【提升版】北师大版数学九年级上册6.2反比例函数的图象与性质 同步练习
一、选择题
1．（2023九上·长春开学考）反比例函数 的图象如图所示，则k的值可能是（ ）
A．5 B．12 C．-5 D．-12
【答案】C
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：由题意可得：点A，点B都不在反比例函数的图象上
∴-3×3解得：-9故答案为：C
【分析】根据反比例函数的图象上的点的坐标特征列出不等式，解不等式即可求出答案。
2．（2020九上·宁津期末）如图直线y＝mx与双曲线y= 交于点A、B，过A作AM⊥x轴于M点，连接BM，若S△AMB＝2，则k的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】根据双曲线的对称性可得：OA=OB，则S△ABM＝2S△AOM＝2，S△AOM＝ |k|＝1，
则k＝±2．又由于反比例函数图象位于一三象限，k＞0，所以k＝2．
故答案为：B．
【分析】此题可根据反比例函数图象的对称性得到A、B两点关于原点对称，再由S△ABM=2S△AOM并结合反比例函数系数k的几何意义得到k的值．
3．（2024九上·温州开学考）若点，，都在反比例的图象上，则，，大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：函数的图象在一、三各象限内，随的增大而减小，
∵点，，都在反比例的图象上，且，
∴，
故答案为：B．
【分析】对于反比例函数，当时，图象在第一、三象限，随的增大而减小，结合三个点的横坐标，即可求解.
4．（2024九上·沅江开学考）在函数（为常数）的图象上有三点，则函数值的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：根据题意知，，
∴函数（为常数）的图象在第二、四象限，
在第二象限中随的增大而增大，且；
在第四象限中随的增大而增大，且；
∵，
∴，
故答案为：D．
【分析】利用反比例函数的性质与系数的关系可得在第二象限中随的增大而增大，且；在第四象限中随的增大而增大，且；再结合，即可得到，从而得解.
5．（2022九上·石家庄期末）当k＜0时，反比例函数和一次函数y＝kx＋2的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】一次函数的图象；反比例函数的性质
【解析】【解答】解：当k＜0时，反比例函数的图象在二四象限，同时一次函数y＝kx＋2经过第一、二、四象限，只有B选项的图象满足要求，
故答案为：B．
【分析】利用一次函数和反比例函数的图象与系数的关系逐项分析判断即可.
6．（2024九上·铜仁期末）得天独厚的自然条件和生态资源，已让铜仁这片黔东沃土孕育出33个地理标志产品．在2023梵净山国际地理标志研讨会议召开之际，某区举行地理标志产品知识竞赛，如图使用、、、分别描述了甲、乙、丙、丁四个社区居民竞赛成绩的优秀人数，已知y表示社区居民竞赛成绩的优秀率，x表示该社区参赛居民人数，占B和点K在同一条反比例函数图象上，则这四个社区在这次知识竞赛中优秀人数最多的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】B
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：如图所示：过点M、点P作x轴的垂线，分别交x轴与点N、点Q，
点B、M、P、K都在反比例函数的图象上，
，
， ，
＜=＜，
最大，
即这四个社区在这次知识竞赛中优秀人数最多的是：乙.
故答案为：B.
【分析】过点M、点P作x轴的垂线，分别交x轴与点N、点Q，根据反比例函数中k的几何意义得出，再结合图中矩形的面积即可判断.
7．（2024九上·石家庄期末）如图，直线AB交x轴于点C，交反比例函数y＝（a＞1）的图像于A、B两点，过点B作BD⊥y轴，垂足为点D，若S△BCD＝5，则a的值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】D
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：设，
∵BD⊥y轴
∴S△BCD==5，
解得：
故答案为：D．
【分析】设，根据三角形面积公式可得S△BCD=，计算即可求解。
8．（2024九上·平山期末）点在函数图象上，下列说法中错误的是（ ）
A．它的图象分布在二、四象限
B．当时，y的值随x的增大而增大
C．当时，y的值随x的增大而减小
D．它的图象过点
【答案】C
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：把点代入，得
，
解得：，
∴，
A、∵，∴的图象分布在二、四象限，原说法正确，A不符合题意；
B、∵，∴当时，的值随的增大而增大，原说法正确，B不符合题意；
C、∵，∴当时，的值随的增大而增大，原说法错误，C符合题意；
D、∵把代入，得，∴它的图象过点，原说法正确，D不符合题意；
故答案为：C
【分析】先将点代入可得，根据反比例函数的性质，当，图像位于第二、第四象限，在每个象限中随的增大而增大，据此逐一判断每个选项即可求解。
二、填空题
9．（2024九上·洞口开学考）如图，点M是反比例函数y＝（a≠0）的图象上一点，过M点作x轴、y轴的平行线，若S阴影=8，则此反比例函数解析式为
【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数的一点两垂线型
【解析】【解答】解：因为S阴影＝8，所以|a|＝8，
因为图象在二、四象限，所以a＜0，所以a＝ 8，
所以反比例函数解析式为y＝ ．
故填：y＝ ．
【分析】根据反比例函数k的几何意义（对于反比例函数图象上任意一点，作x轴、y轴的垂线，这两条垂线与坐标轴所围成的矩形面积为常数k）可得|a|＝8，再根据图象在二、四象限可确定a＝ 8，进而得到解析式．
10．（2024九上·温州开学考）如图，双曲线经过的两顶点A、C，轴交y轴于点B，过点C作轴于点D，若，且的面积为4，则k的值为 ．
【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：∵，轴，
由题意可知，，，
∵的面积为4，
∴，
解得或（舍去），
故答案为：．
【分析】根据题意可得点C的横坐标是2，点A的纵坐标是2，代入求出，，利用的面积为4，得到，解方程求出k的值即可.
11．（2024九上·克孜勒苏柯尔克孜期末）如图，矩形ABCD的边AB与y轴平行，顶点B的坐标为（1，m），D（5，m＋2），反比例函数（x>0）的图象同时经过点A与点C，则k的值为 ．
【答案】
【知识点】矩形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵矩形ABCD的边AB与y轴平行，顶点B的坐标为（1，m），顶点D的坐标为（5，m+2），
∴A的坐标为（1，m+2），点C的坐标为（5，m），
∵反比例函数的图象同时经过点A与点C，
∴k=m+2=5m，
解得：，
∴k=，
故答案为：.
【分析】先求出A的坐标为（1，m+2），点C的坐标为（5，m），再利用反比例函数图象上点坐标的特征可得k=m+2=5m，求出m的值，最后求出k的值即可.
12．（2024九上·永定期末）如图，已知点A、B分别在反比例函数y＝﹣（x＜0）与y＝（x＞0）图象上，且OA⊥OB，若AB＝6，则△AOB的面积为 ．
【答案】6
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；勾股定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D
∵
∴
∵
∴△ACO∽△ODB
∵点A、B分别在反比例函数y＝﹣（x＜0）与y＝（x＞0）图象上
∴
∴
∴
在Rt△AOB中，设OA=x，则，AB=6
由勾股定理得：
即
解得：
∴
∴
故答案为：
【分析】过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，根据相似三角形判定定理可得△ACO∽△ODB，再根据反比例函数k的几何意义可得，再根据相似三角形相似比性质可得，在Rt△AOB中，设OA=x，则，AB=6，根据勾股定理代入相应值可求出，再根据三角形面积即可求出答案.
13．（2020九上·宁德期末）如图，正方形的顶点 分别在 轴和 轴上，边 的中点 在 轴上，若反比例函数 的图象恰好经过 的中点 ，则 的长为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：过点E作EG⊥x轴于G，如下图所示
∵反比例函数 的图象过点 ，设点E的坐标为（ ）
∴OG=x，EG=
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD，∠ABC=∠BCD=90°
∵点E、F分别是CD、BC的中点
∴EC= CD= BC=CF
∵∠CEG＋∠ECG=90°，∠FCO＋∠ECG=90°，
∴∠CEG=∠FCO
在△CEG和△FCO中
∴△CEG≌△FCO
∴EG=CO= ，CG=FO=OG－OC=
∵∠BAF＋∠AFB=90°，∠FCO＋∠COF=90°，∠AFB=∠COF
∴∠BAF=∠FCO
在Rt△BAF中，tan∠BAF=
∴tan∠FCO=tan∠BAF=
在Rt△FCO中，tan∠FCO=
解得：
则OF= = ，OC=
根据勾股定理可得：CF=
∴BF=CF= ，AB=BC=2 CF= ，
根据勾股定理可得：AF=
∴OA=OF＋AF=
故答案为： .
【分析】过点E作EG⊥x轴于G，设点E的坐标为（ ），根据正方形的性质和“一线三等角”证出△CEG≌△FCO，可得EG=CO= ，CG=FO=OG－OC= ，然后利用等角的余角相等，可得∠BAF=∠FCO，先求出tan∠BAF，即可求出tan∠FCO，即可求出x的值，从而求出OF和OC，根据勾股定理和正方形的性质即可求出CF、BF、AB、AF，从而求出OA.
三、解答题
14．（2024九上·松原期末）已知反比例函数的图象经过第一、三象限．
（1）求的取值范围；
（2）若，此函数的图象过第一象限的两点，且，求的取值范围．
【答案】（1）解：反比例函数的图象经过第一、三象限，
，
解得：．
的取值范围是：
（2）解：反比例函数图象过第一象限的两点，且，
，
解得：，
又，
的取值范围是：．
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）根据反比例函数的图象与系数的关系，可求出k的取值范围；（2）根据反比例函数在第一象限内的递减性，y值大时x的值反而小，列出关于a的不等式，求解即可。
15．（2023九上·宣城月考）如图，反比例函数的图像分别交正方形的边于点、，若点坐标为，若是等边三角形，求的值.
【答案】解：由题意可得，设，则：
因为，
且是等边三角形，
所以，，，，舍去
所以
则
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形全等及其性质；勾股定理
【解析】【分析】根据题意，证明△OAD≌△OCE，即可得到CE=AD，继而得到BE=BD，结合勾股定理求出k的值。
16．（2022九上·东坡开学考）如图，点A、B分别在反比例函数 和 的图象上，线段AB与x轴相交于点P．
（1）如图①，若AB⊥x轴，且|AP|＝2|PB|，k1+k2＝1．求k1、k2的值；
（2）如图②，若点P是线段AB的中点，且△OAB的面积为2．求k1-k2的值．
【答案】（1）解：如图1，连接OA、OB，
∵AB⊥x轴，
∴S△AOP＝k1，S△BOP＝-k2，
∵|AP|＝2|PB|，
∴S△AOP＝2S△BOP，即k1＝2×（-k2），
∴k1+2k2＝0①，
∵k1+k2＝1②．
①-②得，k2＝-1，
∴k1＝2；
（2）解：如图2，作AM⊥x轴于M，BN⊥x轴于N，则S△AOM＝k1，S△BON＝-k2，
∵点P是线段AB的中点，且△OAB的面积为2，
∴S△AOP＝S△BOP＝1，
在△APM和△BPN中，
，
∴△APM≌△BPN（AAS），
∴S△APM＝S△BPN，
∴k1-1＝1-（-k2），
整理得k1-k2＝4．
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】 (1)连接OA、OB， 用k的几何意义求解即可；
(2)作AM⊥x轴于M，BN⊥x轴于N ，利用K的几何意义结合全等三角形的判定和性质求解即可；
17．（2023九上·成华期末）如图，点A在反比例函数的图像上，点A的纵坐标为3.过点A作x轴的平行线交反比例函数的图像于点C.点P为线段AC上一动点，过点P作的垂线，分别交反比例函数和的图像于点B，D.
（1）当时，
①若点P的横坐标为4（如图1），求直线的函数表达式；
②若点P是的中点（如图2），试判断四边形的形状，并说明理由；
（2）四边形能否成为正方形？若能，求此时m，n之间的数量关系；若不能，说明理由.
【答案】（1）解：①∵，
∴反比例函数为，
当时，，
∴，
当时，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
∴，解得，
∴直线的解析式为；
②四边形是菱形，
理由如下：由①知，，
∵轴，
∴，
∵点P是线段的中点，
∴，
当时，由得，，
由得，，
∴，，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形；
（2）解：四边形能是正方形，
理由：当四边形是正方形，记的交点为P，P为的中点，
∴，
当时，由得，，
由得，，
∴，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数的图象；菱形的判定；正方形的性质
【解析】【分析】（1）①m=4时，y=，令x=4，求出y的值，可得点B的坐标，令y=3，求出x的值，可得点A的坐标，然后利用待定系数法就可求出直线AB的解析式；
②根据AC∥x轴可得C（，3），由点P是AC的中点可得P（，3），令x=，求出y的值，然后求出PB、PD的值，再结合菱形的判定定理进行证明；
（2）当四边形ABCD是正方形时，记AC、BD的交点为P，P为AC的中点，则BD=AC，易得A（，3），C（，n），则P（，3），然后表示出点B、D的坐标，根据BD=AC就可得到m与n的关系式.
18．（2019九上·松滋期末）阅读理解：
如图（1），在平面直角坐标系xOy中，已知点A的坐标是（1，2），点B的坐标是（3，4），过点A、点B作平行于x轴、y轴的直线相交于点C，得到Rt△ABC，由勾股定理可得，线段AB＝ .
得出结论：
（1）若A点的坐标为（x1，y1），B点的坐标为（x2，y2）请你直接用A、B两点的坐标表示A、B两点间的距离；
应用结论：
（2）若点P在y轴上运动，试求当PA＝PB时，点P的坐标.
（3）如图（2）若双曲线L1：y＝ （x＞0）经过A（1，2）点，将线段OA绕点O旋转，使点A恰好落在双曲线L2：y＝﹣ （x＞0）上的点D处，试求A、D两点间的距离.
【答案】（1）解：∵A点的坐标为（x1，y1），B点的坐标为（x2，y2），
∴根据两点间的距离公式得， ；
（2）解：设点P（0，a），
∵A的坐标是（1，2），点B的坐标是（3，4），
∵PA＝ ，PB＝ ，
∵PA＝PB，
∴ ＝ ，
∴a＝5，
∴P（0，5）；
（3）解：∵双曲线L1：y＝ （x＞0）经过A（1，2）点，
∴OA＝ ，k＝1×2＝2，
∴双曲线L1：y＝ （x＞0），双曲线L2：y＝﹣ （x＞0），
设点D坐标为（m，﹣ ）（m＞0），
∴OD＝ ，
由旋转知，OA＝OD，
∴ ＝ ，
∴m＝±1或m＝±2，
∵m＞0，
∴m＝1（和点A重合，舍去）或m＝2，
∴D（2，﹣1）.
∵A（1，2），
∴AD＝ .
【知识点】线段上的两点间的距离；旋转的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）根据题目提供的两点间的距离公式即可得出结论；（2）设出点P，根据题目提供的两点间的距离公式表示出PA，PB，最后利用PA＝PB建立方程求解即可得出结论；（3）将点A坐标代入双曲线L1的解析式中，求出k，设出点D的坐标，利用题目提供的两点间距离公式表示出OD，再利用旋转得出OA＝OD，建立方程求解，即可得出结论.
1 / 1【提升版】北师大版数学九年级上册6.2反比例函数的图象与性质 同步练习
一、选择题
1．（2023九上·长春开学考）反比例函数 的图象如图所示，则k的值可能是（ ）
A．5 B．12 C．-5 D．-12
2．（2020九上·宁津期末）如图直线y＝mx与双曲线y= 交于点A、B，过A作AM⊥x轴于M点，连接BM，若S△AMB＝2，则k的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2024九上·温州开学考）若点，，都在反比例的图象上，则，，大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024九上·沅江开学考）在函数（为常数）的图象上有三点，则函数值的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022九上·石家庄期末）当k＜0时，反比例函数和一次函数y＝kx＋2的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024九上·铜仁期末）得天独厚的自然条件和生态资源，已让铜仁这片黔东沃土孕育出33个地理标志产品．在2023梵净山国际地理标志研讨会议召开之际，某区举行地理标志产品知识竞赛，如图使用、、、分别描述了甲、乙、丙、丁四个社区居民竞赛成绩的优秀人数，已知y表示社区居民竞赛成绩的优秀率，x表示该社区参赛居民人数，占B和点K在同一条反比例函数图象上，则这四个社区在这次知识竞赛中优秀人数最多的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
7．（2024九上·石家庄期末）如图，直线AB交x轴于点C，交反比例函数y＝（a＞1）的图像于A、B两点，过点B作BD⊥y轴，垂足为点D，若S△BCD＝5，则a的值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
8．（2024九上·平山期末）点在函数图象上，下列说法中错误的是（ ）
A．它的图象分布在二、四象限
B．当时，y的值随x的增大而增大
C．当时，y的值随x的增大而减小
D．它的图象过点
二、填空题
9．（2024九上·洞口开学考）如图，点M是反比例函数y＝（a≠0）的图象上一点，过M点作x轴、y轴的平行线，若S阴影=8，则此反比例函数解析式为
10．（2024九上·温州开学考）如图，双曲线经过的两顶点A、C，轴交y轴于点B，过点C作轴于点D，若，且的面积为4，则k的值为 ．
11．（2024九上·克孜勒苏柯尔克孜期末）如图，矩形ABCD的边AB与y轴平行，顶点B的坐标为（1，m），D（5，m＋2），反比例函数（x>0）的图象同时经过点A与点C，则k的值为 ．
12．（2024九上·永定期末）如图，已知点A、B分别在反比例函数y＝﹣（x＜0）与y＝（x＞0）图象上，且OA⊥OB，若AB＝6，则△AOB的面积为 ．
13．（2020九上·宁德期末）如图，正方形的顶点 分别在 轴和 轴上，边 的中点 在 轴上，若反比例函数 的图象恰好经过 的中点 ，则 的长为 ．
三、解答题
14．（2024九上·松原期末）已知反比例函数的图象经过第一、三象限．
（1）求的取值范围；
（2）若，此函数的图象过第一象限的两点，且，求的取值范围．
15．（2023九上·宣城月考）如图，反比例函数的图像分别交正方形的边于点、，若点坐标为，若是等边三角形，求的值.
16．（2022九上·东坡开学考）如图，点A、B分别在反比例函数 和 的图象上，线段AB与x轴相交于点P．
（1）如图①，若AB⊥x轴，且|AP|＝2|PB|，k1+k2＝1．求k1、k2的值；
（2）如图②，若点P是线段AB的中点，且△OAB的面积为2．求k1-k2的值．
17．（2023九上·成华期末）如图，点A在反比例函数的图像上，点A的纵坐标为3.过点A作x轴的平行线交反比例函数的图像于点C.点P为线段AC上一动点，过点P作的垂线，分别交反比例函数和的图像于点B，D.
（1）当时，
①若点P的横坐标为4（如图1），求直线的函数表达式；
②若点P是的中点（如图2），试判断四边形的形状，并说明理由；
（2）四边形能否成为正方形？若能，求此时m，n之间的数量关系；若不能，说明理由.
18．（2019九上·松滋期末）阅读理解：
如图（1），在平面直角坐标系xOy中，已知点A的坐标是（1，2），点B的坐标是（3，4），过点A、点B作平行于x轴、y轴的直线相交于点C，得到Rt△ABC，由勾股定理可得，线段AB＝ .
得出结论：
（1）若A点的坐标为（x1，y1），B点的坐标为（x2，y2）请你直接用A、B两点的坐标表示A、B两点间的距离；
应用结论：
（2）若点P在y轴上运动，试求当PA＝PB时，点P的坐标.
（3）如图（2）若双曲线L1：y＝ （x＞0）经过A（1，2）点，将线段OA绕点O旋转，使点A恰好落在双曲线L2：y＝﹣ （x＞0）上的点D处，试求A、D两点间的距离.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：由题意可得：点A，点B都不在反比例函数的图象上
∴-3×3解得：-9故答案为：C
【分析】根据反比例函数的图象上的点的坐标特征列出不等式，解不等式即可求出答案。
2．【答案】B
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】根据双曲线的对称性可得：OA=OB，则S△ABM＝2S△AOM＝2，S△AOM＝ |k|＝1，
则k＝±2．又由于反比例函数图象位于一三象限，k＞0，所以k＝2．
故答案为：B．
【分析】此题可根据反比例函数图象的对称性得到A、B两点关于原点对称，再由S△ABM=2S△AOM并结合反比例函数系数k的几何意义得到k的值．
3．【答案】B
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：函数的图象在一、三各象限内，随的增大而减小，
∵点，，都在反比例的图象上，且，
∴，
故答案为：B．
【分析】对于反比例函数，当时，图象在第一、三象限，随的增大而减小，结合三个点的横坐标，即可求解.
4．【答案】D
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：根据题意知，，
∴函数（为常数）的图象在第二、四象限，
在第二象限中随的增大而增大，且；
在第四象限中随的增大而增大，且；
∵，
∴，
故答案为：D．
【分析】利用反比例函数的性质与系数的关系可得在第二象限中随的增大而增大，且；在第四象限中随的增大而增大，且；再结合，即可得到，从而得解.
5．【答案】B
【知识点】一次函数的图象；反比例函数的性质
【解析】【解答】解：当k＜0时，反比例函数的图象在二四象限，同时一次函数y＝kx＋2经过第一、二、四象限，只有B选项的图象满足要求，
故答案为：B．
【分析】利用一次函数和反比例函数的图象与系数的关系逐项分析判断即可.
6．【答案】B
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：如图所示：过点M、点P作x轴的垂线，分别交x轴与点N、点Q，
点B、M、P、K都在反比例函数的图象上，
，
， ，
＜=＜，
最大，
即这四个社区在这次知识竞赛中优秀人数最多的是：乙.
故答案为：B.
【分析】过点M、点P作x轴的垂线，分别交x轴与点N、点Q，根据反比例函数中k的几何意义得出，再结合图中矩形的面积即可判断.
7．【答案】D
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：设，
∵BD⊥y轴
∴S△BCD==5，
解得：
故答案为：D．
【分析】设，根据三角形面积公式可得S△BCD=，计算即可求解。
8．【答案】C
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：把点代入，得
，
解得：，
∴，
A、∵，∴的图象分布在二、四象限，原说法正确，A不符合题意；
B、∵，∴当时，的值随的增大而增大，原说法正确，B不符合题意；
C、∵，∴当时，的值随的增大而增大，原说法错误，C符合题意；
D、∵把代入，得，∴它的图象过点，原说法正确，D不符合题意；
故答案为：C
【分析】先将点代入可得，根据反比例函数的性质，当，图像位于第二、第四象限，在每个象限中随的增大而增大，据此逐一判断每个选项即可求解。
9．【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数的一点两垂线型
【解析】【解答】解：因为S阴影＝8，所以|a|＝8，
因为图象在二、四象限，所以a＜0，所以a＝ 8，
所以反比例函数解析式为y＝ ．
故填：y＝ ．
【分析】根据反比例函数k的几何意义（对于反比例函数图象上任意一点，作x轴、y轴的垂线，这两条垂线与坐标轴所围成的矩形面积为常数k）可得|a|＝8，再根据图象在二、四象限可确定a＝ 8，进而得到解析式．
10．【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：∵，轴，
由题意可知，，，
∵的面积为4，
∴，
解得或（舍去），
故答案为：．
【分析】根据题意可得点C的横坐标是2，点A的纵坐标是2，代入求出，，利用的面积为4，得到，解方程求出k的值即可.
11．【答案】
【知识点】矩形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵矩形ABCD的边AB与y轴平行，顶点B的坐标为（1，m），顶点D的坐标为（5，m+2），
∴A的坐标为（1，m+2），点C的坐标为（5，m），
∵反比例函数的图象同时经过点A与点C，
∴k=m+2=5m，
解得：，
∴k=，
故答案为：.
【分析】先求出A的坐标为（1，m+2），点C的坐标为（5，m），再利用反比例函数图象上点坐标的特征可得k=m+2=5m，求出m的值，最后求出k的值即可.
12．【答案】6
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；勾股定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D
∵
∴
∵
∴△ACO∽△ODB
∵点A、B分别在反比例函数y＝﹣（x＜0）与y＝（x＞0）图象上
∴
∴
∴
在Rt△AOB中，设OA=x，则，AB=6
由勾股定理得：
即
解得：
∴
∴
故答案为：
【分析】过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，根据相似三角形判定定理可得△ACO∽△ODB，再根据反比例函数k的几何意义可得，再根据相似三角形相似比性质可得，在Rt△AOB中，设OA=x，则，AB=6，根据勾股定理代入相应值可求出，再根据三角形面积即可求出答案.
13．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：过点E作EG⊥x轴于G，如下图所示
∵反比例函数 的图象过点 ，设点E的坐标为（ ）
∴OG=x，EG=
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD，∠ABC=∠BCD=90°
∵点E、F分别是CD、BC的中点
∴EC= CD= BC=CF
∵∠CEG＋∠ECG=90°，∠FCO＋∠ECG=90°，
∴∠CEG=∠FCO
在△CEG和△FCO中
∴△CEG≌△FCO
∴EG=CO= ，CG=FO=OG－OC=
∵∠BAF＋∠AFB=90°，∠FCO＋∠COF=90°，∠AFB=∠COF
∴∠BAF=∠FCO
在Rt△BAF中，tan∠BAF=
∴tan∠FCO=tan∠BAF=
在Rt△FCO中，tan∠FCO=
解得：
则OF= = ，OC=
根据勾股定理可得：CF=
∴BF=CF= ，AB=BC=2 CF= ，
根据勾股定理可得：AF=
∴OA=OF＋AF=
故答案为： .
【分析】过点E作EG⊥x轴于G，设点E的坐标为（ ），根据正方形的性质和“一线三等角”证出△CEG≌△FCO，可得EG=CO= ，CG=FO=OG－OC= ，然后利用等角的余角相等，可得∠BAF=∠FCO，先求出tan∠BAF，即可求出tan∠FCO，即可求出x的值，从而求出OF和OC，根据勾股定理和正方形的性质即可求出CF、BF、AB、AF，从而求出OA.
14．【答案】（1）解：反比例函数的图象经过第一、三象限，
，
解得：．
的取值范围是：
（2）解：反比例函数图象过第一象限的两点，且，
，
解得：，
又，
的取值范围是：．
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）根据反比例函数的图象与系数的关系，可求出k的取值范围；（2）根据反比例函数在第一象限内的递减性，y值大时x的值反而小，列出关于a的不等式，求解即可。
15．【答案】解：由题意可得，设，则：
因为，
且是等边三角形，
所以，，，，舍去
所以
则
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形全等及其性质；勾股定理
【解析】【分析】根据题意，证明△OAD≌△OCE，即可得到CE=AD，继而得到BE=BD，结合勾股定理求出k的值。
16．【答案】（1）解：如图1，连接OA、OB，
∵AB⊥x轴，
∴S△AOP＝k1，S△BOP＝-k2，
∵|AP|＝2|PB|，
∴S△AOP＝2S△BOP，即k1＝2×（-k2），
∴k1+2k2＝0①，
∵k1+k2＝1②．
①-②得，k2＝-1，
∴k1＝2；
（2）解：如图2，作AM⊥x轴于M，BN⊥x轴于N，则S△AOM＝k1，S△BON＝-k2，
∵点P是线段AB的中点，且△OAB的面积为2，
∴S△AOP＝S△BOP＝1，
在△APM和△BPN中，
，
∴△APM≌△BPN（AAS），
∴S△APM＝S△BPN，
∴k1-1＝1-（-k2），
整理得k1-k2＝4．
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】 (1)连接OA、OB， 用k的几何意义求解即可；
(2)作AM⊥x轴于M，BN⊥x轴于N ，利用K的几何意义结合全等三角形的判定和性质求解即可；
17．【答案】（1）解：①∵，
∴反比例函数为，
当时，，
∴，
当时，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
∴，解得，
∴直线的解析式为；
②四边形是菱形，
理由如下：由①知，，
∵轴，
∴，
∵点P是线段的中点，
∴，
当时，由得，，
由得，，
∴，，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形；
（2）解：四边形能是正方形，
理由：当四边形是正方形，记的交点为P，P为的中点，
∴，
当时，由得，，
由得，，
∴，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数的图象；菱形的判定；正方形的性质
【解析】【分析】（1）①m=4时，y=，令x=4，求出y的值，可得点B的坐标，令y=3，求出x的值，可得点A的坐标，然后利用待定系数法就可求出直线AB的解析式；
②根据AC∥x轴可得C（，3），由点P是AC的中点可得P（，3），令x=，求出y的值，然后求出PB、PD的值，再结合菱形的判定定理进行证明；
（2）当四边形ABCD是正方形时，记AC、BD的交点为P，P为AC的中点，则BD=AC，易得A（，3），C（，n），则P（，3），然后表示出点B、D的坐标，根据BD=AC就可得到m与n的关系式.
18．【答案】（1）解：∵A点的坐标为（x1，y1），B点的坐标为（x2，y2），
∴根据两点间的距离公式得， ；
（2）解：设点P（0，a），
∵A的坐标是（1，2），点B的坐标是（3，4），
∵PA＝ ，PB＝ ，
∵PA＝PB，
∴ ＝ ，
∴a＝5，
∴P（0，5）；
（3）解：∵双曲线L1：y＝ （x＞0）经过A（1，2）点，
∴OA＝ ，k＝1×2＝2，
∴双曲线L1：y＝ （x＞0），双曲线L2：y＝﹣ （x＞0），
设点D坐标为（m，﹣ ）（m＞0），
∴OD＝ ，
由旋转知，OA＝OD，
∴ ＝ ，
∴m＝±1或m＝±2，
∵m＞0，
∴m＝1（和点A重合，舍去）或m＝2，
∴D（2，﹣1）.
∵A（1，2），
∴AD＝ .
【知识点】线段上的两点间的距离；旋转的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）根据题目提供的两点间的距离公式即可得出结论；（2）设出点P，根据题目提供的两点间的距离公式表示出PA，PB，最后利用PA＝PB建立方程求解即可得出结论；（3）将点A坐标代入双曲线L1的解析式中，求出k，设出点D的坐标，利用题目提供的两点间距离公式表示出OD，再利用旋转得出OA＝OD，建立方程求解，即可得出结论.
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