能是三角形的顶点，可以得到六条线段，三条不连续线段的乘积等于剩下三条线段的乘积该定理被称为梅涅劳斯定理，简称梅氏定理．
如图，直线交线段于点，交线段于点，交延长线于点，可截得六条线段、、、、、，则这六条线段满足．
下面是该定理的一部分证明过程：
证明：如图，过点作，交延长线于点，则有依据，
（1）上述过程中的依据指的是 ；
（2）请将该定理的证明过程补充完整；
（3）在图中，若点是的中点，，则的值为 ；
（4）在图中，若，，则的值为 ．
20．（2023九上·株洲期中）学校数学社团遇到这样一个题目：
如图1，在中，点在线段上，求AB的长．
经过社团成员讨论发现，过点作，交AO的延长线于点，通过构造就可以解决问题（如图2）．
（1）请回答： °。 ．
（2）请参考以上解决思路，解决问题：
如图3，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点，，，求DC的长．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质；线段的中点；三角形全等的判定-SAS；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：①∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝BC＝DC，
∵E，F为 BC、CD 中点
∴EC＝BC
∴DF＝DC
∴EC＝DF
∵∠ADC=∠ECD=90°
∴△ADF≌△DCE（SAS）
∴∠AFD＝∠DEC，
∵∠DEC+∠CDE＝90°
∴∠AFD+∠CDE＝90°＝∠DPF
∴AF⊥DE，故①正确
②∵，
∴四边形GBED为平行四边形
∴GD＝BE
由①知：BE＝BC
∴GD＝BC＝AD
∴G是AD的中点
故②正确，
③∵
∴∠GBP＝∠BPE
故③正确
④设AG＝1，则AD＝2，AF＝
∴
∵，AF⊥DE，
∴AF⊥BG，
∴∠ANG＝∠ADF＝90°，
∵∠GAM＝∠FAD，
∴△AGM∽△AFD，
∴．
∵△ADF≌△DCE，
∴S△AGM：S△DEC＝1：5．
故④错误．
故选：C．
【分析】
先根据正方形的性质，先证明≌，推出，从而得出：∠DPF=90°
先根据四边形GBED为平行四边形，得出GD＝BE，再根据点E是BC的中点，得到点G是AD的中点
根据两直线平行，内错角相等即可判断
设AG＝1，则AD＝2，AF＝得出，再证明∽，根据相似三角形面积比等于相似比的平方可得出：：
2．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
3．【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理
4．【答案】A
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，作BE∥AC交AD于E，作BH⊥AE于H，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵BE∥AC，
∴∠DBE=∠C，
∴∠ABC=∠DBE，
∵∠DBE=∠C，∠ADC=∠EDB，
∴△ADC∽△EDB，
∴，
设AB=AC=6a，
∴BE=14a，
∵∠BAD=120°，BH⊥AE，
∴∠ABH=30°，
∴，，
∴，
在Rt△BEH中，根据勾股定理，得
∵EH2=BE2-BH2，
∴
∴，
即，
解得AD=3a，
则；
故答案为：A.
【分析】作BE∥AC交AD于E，作BH⊥AE于H，根据等边对等角可得∠ABC=∠C，根据两直线平行，内错角相等可得∠DBE=∠C，推得∠ABC=∠DBE，根据有两个角对应相等的三角形是相似三角形，相似三角形的对应边之比相等可得，根据比例设AB=AC=6a，则BE=14a，根据三角形的外角的等于与它不相邻的两个内角之和可得∠ABH=30°，根据直角三角形中，30°角所对的边是斜边的一半，结合直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方求得BH和EH的值，推得AE=10a，结合比例可得AD=3a，即可求解.
5．【答案】A
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质；四边形的综合
【解析】【解答】解：在正方形中，，，
，
，
，，故①正确；
，
，
，
，故②正确；
在正方形对角线上，
到，的距离相等，
，
，
，故③正确；
设正方形的边长为，
，
当是的中点时，．
由勾股定理得：
，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
当是的中点时，，故④正确，
当时，，
，，
，
，
，
中边上的高与中边上的高相等，，
，
设，则，，
，
，
当时，，
，
，
，
，故⑤不正确，
综上所述：正确结论的序号是①②③④，
故答案为：A．
【分析】根据正方形的性质结合三角形全等的判定与性质证明即可可以判断①；进而证明即可判断②；根据，，结合正方形的性质即可判定③；设正方形的边长为，当是的中点时，，根据相似三角形的判定与性质和勾股定理分别表示出，，进而可以判断④；设，则，，得，所以，当时，，证得，进而结合题意即可判断⑤．
6．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定；角平分线的性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵将绕点B顺时针旋转得到，
∴，
∴，
故①正确；
∵正方形中，
∴，，，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故②正确；
∵，
∴，
∵平分，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴（SAS），
∴，
∴，
∴，
∴，
故③正确；
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故④正确，
故答案为：A
【分析】先根据旋转的性质得到，进而根据三角形全等的性质即可判断①；先根据正方形的性质得到，，，进而根据角平分线的定义得到，从而根据三角形全等的性质得到，再结合题意进行角的运算即可判断②；结合题意运用角平分线的性质得到，，进而结合题意运用三角形全等的判定与性质证明（SAS）得到，从而即可判断③；根据三角形全等的性质得到，进而根据相似三角形的判定与性质证明即可得到，再结合题意代入化简即可判定④.
7．【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定；相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：将绕点逆时针旋转至，如图所示：
，，，
，，
，
，
，
①正确；
，，
，
，
，
，
，
，
，
②正确；
，即，
，
，
，
是等腰直角三角形，
；
③正确；
在与中，，
，
，
，
，
是等腰三角形，
④正确；
故答案为：
【分析】先根据三角形全等的判定与性质证明得到，进而即可判断①；根据题意进行角的运算证明，从而根据三角形全等的判定即可判断②；进而得到，再根据相似三角形的判定与性质证明得到，从而根据等腰直角三角形的性质即可判断③；根据三角形全等的判定与性质证明得到，进而根据等腰三角形的判定即可判断④.
8．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质
9．【答案】
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质
10．【答案】
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】如图1，过E作PQ⊥DC，交DC于P，交AB于Q，连接BE，
∵DC∥AB，
∴PQ⊥AB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACD=45°，
∴△PEC是等腰直角三角形，
∴PE=PC，
设PC=x，则PE=x，PD=4﹣x，EQ=4﹣x，
∴PD=EQ，
∵∠DPE=∠EQF=90°，∠PED=∠EFQ，
∴△DPE≌△EQF，
∴DE=EF，
易证明△DEC≌△BEC，
∴DE=BE，
∴EF=BE，
∵EQ⊥FB，
∴FQ=BQ= BF，
∵AB=4，F是AB的中点，
∴BF=2，
∴FQ=BQ=PE=1，
∴CE= ，
Rt△DAF中，DF= ，
∵DE=EF，DE⊥EF，
∴△DEF是等腰直角三角形，
∴DE=EF= ，
∴PD= =3，
如图2，
∵DC∥AB，
∴△DGC∽△FGA，
∴ ，
∴CG=2AG，DG=2FG，
∴FG= ，
∵AC= ，
∴CG= ，
∴EG= ，
连接GM、GN，交EF于H，
∵∠GFE=45°，
∴△GHF是等腰直角三角形，
∴GH=FH= ，
∴EH=EF﹣FH= ，
∴∠NDE=∠AEF，
∴tan∠NDE=tan∠AEF= ，
∴ ，
∴EN= ，
∴NH=EH﹣EN= ，
Rt△GNH中，GN= ，
由折叠得：MN=GN，EM=EG，
∴△EMN的周长=EN+MN+EM=
【分析】利用正方形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理计算求解即可。
11．【答案】3
【知识点】勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：延长BF交DC于点N，如图，
设小正方形在DE上的顶点为M，设，
大正方形与小正方形的面积之比为5，
，
，
，
，
化简得，
，
，
∴，，
，，
，
∴，
，
设，则，
，
，
，
∴，
，
又 ，
，
，
，
，
.
故答案为：3.
【分析】延长BF交DC于N，设小正方形在DE上的顶点为M，设，由面积比得，又，求得，利用，得到，，利用，得到，
设，根据相似比求出EF的长，进而求大正方形面积.
12．【答案】
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：
∵AB=AC，
∴∠1=∠2，
∵BD∥AC，
∴∠3=∠2=∠1，
又∵，
∴2∠3+∠5=90°，
过点C作CF⊥BD交BD的延长线于点F，
∴∠3+∠4+∠5=90°，
∴∠3=∠4，
又∵∠F=∠F，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵∠1=∠3，∠AEB=∠CFB=90°，
∴，
∴，
设AE=5x，则CE=BE=6x，
，
解得x2=，
∴AB=，
故答案是：
【分析】先根据等腰三角形的性质得到∠1=∠2，进而根据平行线的性质得到∠3=∠2=∠1，过点C作CF⊥BD交BD的延长线于点F，进而结合题意运用相似三角形的判定与性质证明即可得到，再证明即可得到， 设AE=5x，则CE=BE=6x，从而根据三角形的面积结合勾股定理即可求解。
13．【答案】4
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；等边三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，，
，
，
满足条件的点有且只有一个，
方程有两个相等的实数根，
，
解得：，
故答案为：4．
【分析】利用等边三角形的性质和三角形内角和定理证明，得到，从而建立关于的一元二次方程，再利用，求出的值即可．
14．【答案】（1）证明：∵，点是的中点，∴，
又∵，
∴四边形的平行四边形，
∴，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：∵，∴，
∵F是BC的中点，∴，
∴，∴，
∵，∴；
（3）解：存在，∵，∴，
∵BD平分，∴，
∴，∴，
∵，∴，∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，∴，
∴，∴．
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】
（1）先证明四边形BCDE为平行四边形，从而得到DE∥BC，根据平行线的性质可得∠EDB=∠FBM，据此证明；
（2）根据（）中三角形相似的性质求解即可；
（3）存在，先证明得∠BPF=∠PCD，再证是等边三角形，根据等边三角形的性质求解即可。
15．【答案】（1）证明：，
，
在与中，
，，
．
（2）解：在中，，
由（1）知，
，即，解得：．
（3）解：①当点在线段上时，若，则，
∵，
∴，
，解得：，
∴运动的时长为（秒）；
②当点在线段的延长线上时，若，则，
∵，
∴，
，
点运动的时长为（秒）；
综上，求点与点的距离不大于1的时长为（秒）．
（4）解：．
【知识点】等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（4）如图1，当点在线段上时，
若为等腰三角形，则，
∵，
∴，即，解得：，
；
如图2，当点在线段的延长线上时，若为等腰三角形，则，
，
，
.，，
，
，
，
．
【分析】（1）先证∠AQP=∠ABC，再结合即可证相似；
（2）先用勾股定理求得AC的长度，再根据相似三角形的性质列比例式求解即可；
（3）分两种情况：点P在线段AB上或点P在AB的延长线上，分别求得BP=1时所需的时间，然后作差即可；
（4）分两种情况：点P在线段AB上或点P在AB的延长线上，分别根据等腰三角形的性质以及相似三角形的性质列比例式求解即可．
16．【答案】（1）证明：∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
（2）解：∵，，
∴是等腰直角三角形．
∴．
由（1）知．
∴＝＝＝＝．
∴，
∴．
∵
∴，
∴是直角三角形．
∴．
∴．
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由三角形内角和定理可得，由，可得，等量代换可得，即可证得 .
（2）由，，可得是等腰直角三角形 ，则，根据相似三角形的对应边成比例可得＝=＝＝，得出，根据 ，证得是直角三角形 ，利用勾股定理得出，即可求出的值 .
17．【答案】（1）证明：∵四边形是菱形，
在和中，
（2）证明：∵四边形是菱形，
（3）解：∵，
【知识点】菱形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）利用菱形的性质四条边相等、对角线平分这组对角，可知AD=CD，再通过SAS即可证明 ；
（2）根据菱形的性质可知，可得，再根据（1）中的全等三角形，可得，等量代换得到，因为是公共角，可证 ；
（3）根据（2）中结论可得，于是得到，再根据（1）中的全等三角形得，等量代换即可得到结论.
18．【答案】（1）
（2）解：如图3，过A作，交延长线于点F，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，
∵，
∴，
，
∵，
，
；
（3）
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（1） 解：如图2，过点C作CF∥AD，交BE的延长线于点F，
∴∠F=∠APF，∠FCE=∠EAP，
∵BE为AC边的中线，
∴AE=CE，
∴△AEP≌△CEF（AAS），
∴AP=FC，
∵PD∥FC，
∴△BPD∽△BFC，
∴，
∴.
（2）如图4，过点C作交PB于点F，
设又∵
，∴∵∴设DC=x，则DB=3x，∴又∵则故又∵∴则故
故答案为：.
【分析】 （1）如图2，证明△AEP≌△CEF，可得AP=FC，再根据PD∥FC，得△BPD∽△BFC，列比例式可得结论；
（2） ，过A作，交延长线于点F， 可得到，然后根据三角形相似的性质可求得， 设， 然后求得BD，再根据得到，然后根据三角形相似的性质即可求解；
（3）过点C作交PB于点F，可得，然后根据三角形相似的性质可求得设同理再根据平行线的性质及三角形相似的性质可求得DB=3x，根据线段的关系求出然后根据三角形相似的性质进行求解即可.
19．【答案】（1）平行线分线段成比例
（2）解：该定理的证明过程补充完整如下：
，
，
，
，
即；
（3）3
（4）
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定与性质；线段的中点
【解析】【解答】解：（3）点是的中点，，
，
，
，
即，
，
，
；
（4）如图，过点作交的延长线于点，
，，
，
，
，，
∽，
，
，
，
，，
∽，
，
，
，
．
【分析】（1）分析题意可得 的依据是平行线分线段成比例；
（2）利用平行线分线段成比例得到，进一步得到， 从而求解；
（3）由中点的性质结合已知条件得到，利用线段的和差关系得到，根据（2）中的结论代入条件即可求解；
（4）过点作交的延长线于点，根据，， 得到，证明∽，得到，再证明∽，得到，由线段的和差关系得到，从而求解.
20．【答案】（1）75；
（2）解：过点作交于点，如图所示．
，，
．
，
，
．
，
．
，
，
．
，
，，
．
在中，，即，
解得：，
，．
在中，，即，
解得：．
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（1），
．
，
，
．
又，
，
．
，，
，
．
故答案为：75；．
【分析】（1）根据平行线的性质可得，结合，可证
，利用相似三角形的性追求出OD的长，进而求出AD，再利用三角形内角和求出∠ABD=∠ADB，根据等腰三角形的性质即可求解；
（2）过点作交于点E， 先求出AE，再利用勾股定理先求出BE的长，继而求出CD即可.
1 / 1
